复平面上的点集

1、第二节 复平面上的点集1.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念1.2.2 区域区域与约当与约当(Jordan)曲线曲线1.2.3 典型例题1.2.4 小结与思考小结与思考21.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念定义定义1.1 邻域邻域:. : )( , 的的邻邻域域内内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以000zzzz 记作记作:N (z0)N (z0)=z | |z-z0| . 0 00的的去去心心邻邻域域确确定定的的点点的的集集合合为为所所称称由由不不等等式式zzz 记作：记作：N 0

2、(z0)=z | 0|z-z0|0: N (z0)E=z0z0为为E的外点的外点 0: N (z0)E= 4定义定义1.3 内点内点:. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设EzEzEzE 如果如果 E 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末E 称称为开集为开集. . 如果在如果在z0的任意一个邻域内的任意一个邻域内,都有都有属于属于 E 的点的点,也有也有不属于不属于E的点的点,则称则称z0为为E的边界的边界点。点。z0为为E的内点

3、的内点 0: N (z0)E点集点集E E的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E E的边的边界界. .记为：记为： E E5定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集:. , , 0, , 否否则则称称为为无无界界的的称称为为有有界界的的那那末末足足使使区区域域的的每每一一个个点点都都满满即即存存在在心心的的圆圆里里面面点点为为中中可可以以被被包包含含在在一一个个以以原原如如果果一一个个EMzME 点集z zxy有界！有界！o6定义定义1.5 区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称它为一个区域它为一个区域. .(1) D是一个是一个开

4、集开集；(2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何中任何两点都可以用完全属于两点都可以用完全属于D的一的一条折线连结起来条折线连结起来.1.2.2 区域与区域与Jordan曲线曲线D加上加上D的边界称为闭域。记为的边界称为闭域。记为 DD+ D z1z2D7说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 区域都是开的区域都是开的.以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界不包含边界！不包含边界！8(1) 圆环域圆环域:;2

5、01rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo9定义定义1.7 连续曲线连续曲线:. , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示:)().()()( ttiytxtzzC的实参数方程的实参数方

6、程C的的复复参数方程参数方程起点起点z( )C终点终点z( )zxyCC的正向：起点的正向：起点终点终点o10. )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztztttttt 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为称为简单曲线简单曲线( (或若尔当曲线或若尔当曲线).).重点重点重点重点重点重点. , )( )( , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即的的起起点点和和终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线CzzC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 11简单闭曲线的性质简单闭曲线

7、的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲任意一条简单闭曲线线 C C 将复平面唯一地分将复平面唯一地分成成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三个互不相三个互不相交的点集交的点集. .满足：满足：xyoI(C)E(C)边界边界（1）I I( (C C) ) 是一个有界区域是一个有界区域（称为（称为C C的内部）的内部）. .（2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. .（3）若简单折线）若简单折线P的一个断点属于的一个断点属于I(C)，另一个，另一个端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. .（

8、4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. .122. 光滑曲线光滑曲线:.0, )( )( , , )( )( , 22称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxttytxt 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. .xyoxyo特特点点 （1）光滑曲线上的各点都有切线）光滑曲线上的各点都有切线 （2）光滑曲线可以求长）光滑曲线可以求长13课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简

9、简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 144. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域15三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的

10、是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).163arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域. 17411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4

11、的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.18111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边界边界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.19例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是

12、单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2Re)2( z), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域.20, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以不是区域不是区域.21,4arg0)5( iziz , 时时当当iyxz iziz ,)1(2)1(1222222 yxxiyxyx 4arg0 知知由由 iziz0,)1(12222 yxyx0,)1(222 yxx22, 0)1( 22 yx因为因为 , 12, 01, 02 2222yxxyxx于是于是 . 2)1(, 1, 0 2222yxyxx, 2)1( 22