中国邮路问题及其算法

1、目目 录录1 1 引引言言.12 2 中国邮路问题中国邮路问题.12.1 图的概念图的概念.12.2 道路与回路道路与回路.22.2.1 基本概念基本概念.22.2.2 欧拉回路欧拉回路.32.3 中国邮路问题中国邮路问题.32.3.1 无向图的中国邮路问无向图的中国邮路问题题.42.3.2 有向图有向图的的中国邮路问题中国邮路问题.63 3 中国邮路问题的算法中国邮路问题的算法.83.1 无向图的中无向图的中国国邮路问题的算法邮路问题的算法.83.1.1 奇偶点图上作业法奇偶点图上作业法.83.1.2 最小权匹配算法最小权匹配算法.103.1.3 破圈法破圈法.123.2 有向图的中国邮路问

2、题的算法有向图的中国邮路问题的算法.144 4 中国邮路问题在实际生活中的应用与推广中国邮路问题在实际生活中的应用与推广.154.1 无向图的中国邮路问题在实际生活中的无向图的中国邮路问题在实际生活中的应应用用.154.2 有向图的中国邮路问题在实际生活中的应用有向图的中国邮路问题在实际生活中的应用.215 5 结束语结束语.23参考文献参考文献.24致谢致谢.25i中国邮路问题及其算法XxxxxxXxxxxx 系本系本 xxxxxxxxxx 班班 xxxxxxxxxxxx指导教师：指导教师： xxxxxxxxxxxxxx 摘 要：本文利用图论中的相关概念阐述并解决中国邮路问题，通过比较不同路

3、径，归纳总结，找到其具体算法，再利用上述方法找到的具体算法，求解实例，加以验证，然后将其推广到实际生活中，帮助人们快速找到欧拉回路，即找到省时，省力，省钱的最佳路线，对于图论教学及理论研究均有一定的指导意义。关键词：中国邮路，欧拉回路，最佳路线。Chinas postal problem and its algorithmXxxxxxxxxXxxxxxxxxClass xxxxx,The Department of mathematicsInstructor: xxxxxx Abstract: in this paper, using the relevant concepts in this

4、 paper, the graph theory and solve the problem of China post road, through comparing the different paths, sum up, find its specific algorithm, using the above to find the specific algorithm, solving the instance, verified, and then to promote it to real life, to help people quickly find eular loop,

5、namely find to save time, effort, save money, the best way of the graph theory teaching and theoretical research have certain guiding significance. Key words: China post road, eular circuit, the best route. 01 引言 中国邮路问题是我国著名图论学者管梅谷教授首先提出并解决的。它起初为了帮助邮递员选择一条合适道路，使其在完成任务的同时所走路程最短，后来其方法在实际生产生活中有广泛的应用，如邮

6、政部门，扫雪车线路，洒水车路线，警车巡逻路线等，具有很强的实用价值，本文紧抓其实质与核心，通过对传统中国邮路问题研究方法的归纳总结，帮助人们快速找出欧拉回路，实现了将数学知识应用于实际生活中，服务于人类。2 中国邮路问题2.1 图的概念图的概念定义 1 二元组称为图，其中是非空集合，称为结点集， GEGV, GV是诸结点之间边的集合，常用表示图。 GE GVEVG,(1) 图可分为有限图与无限图两类，现只讨论,都是有限集，给定某VE个图，如果不加特别说明，认为，EVG,nvvvvV321,，即结点数，边数。meeeeE321,nV mE (2) 图的边可以是有方向的，也可以是无方向的，它们分别

7、称为有向边G和无向边，用表示。jikvve,定义 2 的某结点v所关联的边数称为该结点的度，用表示。EVG, vd定义 3 任意两结点间最多只有一条边，且不存在自环的无向图称为简单图。性质 1 设有个结点，条边，则。EVG,nm mvdGVv2性质 2 中度为奇数的结点必为偶数个。G定义 4 若图的每条边都赋以一个实数作为该边的EVG,jikvve,kw权，则称是赋权图，特别地，如果这些权都是正实数，就称是正权图，权GG可以表示该边的长度，时间，费用或容量等，如下图 2.1 所示： 134734.2562v2v1v5v4v3图 2.12.2 道路与回路道路与回路2.2.1 基本概念基本概念定义

8、 1 有向图中，若边序列，其中EVG,iqiiieeeeP321,，满足是的终点,是的始点，就称是的一条有向道jiikvve,iv1ikejv1ikePG路，如果的终点是的始点，则称是的一条有向回路。iqe1 iePG如果中的边没有重复出现，则分别称为简单有向道路和简单有向回路，P进而，如果中结点也不重复出现，又分别称它们为初级有向道路或初级有向P回路，简称为路或回路。显然，初级有向道路（回路）一定是简单有向道路（回路） 。如下图 2.2.1(a)所示：e7e6e5e4e3e1e2v1v3v2v4图 2.2.1(a)边序列是有向道路；边序列是有向回路；7545,eeee37545,eeeee边

9、序列是简单有向道路；边序列是简单有向回路；2145,eeee32145,eeeee2边序列是初级有向道路；边序列是初级有向回路。21,ee321,eee定义 2 无向图中，若点边交替序列满EVG,iqiqiiiiveevevP,12211足,是的两个端点，则称是中的一条链或道路；如果,则ikv1ikvikePG1 iiqvv称是中的一个圈或回路。如下图 2.2.1(b)所示：PGe5e4e3e1e2e6v1v3v2v4图 2.2.1(b)边序列是道路；边序列是回路；6454,eeee36454,eeeee边序列是简单道路；边序列是简单回路；2154,eeee32154,eeeee边序列是初级道

10、路；边序列是初级回路。21,ee321,eee定义 3 设是无向图，若的任意两结点之间都存在道路，则称是连GGG通图，否则称为非连通图。2.2.2 欧拉回路欧拉回路定义 1 对于连通的无向图，若存在一简单回路，它通过的所有边，GG则这回路称为的 Euler 回路。G定理 1 无向连通图存在欧拉回路的充要条件是中各结点的度都是偶GG数。推论 1 若无向连通图中只有 2 个度为奇数的结点，则存在欧拉道路。GG推论 2 若有向连通图中各结点的正、负度相等，则存在有向欧拉回GG路。32.3 中国邮路问题中国邮路问题 中国邮路问题，它是由中国数学家管梅谷教授首先提出而得名。设邮递员从邮局出发，遍历他所管

11、辖的每一条街道，将信件送到后返回邮局，要求所走的路径最短，当然如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求的路径，如若不然，即存在度数为奇数的顶点时，必然有些街道需要走多于1 遍，如何寻求最短的路？（基本思路：根据欧拉圈原理，用奇偶点图上作业法，使邮递路线为最短）现将中国邮路问题用图论的语言描述如下：设是连通图，而且对于所有的,都赋以权，求以点EVG,Ee 0ec出发，通过所有边至少一次，最后返回 点的回路，使得达到最VvvC Ceec小。2.3.1 无向图的中国邮路问题无向图的中国邮路问题邮递员从邮局出发，走完投递线路后又回到邮局，这就要求邮递员的行走路径必须是欧拉圈，但是由于城市

12、街道及邮递点组成的图有三种基本类型，相应的就有三种类型线路，不管何种类型，归根到底，都要设法使之形成欧拉圈。(1)图里没有奇次定点。即中各结点的度都是偶数，那么一定有欧GGG拉回路，显然任何一条欧拉回路都是该问题的解。如下图 2.3.1(a)所示：HIJKCAGDBE图 2.3.1(a)投递路线为：AIHDEGHKJICBA或者可为：ABCIJKHDEGHIA这时没有重复行走的街道，当然邮路最短。(2)图中只有 2 个结点,的度是奇数，则一定存在从到的一条欧Givjvivjv4拉道路，它经过了的各边一次。在中再找一条从到的最短道路，则GGjvivjip中存在欧拉回路。这样中的欧拉回路，即对应于

13、中的边重jipGGGGjip复一次而其余边只过一次的回路是一条中国邮路，即最佳邮路。如下图 2.3.1(b)所示：312321221FEBCDA图 2.3.1（b）如图，是奇次顶点，因此要构成一个欧拉回路，线路必须重复走BEEB 一次，这样存在许多重复走的方案，例如;EFBECFB;等。EDCBECB我们计算一下重复走的长度分别为 4，6，5，5；当然需要重复走的线路以为最好，故巧加边，是使其形成欧拉回路的方法，故此时线路为EFB.总长度为 21，且此路AFBCFECDEFBA线是最短的。(3)图中度为奇数的结点数多于 2 个，则需要添加很多条边，才能形成欧G拉回路，且有几对奇次顶点，就要加几

14、条边，此时巧加边问题更加重要。如下图 2.3.1(c)：5234333314254214KJGFDABCLIHE5图 2.3.1(c)如图，有 8 个奇次顶点，它们是,.如何巧妙地把这 8 个奇BCEHGJIL次顶点恰当地组合成 4 对呢？我们参照上一题的例子，便可将 8 个奇次顶点配成以下 4 对：,.这是必须重复走的最短线路，且长度为 11，最LIBCJGHE优投递路线总长为 60，其中一条最佳路线为ALILKJGJIBCHEHGFEDCBA2.3.2 有向图的中国邮路问题有向图的中国邮路问题(1) 图中含有正度或负度为 0 的结点，此时不存在最佳邮路。如图G2.3.2(a)所示：ABC图

15、 2.3.2(a)(2) 图中各结点的正，负度相等，此时中一定存在有向欧拉回路。它GG过每边一次且仅一次，因此任意一条欧拉回路都是中国邮路。如下图 2.3.2(b)所示：AHGFEBCD图 2.3.2(b)(3) 图不对称，即存在一些结点，其中 的值是Giv iivdvd vd以 为始点的边的数目，的值是以 为终点的边的数目。v vdv不妨设，由于邮递员要经过进入的每条边，因此他一定 iivdvdiv6要重复走以为始点的某条边。设表示边的重复次数，表示该边的ivijfjivv ,ijw权，那么中国邮路要选择重复一些边后存在有向欧拉回路，并且使为 GEjiijijfw,最小的一个解，显然此时满足

16、， jijijjiifvdfvd GVvi即. idvdvdffiijjiij(i)若，表示邮路中要次重复经过所发出的一些边，或者说0 idividiv可供应个单位量。ivid(ii)若,表示邮路中要次重复经过进入的一些边，或者说0 idividiv可接收个单位量。ivid (iii)若,则称是中间结点。由于，所以0 idiv iivdvd，这样可以逐次保证每个可供应点经过一些边向某个接收点供0idivjv应一个单位量，最后达到平衡，或者说这些道路上的边出现重复，最后得到的图是有向欧拉图，若这些重复边的总长最小，它即是最佳邮路。G例 1 求下图的中国邮路。55218372v2v3v4v1v5解

17、 此题显然是有向中国邮路问题中的不对称型，故(1)各结点的为，。id 051dd 22 d 13d 14d(2)构造如下图 2.3.2(c):G7000055218372v2v3v4v1v5vsvt v2v3v4v5v1 图 2.3.2(c) 图 2.3.2(d)(3)得到 2 条总和最小的道路,；stPtsvvvvP,421 51P，;故.这样边重复 2 次，边tsvvvvvP,3422 62P 11iP42,vv重复 1 次，得图 2.3.2(d)，其中虚线边表示重复 1 次。34,vv(4)图 2.3.2(d)是欧拉图，其中一条欧拉回路，如就是最佳邮路。154253423421,vvvv

18、vvvvvvvv3 中国邮路问题的算法3.1 无向图的中国邮路问题的算法无向图的中国邮路问题的算法3.1.1 奇偶点图上作业法奇偶点图上作业法(1)把中所有奇度数顶点配成对，将每对奇度数顶点之间的一条路上的每G边改为二重边，得到一个新图,新图中没有奇度数顶点，即为多重 Euler1G1G1G图。 (2)若中某一对顶点之间有多于 2 条边连接，则去掉其中的偶数条边，1G留下 1 条或 2 条边连接这两个顶点，直到每一对相邻顶点至多由 2 条边连接，得到图。2G (3)检查的每一个圈,若某一个圈上重复边的权和超过此圈权和的一2GCC半，则将进行调整。重复这一过程，直到对的所有圈，其重复边的权和不C

19、2G超过此圈权和的一半，得到图。3G8 (4)求的 Euler 回路。3G例 2 求下图所示图的中国邮路。G24555938346464647v12v11v1v10v9v8v2v3v4v5v6v7图 G解 图中有 6 个奇度数顶点,.把它们配成三对：G2v4v5v7v9v10v与,与,与，在图中，取一条与的路，把边,2v5v4v7v9v10vG2v5v5432vvvv32,vv,作为重复边加入图中；再取与之间一条路，把边43,vv54,vv4v7v7654vvvv,作为重复边加入图中，在和之间加一条重复边54,vv65,vv76,vv9v10v，如图(2)，这个圈没有奇度数点，是一个 Eule

20、r 图。109,vv24555938346464647v12v11v1v10v9v8v2v3v4v5v6v7 24555938346464647v12v11v1v10v9v8v2v3v4v5v6v7(2) (3)在图(2)中，顶点与之间有三条重边，去掉其中两条，得到图(3)，该4v5v图仍是一个 Euler 图。在图(3)中，圈的总权为 24，而圈上重复边的权和为 14，大于该211432vvvvv圈总权的一半，于是去掉边和上的重复边，而在和32,vv43,vv112,vv9上加入重复边，此时重复边的权和为 10，小于该圈总权的一半。同理，114,vv圈的总权和为 15，去掉边和上的重复边，在

21、边和512765vvvvv65,vv76,vv125,vv上加重复边，如下图(4)：127,vv24555938346464647v12v11v1v10v9v8v2v3v4v5v6v7 24555938346464647v12v11v1v10v9v8v2v3v4v5v6v7(4) (5)图(4)中，圈的总权为 15，而重复边的权和为 8，从而调整为图4111254vvvvv(5)。图(5)中,圈的总权为 36,而重复边的总权为 20,继续调整110987121121vvvvvvvvv为图(6)：v11v1v8v2v7v4v5v6v3v10v12v9（6）经检验，图(6)为最优方案，其中一条欧拉

22、回路就是最佳邮路。3.1.2 最小权匹配算法最小权匹配算法(1)确定中度为奇数的结点，构成。G GV0(2)求各结点在中的最短路径及其长度。 GV0GijPjivv ,(3)对的结点进行最小权匹配，即选出个,保证每个 GV0 2/0GVjivv ,10结点在中只出现一次，同时满足这些的总和最小。 GVvi0ijPjivv ,(4)在最小权匹配里各所对应的路径中的诸边在中重复一次，jivv ,ijPG得到。G(5)是欧拉图，它的一条欧拉回路即为最优解。G例 3 求下图所示图的中国邮路。G52432331325v2v3v5v6v4v1v7解 显然此题属于无向图的中国邮路问题，故(1)首先找到奇数结

23、点，。 7654320,vvvvvvGV(2)求各结点在中的最短路径及长度， GV0GijPjivv ,，； ，；37223,vvvP42347224,vvvP 424，； ，；57225,vvvP 72561226,vvvP 426，； ，；7227,vvP 2274334,vvP 334，； ，；54335,vvvP 63567336,vvvP 636，； ，；7337,vvP 2375445,vvP 345，； ，；65446,vvvP 6467447,vvP 247，； ，；6556,vvP 3567557,vvP 557，.7667,vvP 467(3)对的结点进行最小权匹配，得最佳

24、匹配,。 GV072,vv43,vv65,vv(4)在最小权匹配里各所对应的路径中的诸边在中重复一次，jivv ,ijPG得到下图。G1152432331325v2v3v5v6v4v1v7(5)是欧拉图，故它的一条欧拉回路即为最优解。G3.1.3 破圈法破圈法(1)奇点处作出标记如加“*”或“o”;(2)求该图的最小树（用破圈法，尽可能多的保留与奇点相连的边） ；(3)在最小树上的奇点处添加重复边，以消灭奇点； (4)回到原问题，且按判优准则检验与调整，直至最优。注 1 最小生成树的求法：设是连通加权简单图，若不是树，则中GGG必有回路，我们删去中含于某回路内权最大的一条边，所得图记为，是G1

25、G1G的连通生成子图，下一步，若不是树，又从的某回路内删去权最大的一G1G1G条边，如此下去，最后不能按上述方法删边时，得到的图便是的一棵生成TG树，即是的最小生成树。TG例 4 求下面图中的最优邮路。243434449655AHGFEIDCB解 显然此题属于无向图的中国邮路问题，故(1)先在图中找到奇点，并记上“o” ，如图(1)：12243434449655AHGFEIDCB（1）(2)求出该图最小树，如图(2)：23434455AHGFEIDCB（2）(3)在最小树上添加重复边，以消灭奇点，如图(3)：23434455AHGFEIDCB(3)(4)经检验，此已是最优解。243434449

26、655AHGFEIDCB13此题的一条最优路线为CBAHABIFGHIDEFIDC3.2 有向图的中国邮路问题的算法有向图的中国邮路问题的算法对称有向图的中国邮路算法较为简单，下面只研究非对称有向图的中国邮路算法，算法如下：(1)计算各结点的正，负度，求出，且。id iivdvdid(2)添加一个超发点，对满足的结点，加入条有向边sv0 idivid，权均为 0；添加一个超收点，对满足的结点，加入isvv ,tv 0 jdjv条有向边，权均为 0，得到图。 jdtjvv ,G(3)在中求条过以，为两端点的形如，每边一次且G svdsvtvisvv ,tjvv ,仅一次的总和最小的道路，记下中各

27、边在这些道路中的重复次数。stPG(4)计入各边的重复次数，中存在有向欧拉回路，其中一条即为解。G例 5 求下图的中国邮路。15221323v4v3v1v5v2解 显然此题属于非对称有向图的中国邮路问题，故(1)先求各结点的为，id21 d 12d 13d(2)构造如下图(a)：G14000015221323v4v3v1v5v2vsvt(a)(3)得到 2 条总和最小的道路,；stPtsvvvvP,311 21P,;.这样边重复 2 次，边重tsvvvvvP,2312 42P 6iP31,vv23,vv复 1 次，得下图，其中虚线边表示重复 1 次。15221323v4v3v1v5v2(4)上

28、图即为欧拉图，其中一条欧拉回路如 就是最佳邮路。154314231231,vvvvvvvvvvvv4 中国邮路问题在实际生活中的应用与推广4.1 无向图的中国邮路问题在实际生活中的应用无向图的中国邮路问题在实际生活中的应用例 6 如下图(1)所示是忻州师范学院主区俯视图，图(2)是校内主干道的简略图，其中每条道路上至少有一个垃圾筒，收垃圾大叔每天需将校内所有的垃圾倒掉，下图中各边上的数字表示在此条路上完成任务所需时间（单位为分钟） ，问如何设计路线才能使大叔在完成任务的同时，所用时间最短？15 2244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 (1) (2

29、)分析 我们把这个问题抽象成上图(2)所示，其中的结点表示几条相交Giv道路的交点，各道路可用交点间的边表示，于是此问题就等价于图中是否存G在经过图的每边一次且仅一次的闭迹问题。G方法一 用奇偶点图上作业法解 在中有 6 个奇度数顶点,.把它们配成三对:与G2v3v5v4v9v11v2v,与,与.在中，取一条连接与的路，并把边，4v3v5v9v11vG2v4v432vvv32,vv作为重复边加入图中；再将与间一条路，把边，43,vv3v5v543vvv43,vv作为重复边加入图中，在与之间加一条重复边，如下图(a)54,vv9v11v119,vv中，这个图中没有奇度数点，是一个 Euler 图

30、。162244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 2244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 (a) (b)在图(a)中，顶点，间有三条重边，去掉其中两条，得到图(b)，该图3v4v仍是一个 Euler 图。在图(b)中，圈的总权为 6，而重复边的权和为 2，小于该圈总1321,vvvv权的一半；圈的总权为 11，而重复边的权和为 4，小于该圈265432,vvvvvv总权的一半；圈的总权为 8，而重复边的权和为 2，小于该圈总58945,vvvvv权的一半；圈的总权为 12，而重复边的权和为 6，等于该圈

31、总8111098,vvvvv权的一半；圈的总权为 16，而重复边的权和为 8，等于该581110945,vvvvvvv圈总权的一半；圈的总权为 20，而重复边的权和为 6，小7121110987,vvvvvvv于该圈总权的一半。由此看来，在每个圈上，都满足重复边的权和不超过此圈权和的一半，故图(b)为最优方案，其中一条欧拉回路即为最佳邮路，如即为一条最优邮路，13234549101110981112785621,vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv且最短时间为 49。17方法二 最小权匹配算法解 显然此题属于无向图的中国邮路问题，故(1)先找出奇数结点； 11954320,vvvvvvG

32、V (2)再求各结点在中的最短路径及长度， GV0GijPjivv , ， ； ，；3223,vvP 22343224,vvvP 524 ，； ，；56225,vvvP 425943229,vvvvP 729 ，；11856211, 2,vvvvvP1011, 2 ，； ，；4334,vvP 33454335,vvvP 535 ，； ，；94339,vvvP 539111094311, 3,vvvvvP1111, 3，； ，；5445,vvP 2459449,vvP 249，；11109411, 4,vvvvP811, 4，； ，；94559,vvvP 459118511, 5,vvvP611

33、, 5，。1110911, 9,vvvP611, 9对的结点进行最小权匹配，得最佳匹配为与,与,与,在 GV02v3v4v5v9v11v最小权匹配里各所对应的路径中的诸边在中重复一次，得到上图jivv ,ijPG(b)，且其为欧拉图，故它的一条欧拉回路即为最优邮路。方法三 用破圈法来求解此题解 显然此题属于无向图的中国邮路问题，故(1)先在图中找出奇点，并记上“o”,如下图(a)：(2)求出该图最小树，如下图(b)：182244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 22422221232v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 (a) (

34、b) (3)在最小树上添加重复边，以消灭奇点,如图(c)：22422221232v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1 (c)19(4)经检验，此解已是最优解，其中任意一条欧拉回路即为最优解，如 即为解，且最短时13234549101110981112785621,vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv间为 49。例 7 下图是忻州师院校内某超市的内部过道，刚刚开学时，某同学需要购买的物品比较多，下图中的数字表示在此货架上寻找自己所需物品的时间（单位为分钟） ，问若他能一次性购齐所有物品，如何规划路线能使其所用时间最短？2312513641222v8v7v6v5v4v9v1

35、0v2v3v1分析 本题用上述的三种方法均可求解，下面用破圈法为例解决此题。解 (1)先找到图中的奇点，并记上“o” ，如图(a)所示：2312513641222v8v7v6v5v4v9v10v2v3v1(a)(2)求出该图的最小树，如图(b)所示：（方法用破圈法）231213122v8v7v6v5v4v9v10v2v3v120(b)(3)在最小树上添加重复边，以消灭奇点,如图(c)：2312513641222v8v7v6v5v4v9v10v2v3v1(c)(4)经检验，此解已是最优解，如 就是一条最优中国邮路，且最1107611098761254321,vvvvvvvvvvvvvvvvv短用

36、时为 41。4.2 有向图的中国邮路问题在实际生活中的应用有向图的中国邮路问题在实际生活中的应用 例 8 实例图仍为忻州师范学院，校内由于道路较窄，每到开学季，进入校内的车辆较多，故每条道路都为单行线，其方向如图所示，某家长想开车环游整个校园，问如何规划路线才能使其在不违反规定的条件下，将校内每条道的风景都领略到呢？212244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1解 显然此题属于非对称有向图的中国邮路问题，故(1)求得各结点的为， id 01210761ddddd，。 111943dddd 152dd 28 d(2)构造如图(b)：G22000000002244422222132322v12v11v10v9v8v7v5v4v6v2v3v1vsvt(b)(3)得到 4 条总和最小的道路,;stPtsvvvvvP,3121 41P,;,tsvvvvvvvvP,4312