概率论第七章

1、 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数 估计降雨量估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数参数.总体所服从的分布类型已知总体所服从的分布类型已知估计其未知的参数估计其未知的参数这类问题称为这类问题称为参数估计参数估

2、计.参数估计问题的一般提法参数估计问题的一般提法X1,X2,Xn要依据该样本对参数要依据该样本对参数 作出估计，或估计作出估计，或估计 的某个已知函数的某个已知函数 .)( g现从该总体抽样，得样本现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量) . 为为 F(x, )，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是可以是 参数估计参数估计点估计点估计区间估计区间估计)1 . 0,(2 N（假定身高服从正态分布（假定身高服从正态分布 ） 设这设这5个数是个数是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计估计 为为1.68，这是这是点估计

3、点估计.这是这是区间估计区间估计.估计估计 在区间在区间1.57, 1.84内，内，假如我们要估计某队男生的平均身高假如我们要估计某队男生的平均身高. 现从该总体选取容量为现从该总体选取容量为5的样本，我们的样本，我们的任务是要根据选出的样本（的任务是要根据选出的样本（5个数）求出个数）求出总体均值总体均值 的估计的估计. 而全部信息就由这而全部信息就由这5个个数组成数组成 . 一一.点估计点估计现从该总体抽样，得到样本现从该总体抽样，得到样本X1,X2,Xn设总体设总体X的分布函数为的分布函数为 F(x; )，其中其中为未知参数为未知参数 (可以是向量可以是向量) . 从样本出发构造适当的统

4、计量从样本出发构造适当的统计量),(1nXXTT作为参数作为参数 的的估计量估计量，即点估计。，即点估计。),(1nxxT将将x1,xn 代入估计量，得到代入估计量，得到的的估计值估计值 点估计方法点估计方法矩法矩法最大似然法最大似然法1. 矩估计法矩估计法 其基本思想是其基本思想是用样本矩估计总体矩用样本矩估计总体矩 . 理论依据理论依据: 它是基于一种简单的它是基于一种简单的“替换替换”思想建立起来的一种估计方法思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家是英国统计学家K.皮尔逊皮尔逊最早提出的最早提出的 .大数定律大数定律,)( XE我们知道我们知道, ,服从正态分布服从正态分布,.),

5、(2vXrN的 由大数定律由大数定律, , 1|1|lim1 niinXnP自然想到把样本体重的平均值作为总体平均自然想到把样本体重的平均值作为总体平均体重的一个估计体重的一个估计. .22 估计S类似地，用样本体重的方差类似地，用样本体重的方差 . ., 估计X用样本体重的均值用样本体重的均值,11niiXnXniiXXnS122)(11样本体重的平均值样本体重的平均值二二.矩法矩法样本样本k阶原点矩阶原点矩nikikXnA11总体总体k阶原点矩阶原点矩)(kXE 基本思想是用样本矩代替总体矩基本思想是用样本矩代替总体矩 .样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnM1)(1总体总体k阶中心

6、矩阶中心矩kXEXE)( 2.矩法的步骤矩法的步骤 计算总体计算总体X的的 r 阶原点矩阶原点矩E(Xr)， (r=1,2,k);(2) 用样本用样本r阶原点矩阶原点矩 替换总体替换总体r阶原点阶原点 矩矩,列出方程组：列出方程组： ,1)(.,1)(,1)(11221nikkniniiiiXnXEXnXEXnXE设总体设总体X中有中有k个未知参数个未知参数1, 2, k (3) 解方程组，得解方程组，得 r=hr(X1, X2, Xn) (r=1,2,k);则以则以hr(X1, X2, Xn)作为作为r的估计量，并的估计量，并称称hr(X1, X2, Xn)为为r的的矩估计量矩估计量,而称而

7、称hr(x1, x2, xn)为为r的的矩估计值矩估计值。 例例1. 设总体设总体X的分布律如下，其中的分布律如下，其中为为 未知参数未知参数,试求试求的矩估计量。的矩估计量。解：解：221232 (1)(1)XP22()12 2 (1)3 (1)32E X 11()32niiE XXXn32X 例例2. 设总体设总体XB(n,p)，其中，其中n已知。已知。 试求试求p的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=np.XXnnpXEnii11)(nXp 例例3. 设总体设总体XN(,2)，其中，其中,2是是 未知参数，试求未知参数，试求,2的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=, D(X)=

8、2.niiniiXnXEXXnXE1222211)(1)(212211)(11SnnXXnXnXniinii 例例4. 设总体设总体XUa,b，其中，其中a，b是是 未知参数。试求未知参数。试求a，b的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.2222121)(41)(121)()()(1)(21)(1baabXEXDXEXnbaXEXnniinii22) 1( 3) 1( 3snnXbsnnXa 例例5. 设总体设总体XE()，其中，其中0为未知参数为未知参数, 试求试求的矩估计量。的矩估计量。解法一：解法一：XXE1)(X1解法二：解法二：ni

9、iXnXE122212)(niiXn122 例例6. 设总体设总体X的概率密度如下，其中的概率密度如下，其中0 为未知参数为未知参数,试求试求的矩估计量。的矩估计量。解：解：1( ; )e,2xf xx 1()ed02xE Xxx2222011()eded22xxE Xxxxx22112niiXn2112niiXn 当总体只含一个未知参数时，用方程当总体只含一个未知参数时，用方程 XXE)(即可解出未知参数的矩估计量；即可解出未知参数的矩估计量；当总体只含两个未知参数时，用方程当总体只含两个未知参数时，用方程 组组 21)()(SnnXDXXE即可解出未知参数的矩估计量。即可解出未知参数的矩估

10、计量。 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行,并不需要并不需要事先知道总体是什么分布事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 三三.极大似然法极大似然法 是在总体类型已知条件下使用的一种是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法参数估计方法 . 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 , GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇 . 费歇费歇在在1922年重新发现了年重新发现了 这一方法，并首先研

11、究了这这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质种方法的一些性质 . 极大似然法的基本思想极大似然法的基本思想 先看一个简单例子：先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过一只野兔从前方窜过 .是谁打中的呢？是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一某位同学与一位猎人一起外出打猎起外出打猎 .如果要你推测，如果要你推测，你会如何想呢你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下只听一声枪响，野兔应声倒下 . 下面我们再看一个例子下面我们再看一个例子,进一步体会极进一步体会极大似然法的基本思想大似然法的基本思想 . 你就会想，只发一枪便打中你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率

12、概率一般大于这位同学命中的概率. 看来这看来这一枪是猎人射中的一枪是猎人射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想然法的基本思想 .例例7.设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，已设在一个箱子中装有若干个白色和黄色乒乓球，已 知两种球的数目之比为知两种球的数目之比为1:3，但不知是白球多还是黄，但不知是白球多还是黄 球多，现从中球多，现从中有放回有放回地任取地任取3个球，发现有个球，发现有2个白个白 球，问白球所占的比例是多少？球，问白球所占的比例是多少？ 解：白球所占比例解：白球所占比例p=1/4或或3/4. X:任取任取3个球中白球的

13、个数，个球中白球的个数，XB(3, p)1 (3)1 ()2(2223ppppCXP6427)2(,43649)2(,41XPpXPp时时所以所以白球所占的比例为白球所占的比例为3/4。 最大似然法最大似然法设总体设总体X的分布律或概率密度为的分布律或概率密度为f(x; ), =(1, 2, k)是未知参数，是未知参数， X1,X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的样本，则称的样本，则称X1,X2, ,Xn的联合分布律或概率密度函数的联合分布律或概率密度函数niinxfxxxL121);();,.,(为样本的为样本的似然函数似然函数，简记为，简记为L()。 求最大似然估计量的步骤：求最大似然估

14、计量的步骤：(1) 根据根据f(x; )，写出似然函数，写出似然函数niixfL1);()(2) 对似然函数取对数对似然函数取对数niixfL1);(ln)(ln(3) 写出方程写出方程(组组)0lnL若方程若方程(组组)有解有解，求出求出L()的最大值点的最大值点 ),.,(21nxxx。XXXn的最大似然估计量即为于是),.,(21解：似然函数为解：似然函数为niixL11)( 11)( niinx) 10(ix对数似然函数为对数似然函数为niixnL1ln) 1(ln)(ln ni 1例例8 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其它, 010,)(1xxxfX

15、求求 的极大似然估计的极大似然估计. 其中其中 0,niixndLd1ln)(ln求导并令其为求导并令其为0=0从中解得从中解得niixn1*ln 即为即为 的的MLE . 对数似然函数为对数似然函数为niixnL1ln) 1(ln)(ln 例例9.设总体设总体XB(m,p)，其中，其中m已知，已知，p0为为 未知参数未知参数,试求样本的似然函数试求样本的似然函数L(p)。解：解：xmxxmppCxXPpxf)1 ()();(nixxmniiixmiippCpxfpL11)1 (),()(niixnmniiippCxnixm11)1 (1例例10. 设总体设总体XN(,2)，其中，其中,2是是

16、 未知参数。求未知参数。求,2的最大似然估计。的最大似然估计。解：解：)(21exp21),;(222iixxfniixL1222)(21exp21),(niixnnL12222)(21ln2)2ln(2),(ln)(21exp)()2(122222niinnxniiniinxnLnxL122222120)()(212ln01lnniiniixxnxxn1221)(11niiSnnXXnX12221)(1例例11.设随机变量设随机变量XB(1,p),p未知，试求未知，试求p 的最大似然估计量。如果的最大似然估计量。如果p表示某一批表示某一批 产品中的次品率，今从中随机抽取产品中的次品率，今从中

17、随机抽取85 件，发现次品件，发现次品10件，试估计这批产品的件，试估计这批产品的 次品率。次品率。 解：解：iixxiiippxXPpxf1)1 ()();(niixnniipppxxLpLx11)1 ();,.,()(851)1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii得令，dppLd0)(lnXp pxnpxdppLdniinii1)(ln11从中随机抽取从中随机抽取85件，发现次品件，发现次品10件，那么件，那么111028517niixxn所以这批产品的次品率为所以这批产品的次品率为217p 例例12.设设X1,X2,Xn为取自总体为取自总体XU0, 的样的样 本本,其中其中0

18、未知未知,分别用矩法和最大似然分别用矩法和最大似然 法求法求的估计量的估计量. 解：解：, 0,0,1);(其他xxf(1)矩法：矩法：XXE2)(X210)(lnL若令显然显然,该似然方程组无解该似然方程组无解.怎么办呢？怎么办呢？., 00,1);()(1其他inniixxfL(2)最大似然法：最大似然法： 若似然方程无解，即似然函数没若似然方程无解，即似然函数没有驻点时，通常在边界点上达到有驻点时，通常在边界点上达到最大值，可由定义通过对边界点最大值，可由定义通过对边界点的分析直接推求。的分析直接推求。 对于例对于例12，,max1inix只要取)(sup)(LL则的最大似然估计量为故.

19、, 0),.,2 , 1(0,1)(其他nixLininiX12max 例例13. 设总体设总体X的的概率密度为概率密度为其他, 010,) 1()(xxxf其中其中-1是未知参数，是未知参数， X1,X2, ,Xn是来自总体是来自总体X的样本的样本.分别求分别求的矩估的矩估计量和极大似然估计量。计量和极大似然估计量。解：解：(1) 矩估计矩估计21) 1()()(10dxxxdxxxfXEX21XX1121 (2) 最大似然估计最大似然估计) 10()() 1()(1iniinxxLniixnL1ln) 1ln()(ln0)(lndLd令niixn1ln1niixn12ln1常用的几条标准是

20、：常用的几条标准是：无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性 一一.无偏性无偏性。XXXn的估计量是未知参数设),.,(21,)(E若),.,(21nXXX则称是是的的无偏估计量无偏估计量。,)(limEn若),.,(21nXXX则称是是的的渐近无偏估计量渐近无偏估计量. 例例1. 设设X1,X2, ,Xn是来自有有限数学期望是来自有有限数学期望 和方差和方差2的总体的总体。证明：。证明：.)(1) 3(;)(11)2(;1) 1 (212222122211的渐近无偏估计量是总体方差的无偏估计量是总体方差的无偏估计量是总体均值niiniiniiXXnXXnSXnX证证:(1)niiniiXEnXE

21、nXEE11)(1)(1)() (.的无偏估计量是X.2221的无偏估计量是S(2).222的渐近无偏估计量是(3)2221nSn222211()()nnEE Snn22221lim()lim()nnnEn 例例2. 设设X1,X2, Xn来自总体来自总体X，E(X)= , D(X)=2。证明下列统计量都是。证明下列统计量都是的的 无偏估计量。无偏估计量。.4341) 3(;)2(;) 1 (213211XXXX 二二.有效性有效性.),.,(),.,(212211的无偏估计量都是和设nnXXXXXX),()(21DD若21比则称有效有效。 例例3. 例例2中中1 1, ,2 2, ,3 3哪

22、个估计量更有效？哪个估计量更有效？解：解：;)(21D.85)(;1)(2322DnD可见当可见当n2时，时，D(2)D(3)00，有，有1)(pp，Pn时当.的一致估计量是pp例例5. 设设X1,X2, Xn来自总体来自总体X，且，且E(Xk)存在存在 但未知但未知。证明。证明.,.)2 , 1)(11的一致估计量是kXEXnkniki证：因为证：因为 X1,X2, Xn独立同分布独立同分布也独立同分布knkkXXX,.,21)()(kkiXEXE且由辛钦大数定律，得由辛钦大数定律，得11lim |()|1nkkiniPXE Xn.,.)2 , 1)(11的一致估计量是kXEXnkniki

23、一一.置信区间置信区间1设设X分布函数为分布函数为F(x; ), 未知，给定未知，给定 (0 1),若由样本若由样本 X1,X2, ,Xn确定的两个统确定的两个统计量计量),.,(),.,(212211nnXXXXXX和1)(21P满足的为参数则称随机区间),(21置信度为置信度为1- 的的双侧置信区间双侧置信区间。 二二.置信区间置信区间2设设X分布函数为分布函数为F(x; ), 未知，给定未知，给定(0 1),若由样本若由样本 X1,X2, ,Xn构造统计构造统计量量),.,(),.,(212211nnXXXXXX或1)(1)(21PP或满足的为参数或则称随机区间),- (),(21置信度

24、为置信度为1-的的单侧置信区间单侧置信区间。 三三.区间估计区间估计对于给定的置信度，根据样本来确定未对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数知参数的置信区间，称为未知参数的置信区间，称为未知参数的的区间估计区间估计。四四.求置信区间的步骤求置信区间的步骤(1) 选择合适方法估计未知参数选择合适方法估计未知参数，再构造，再构造 分布已知、含参数分布已知、含参数、不含其它未知参、不含其它未知参 数的样本函数数的样本函数U；(2) 给定置信度给定置信度1- ，定出常数，定出常数a,b，使，使 PaU b= 1-或或Pa U= 1- 或 PU b= 1- ；(3) 将将aU b或或a U 或U b变

25、形，变形， 使得使得.1),- (),(),(2121的置信区间的一个置信度为就是或或区间2121或或 1.单总体单总体均值均值的区间估计的区间估计 2已知时已知时的置信区间的置信区间 2未知时未知时的置信区间的置信区间方差方差2的区间估计的区间估计 已知时已知时2的置信区间的置信区间 未知时未知时2的置信区间的置信区间 2已知时已知时的置信区间的置信区间) 1 , 0( NnXU12unXP122nuXnuXP即得即得的置信区间的置信区间),(22nuXnuX置信区间是多少？的，则未知参数的样本，得样本均值为容量例：设由取自正态总体95%59)9 . 0 ,(2XNX例例1. 从一批服从正态

26、分布从一批服从正态分布N(,0.022)的零件中随的零件中随 机抽取机抽取16个，分别测得其长度为：个，分别测得其长度为：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 估计该批零件的平均长度估计该批零件的平均长度，并求，并求的置的置 信区间信区间(=0.05).解：解：的矩估计值为的矩估计值为125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115. 222nuXnuX的置信区间为的置信区间为(2.115,2.135). 2未知时未知时的置信区

27、间的置信区间) 1(ntnSXT1) 1(2ntnSXP1) 1() 1(22nSntXnSntXP即得即得的置信区间的置信区间nSntXnSntX) 1(,) 1(2295%-12 90%-1164. 0, 7 . 7%102）（）（置信区间。度下平均含脂率的试分别求在下面的置信布。，设含脂率服从正态分样本方差），得到样本均值样品的含脂率（个产的羊毛中抽测例：随机从某毛纺厂生SX例例2. 从一批服从正态分布从一批服从正态分布N(,2)的零件中随的零件中随 机抽取机抽取16个，分别测得其直径为：个，分别测得其直径为：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.

28、03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 估计该批零件的平均长度估计该批零件的平均长度，并求，并求的置的置 信区间信区间(=0.05).解：解：代入得查表,13. 2)15() 1(00244. 0,075.12,16025. 022tntSXn101.12) 1(049.12) 1(22nSntXnSntX的置信区间为的置信区间为(12.049,12.101). 已知时已知时2的区间估计的区间估计niNXi,.,2 , 1) 1 , 0()(2212nXnii2)(2)(221212221nXPnXPniinii 1)()

29、(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii即得即得2的置信区间的置信区间)()(,)()(221122212nXnXniinii例例3. 一批钢筋的一批钢筋的20个样品的屈服点为：个样品的屈服点为：4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.385.46 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 5.20 设屈服点服从正态分布设屈服点服从正态分布N(5.21,2),求屈服点求屈服点 总体方差总体方差2的置信度为的置信度为95的置信区间。的置信区间。解：解：代入

30、得查表,59. 9)20()(,17.34)20()(05. 095. 01,21. 5,202975. 02212025. 022nnn2的置信区间为的置信区间为(0.027,0.096). 未知时未知时2的区间估计的区间估计) 1() 1(2222nSn2) 1() 1(2) 1() 1(221222222nSnPnSnP1) 1() 1() 1(2222221nSnnP 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP即得即得2的置信区间的置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn例例4. 试求例试求例2中零件直径的方差中零件直径的方差2对应于置

31、信对应于置信 度度98的置信区间。的置信区间。解：解：代入得查表,23. 5)15() 1(, 6 .30)15() 1(02. 098. 01299. 0221201. 022nn2的置信区间为的置信区间为(0.001196,0.006998). 2.双总体双总体设设X N(1,12)，Y N(2,22)，X1,X2,Xm来自来自X，Y1,Y2,Yn来自来自Y，且两样本相互独立。且两样本相互独立。均值差均值差1- 2的区间估计的区间估计方差比方差比12/ 22的区间估计的区间估计 1,2已知时已知时1- 2的置信区间的置信区间nmYX2221221,令),(2N则22,uu即得即得1- 2的

32、置信区间的置信区间nmuYXnmuYX2221222212, 1,2未知未知, ,但但1=2=时时, ,1- 2的的 置信区间置信区间) 1 , 0(11)(21NnmYXU)2(11)(21nmtnmSYXTw nmSnmtYXnmSnmtYXww11)2(,11)2(222) 1() 1(2221nmSnSmSw其中 1,2未知未知, ,且且12，但容量，但容量m,n很大很大时时, , 1- 2的置信区间的置信区间221222211221)(11)(11niiniiYYnSXXmS近似代替以近似代替以nSmSuYXnSmSuYX2221222212, 方差比方差比12/22的区间估计的区间

33、估计我们仅讨论我们仅讨论 1, 2未知未知) 1, 1(22222121nmFSSF1) 1, 1() 1, 1(22222212121nmFSSnmFP1) 1, 1(1) 1, 1(1212221222122221nmFSSnmFSSP 可得可得12/22的置信区间：的置信区间：) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221nmFSSnmFSS同理，同理，22/12的置信区间：的置信区间：) 1, 1(1,) 1, 1(121212222122mnFSSmnFSS例例1.某茶厂自动包装茶叶，每包茶叶的重量服某茶厂自动包装茶叶，每包茶叶的重量服 从正态分布从正态分布N(100,1.

34、152) ，某日开工后，随，某日开工后，随 机抽测了机抽测了9包，其重量为（单位：包，其重量为（单位：g）：）：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 假设每包茶叶重量的方差保持不变，问这天包假设每包茶叶重量的方差保持不变，问这天包 装机工作是否正常？装机工作是否正常？例例2.某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼某卷烟厂生产甲、乙两种烟，分别对它们的尼 古丁含量（毫克）作了古丁含量（毫克）作了6次测定，测定结果为次测定，测定结果为甲：甲：25 28 23 26 29 22乙：乙：28 23 30 25 21 27 试问这两种香烟的尼

35、古丁含量有无显著差异试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异 （设两种烟的尼古丁含量服从正态分布，且方（设两种烟的尼古丁含量服从正态分布，且方 差相等）？差相等）？例例3.从某校从某校2004年年250名应届毕业生的高名应届毕业生的高 考成绩中随机抽取了考成绩中随机抽取了50个，问能否根个，问能否根 据这据这50个成绩判断该校在个成绩判断该校在2004年高考年高考 成绩是否服从正态分布？成绩是否服从正态分布？根据问题的题意提出假设，然后根据样本根据问题的题意提出假设，然后根据样本的信息对假设进行检验，作出判断。的信息对假设进行检验，作出判断。H0:检验是否为真的假设称为检验是否为真的假设称为原假

36、设原假设；H1:与与H0对立的假设称为对立的假设称为备择假设备择假设。原假设是关于总体参数的，则称之为原假设是关于总体参数的，则称之为参数参数假设假设;检验参数假设的问题，称为检验参数假设的问题，称为参数检验参数检验；原假设是关于总体分布类型的，则称之为原假设是关于总体分布类型的，则称之为分布假设分布假设；检验分布假设的问题，称之为检验分布假设的问题，称之为分布检验分布检验.假设检验的基本原理假设检验的基本原理“小概率小概率”原理原理：概率很小的事件在一：概率很小的事件在一次实验中不可能发生。次实验中不可能发生。例例4.某厂提供的资料表明该厂的产品合格率为某厂提供的资料表明该厂的产品合格率为

37、p=99%，要检验厂方资料是否属实。，要检验厂方资料是否属实。提出提出H0:p=0.99构造小概率事件构造小概率事件A =“任意抽取一个任意抽取一个产品为不合格品产品为不合格品”任意抽取一个产品任意抽取一个产品若若A发生推翻推翻H0若若A没发生接受接受H0续例续例1. 检验这天包装机工作是否正常？检验这天包装机工作是否正常？解：解：H0: =100 H1: 100) 1 , 0(/0NnXU96. 1,05. 02/u|U|=0.0524.0322得否定域得否定域 W: |t |4.0322故不能拒绝故不能拒绝H0 .第四步：第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 t 的实测值的

38、实测值, ,| t |=2.99711.07,拒绝拒绝H0。未知时未知时2的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 2= 02) 1()(1221202nXXnii2) 1(2) 1(2212222nPnP,),1() 1(02212222Hnn拒绝或当否则否则,接受接受H0.(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0: 202) 1(22nP,),1(022Hn拒绝当否则否则,接受接受H0.(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 2 02) 1(212nP,),1(0212Hn拒绝当否则否则,接受接受H0. 例例2.某炼铁厂铁水的含碳量某炼铁厂铁水的

39、含碳量X，在正常情况下服从正，在正常情况下服从正态分布。现对操作工艺进行某些改变，从中抽取了态分布。现对操作工艺进行某些改变，从中抽取了7炉铁水的试样，测得含碳量数据如下：炉铁水的试样，测得含碳量数据如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683试问：是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方试问：是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为差仍为0.1122？（？（ =0.05 ）解：解：H0: 2=0.1122789.16)(1712202iiXX45.14)6(,237. 1)6(22025. 0975. 02=16.78914.45,拒绝拒绝H0。

40、检验 参数 条件 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量 服从 分布 拒绝区域 0 0 2Uu 0 0 Uu 2已知 0 0 0/XUn (0,1)N Uu 0 0 /2(1)Ttn 0 0 (1)Ttn 2未知 0 0 0/XTSn (1)t n (1)Ttn 220 220 22/2( )n或221/2( )n 220220 22( )n 已知 220220 222101()niiX 2( )n 221( )n 220 220 22/2(1)n或221/2(1)n 220220 22(1)n 2 未知 220220 222101()niiXX 2(1)n 221(1)n 例例1. 从一批

41、服从正态分布从一批服从正态分布N(,0.022)的零件中随的零件中随 机抽取机抽取16个，分别测得其长度为：个，分别测得其长度为：2.142.10 2.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11 (1)试估计该批零件的平均长度试估计该批零件的平均长度，并求，并求 的双侧置信区间的双侧置信区间;(2)试问该批零件的平均长试问该批零件的平均长 度与度与 2.15有无差异？有无差异？(=0.05).解：解：(1)125. 21611. 2.14. 2 X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115.

42、 222nuXnuX的双侧置信区间为的双侧置信区间为(2.115,2.135).2已知时已知时的双侧置信区间为的双侧置信区间为),(22nuXnuX(2) H0:=0 0, H1:0 0( (0 0=2.15)=2.15) 1 , 0(/NnX96. 1,05. 02/u|U|=51.96, 拒绝拒绝H0。即该批零即该批零件的平均长度与件的平均长度与 2.15有显著差异。有显著差异。502. 0)15. 2125. 2(16/0nXU 例例2.根据以往的资料得知根据以往的资料得知,我国健康成年男子的我国健康成年男子的 每分钟脉搏次数服从每分钟脉搏次数服从N(72,6.42).现从某体院现从某体

43、院 男生中男生中,随机抽取随机抽取25人人,测得平均脉搏测得平均脉搏 为为68.6次次/min,如果标准差不变如果标准差不变, (1)该体院男生脉搏的单侧上限置信区间；该体院男生脉搏的单侧上限置信区间； (2)是否可以认为该体院男生的脉搏明显低是否可以认为该体院男生的脉搏明显低 于一般健康成年男子的脉搏？（于一般健康成年男子的脉搏？（=0.05）解：解：(1)代入得6 .68,25, 4 . 6,645. 105. 0Xnuu7056.70nuX的单侧上限置信区间为的单侧上限置信区间为(0, 70.7056).2已知时已知时的单侧上限置信区间为的单侧上限置信区间为),(nuX(2) H0:72

44、72, H1:7272) 1 , 0(/NnX645. 1,05. 0uU=-2.6560 0 2未知时未知时的单侧上限置信区间的单侧上限置信区间nSntX) 1(,),1(0HntT拒绝当否则否则,接受接受H0.2未知时未知时的左侧假设检验的左侧假设检验检验假设检验假设H0:0 0, H1:3.25) 1(/ntnSX 563. 22622. 0)25. 3399. 3(20/0nSXT73. 1) 1(,20,05. 0ntnT =2.5631.73, 拒绝拒绝H0。即可以认为。即可以认为当前鸡蛋的价格明显高于往年。当前鸡蛋的价格明显高于往年。 l单正态总体方差的区间估计与假设检验单正态总

45、体方差的区间估计与假设检验求求2的双侧置信区间与双侧检验的双侧置信区间与双侧检验H0:2=02, H1:202求求2的单侧下限置信区间与右侧检验的单侧下限置信区间与右侧检验H0:202, H1:202求求2的单侧上限置信区间与左侧检验的单侧上限置信区间与左侧检验H0:202, H1:202,),1(02HnT拒绝当否则否则,接受接受H0. 未知时未知时2的单侧上限置信区间的单侧上限置信区间) 1() 1(, 0212nSn未知时未知时2的左侧假设检验的左侧假设检验检验假设检验假设H0:202 , H1:214.45, 拒绝拒绝H0。即不能认为新工即不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为艺炼出

46、的铁水含碳量的方差仍为0.1122。) 1() 1(222nSnT7889.16) 1(202SnT2373. 1) 1(,4492.14) 1(,05. 022/122/nn 已知时已知时2的双侧置信区间的双侧置信区间即得即得2的双侧置信区间的双侧置信区间)(221nXTnii1)()(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii)()(,)()(221122212nXnXniinii)()(122120nXTnii2)(2)(22122nTPnTP,),()(022122HnTnT拒绝或当否则否则,接受接受H0.已已知时知时2的双侧假设检验的双侧

47、假设检验检验假设检验假设H0:2=02 , H1:202 已知时已知时2的单侧下限置信区间的单侧下限置信区间,)()(212nXnii已知时已知时2的右侧假设检验的右侧假设检验检验假设检验假设H0:202 , H1:202,),(02HnT拒绝当否则否则,接受接受H0. 已知时已知时2的单侧上限置信区间的单侧上限置信区间)()(, 02112nXnii已未知时已未知时2的左侧假设检验的左侧假设检验检验假设检验假设H0:202 , H1:211.07, 拒绝拒绝H0。即这一天生产的维即这一天生产的维尼纶的纤度的方差不正常。尼纶的纤度的方差不正常。1455. 1)(,0703.11)(,10. 0

48、22/122/nn)()(12212nXTnii67.13)(12120niiXT l双正态总体均值的区间估计与假设检验双正态总体均值的区间估计与假设检验求求1-2的双侧置信区间与双侧检验的双侧置信区间与双侧检验H0: 1=2, H1: 1 2 求求1-2的单侧下限置信区间与右侧检验的单侧下限置信区间与右侧检验H0: 12, H1: 1 2求求1-2的单侧上限置信区间与左侧检验的单侧上限置信区间与左侧检验H0: 12, H1: 12 12、22已知时已知时1-2的单侧上限置信区间的单侧上限置信区间nmuYX2221,0HuU拒绝当否则否则,接受接受H0.12、22已知时已知时1-2的的左侧假设

49、检验左侧假设检验检验假设检验假设H0:0 0, H1:0 0例例1. 已知已知A行业职工月工资行业职工月工资XN(1,1.52) (单位单位:千元千元) ; B 行业职工月工资行业职工月工资Y N(2,1.22) (单位单位: 千元千元).2005年在年在 某地区分行业调查职工平均工资情况，从总体某地区分行业调查职工平均工资情况，从总体X、 Y中分别调查中分别调查25、30人人, 算得其平均月工资分别为算得其平均月工资分别为 4.8、4.2千元。千元。 (1)求这两行业职工月平均工资之差的双侧置信区求这两行业职工月平均工资之差的双侧置信区 间；间；(2)问这两行业职工月平均工资是否有显著差问这两行业职工月平均工资是否有显著差 异？异？( =0.05 )解：解：代入得查表,96. 1,05. 0, 2 . 4, 8 . 4,30,252uYXnm3281. 1,1281. 02221222212nmuYXnmuYX1-2的双侧置信区间为的双侧置信区间为(-0.1281, 1.3281).(1) 12、22已知时已知时1-2的双侧置信区间为的双侧置信区间为nmuYXnmuYX2221222212,(2