工程测试及其应用

1、 在生产实践和科学实验中，需要观测大在生产实践和科学实验中，需要观测大量的现象及其参量变化，这些变化量可以通量的现象及其参量变化，这些变化量可以通过测量装置变成容易测量、记录和分析的电过测量装置变成容易测量、记录和分析的电信号。信号。第一章第一章 信号及其描述信号及其描述 一个信号包含反映被测系统的状态或特一个信号包含反映被测系统的状态或特性的有些有用的信息，它是人们认识客观事性的有些有用的信息，它是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间相互关系、预测物内在规律、研究事物之间相互关系、预测未来发展的依据。未来发展的依据。第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述一、信号的分类一、信号的分类

2、0At信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的。信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的。信号波形：信号波形：被测信号幅度随时间的变化历程称为被测信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。信号的波形。用被测物理量特征的强度作为纵坐用被测物理量特征的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量特征随时标，用时间做横坐标，记录被测物理量特征随时间的变化情况。间的变化情况。1) 1) 从信号描述上分从信号描述上分-确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；2) 2) 从信号的幅值和能量上分从信号的幅值和能量上分-能量信号与功率信号；能量信号与功率信号；从不同角度观察信号，可分为：从不同角度

3、观察信号，可分为：4) 4) 从连续性分从连续性分-连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；5) 5) 从可实现性分从可实现性分 -物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号。3) 3) 从分析域上分从分析域上分-时域与频域；时域与频域；1 确定性信号与非确定性信号（随机信号）确定性信号与非确定性信号（随机信号） 若信号可表示为一个确定的时间函数，可确定若信号可表示为一个确定的时间函数，可确定其任意时刻的量值，这种信号称为确定性信号。其任意时刻的量值，这种信号称为确定性信号。a）周期信号）周期信号 按照一定时间间隔周而复始出现，按照一定时间间隔周而复始出现

4、，无始无终的信号。可表达为：无始无终的信号。可表达为：), 3 , 2 , 1()()(0nnTtxtx简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号b) b) 非周期信号：确定性信号中不具有周期性的信号。非周期信号：确定性信号中不具有周期性的信号。包括两种信号：包括两种信号：准周期信号准周期信号和和瞬变非周期信号。瞬变非周期信号。 准周期信号准周期信号: :由多个周期信号合成，但各组成分量的频率没由多个周期信号合成，但各组成分量的频率没有公倍数。如：有公倍数。如：)2sin()sin()(tttx瞬变非周期信号瞬变非周期信号: 持续时间有限的信号，如持续时间有限的信号，如)2sin()(2

5、ftAetxtc)c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，但具有某些统计特征，所描述物位变化不可预知，但具有某些统计特征，所描述物理现象是一种随机过程。理现象是一种随机过程。 噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)2 连续信号和离散信号连续信号和离散信号a)连续信号连续信号: 信号数学表示式中的独立变量取值是连续的。其信号数学表示式中的独立变量取值是连续的。其幅值可以是连续的，也可以是离散的。幅值可以是连续的，也可以是离散的。b)b)离散信号离散信号: :信号数学表示式中的独立变量取值

6、是离散的信号数学表示式中的独立变量取值是离散的采样信号采样信号模拟信号模拟信号: 独立变量和幅值均取连续值的信号。独立变量和幅值均取连续值的信号。数字信号数字信号: 若离散信号的幅值也是离散的。若离散信号的幅值也是离散的。 在非电量测量中，常将被测量转化为电压或电流在非电量测量中，常将被测量转化为电压或电流.电压信号电压信号x(t)加到电阻加到电阻R上，其瞬时功率上，其瞬时功率P(t)=x2(t)/R,瞬瞬时功率对时间的积分是信号在该积分时间内的能量。若时功率对时间的积分是信号在该积分时间内的能量。若不考虑信号的实际量纲，当不考虑信号的实际量纲，当R=1,把信号把信号x(t)的平方及其的平方及

7、其对时间的积分分别称为信号的对时间的积分分别称为信号的功率功率和和能量能量。3 能量信号和功率信号能量信号和功率信号a) 能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有限值的），能量为有限值的信号称为能量（有限）信号，即满足条件：信号称为能量（有限）信号，即满足条件： dttx)(2一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。b)b)功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量不是有限），能量不是有限值但在有限区间（值但在有限区间（t t1 1,t,t2 2）的平均功率是有限的。）的平均功率是有限的。 221121( )tt

8、ttx t dt 二、二、 信号的时域描述和频域描述信号的时域描述和频域描述 以时间为独立变量的信号，称为信号的以时间为独立变量的信号，称为信号的时域时域描述描述。信号的时域描述能反映信号随时间变化的。信号的时域描述能反映信号随时间变化的关系，而不能揭示信号的频率组成关系。关系，而不能揭示信号的频率组成关系。 信号的信号的频域描述频域描述，即以频率为独立变量。通，即以频率为独立变量。通过频谱分析，可以得到信号的频率结构和各频率过频谱分析，可以得到信号的频率结构和各频率成分的幅值和相位关系，成分的幅值和相位关系，例如：下图为周期性方波的一种时域描述，下式例如：下图为周期性方波的一种时域描述，下式

9、为其时域的另一种形式为其时域的另一种形式000( )()02( )02x tx tnTTAtx tTAt 00000014112( )(sinsin3sin5)3541(sin)1,3,5,nAx ttttTAtnnn将该周期方波信号应用傅里叶级数展开，可得：将该周期方波信号应用傅里叶级数展开，可得：上式表明：该周期方波是由一系列幅值和频率不上式表明：该周期方波是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。等、相角为零的正弦信号叠加而成的。20TA-A0-T0-T0/2tX(t) 在信号分析中，将组成信号的各频率成分找在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得到信号的出

10、来，按序排列，得到信号的“频谱频谱”。以频率。以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，便得到为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，便得到信号的幅值谱和相位谱。信号的幅值谱和相位谱。 由图中可以看出该周期方波的时域图形、由图中可以看出该周期方波的时域图形、幅频谱和相频谱三者之间的关系。幅频谱和相频谱三者之间的关系。表表1-1给出两个同周期方波及其幅频谱、相频谱。给出两个同周期方波及其幅频谱、相频谱。在时域中，两个方波彼此相对平移了在时域中，两个方波彼此相对平移了T0/4外，其余完全一样。两外，其余完全一样。两者的幅频谱虽然一样，但相频谱却不同。平移使各频率分量产生者的幅频谱虽然一样，但相频谱却不

11、同。平移使各频率分量产生了了n/2相角。总之，每个信号有其特有的幅频谱和相频谱。相角。总之，每个信号有其特有的幅频谱和相频谱。 信号时域描述可以直观地反映出信号瞬信号时域描述可以直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况；频域描述则反映信时值随时间变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相位，为了解决不号的频率组成及其幅值、相位，为了解决不同的问题，往往需要采用信号的不同方面的同的问题，往往需要采用信号的不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。特征，因而可采用不同的描述方式。Dirichlet条件（在一个周期内满足）条件（在一个周期内满足）n函数或者为连续，或者具有有限个第函数或者为连

12、续，或者具有有限个第一类间断点；一类间断点；n函数的极值点有限；函数的极值点有限；n函数是绝对可积的；函数是绝对可积的； 工程测试技术中的周期信号，大工程测试技术中的周期信号，大都满足该条件。都满足该条件。第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱傅里叶级数的三角函数展开式如下傅里叶级数的三角函数展开式如下式中，常值分量式中，常值分量余弦分量的幅值余弦分量的幅值正弦分量的幅值正弦分量的幅值一一. 傅里叶级数的三角函数展开式傅里叶级数的三角函数展开式0000102( )(cossin)1,2,3,nnnx taantbntnT(1-7)0000002002200220021( )2( )

13、 cos2( ) sinTTTTnTTnax t dtTax tntdtTbx tntdtT（1-8）将上式中同频项合并，可以改写为：将上式中同频项合并，可以改写为：nnnnnnnnnbabaAtnAatxtan)sin()(22010（19）式中An-第n次谐波的幅值； -第n次谐波的初相角。n从（从（19）式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷）式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。以圆频率为横坐标，幅值多个不同频率的谐波叠加而成。以圆频率为横坐标，幅值An或或 为纵坐标作图，则分别得其幅频谱图和相频谱图。为纵坐标作图，则分别得其幅频谱图和相频谱图。由于由于

14、n是整数序列，各频率成分都是是整数序列，各频率成分都是 的整数倍，相邻频的整数倍，相邻频率的间隔率的间隔 ，因而谱线是离散的。通常称，因而谱线是离散的。通常称 为基频，并把成分为基频，并把成分 称为称为n次谐波。次谐波。n002 /T00sin()nnAnt0例例1-1 求图求图1-6所示周期性三角波的傅里叶级数所示周期性三角波的傅里叶级数解：三角波一个周期的波形表示为：解：三角波一个周期的波形表示为：022022)(0000tTtTAAtTtTAAtx常值分量：常值分量：00022000000222222242( )cos()cos41,3,5,4sin202,4,6,TTTnAax tnt

15、dtAtntdtTTTAnAnnnntT0/2-T0/20图1-6 周期性三角波A余弦分量的幅值余弦分量的幅值00022000002122( )()2TTTAAax t dtAt dtTTT正弦分量的幅值正弦分量的幅值0020022( )sin0TTnbx tntdtT10220002), 5 , 3 , 1(cos142)5cos513cos31(cos42)(nntnnAAtttAAtx周期性三角波的傅里叶级数展开式为周期性三角波的傅里叶级数展开式为w03w05w07w0AnA/2ww03w05w07w0w)(幅频谱图中包含了幅频谱图中包含了 常值分量、基波和奇次谐波常值分量、基波和奇次谐

16、波的频率分量，谐波的幅值以的频率分量，谐波的幅值以1/n2的规律收敛。在的规律收敛。在相频谱图中基波和各次谐波的初相位均为零。相频谱图中基波和各次谐波的初相位均为零。24 A二二. 傅里叶级数的复指数函数展开傅里叶级数的复指数函数展开欧拉公式表示为：欧拉公式表示为：)121 ()(21sin)111 ()(21cos)101 ()1(sincosjwtjwtjwtjwtjwteejteetjtjte傅里叶级数的三角函数展开式（傅里叶级数的三角函数展开式（17）可以改写为：）可以改写为：1()2nnncajb00000000000010101011( )(cossin)()()2211 ()()

17、22(0, 1, 2,.)nnnjntjntjntjntnnnjntjntnnnnnjntjntnnnnjntnnx taantbntabaeejeeaajb eajb ecc ec ec en 1()2nnncajb(1-13)(1-7)00ac 令令(1-15)(1-14)上式为傅里叶级数的复指数函数形式。上式为傅里叶级数的复指数函数形式。 将常值分量、余弦分量的幅值和正弦分量的幅将常值分量、余弦分量的幅值和正弦分量的幅值代入值代入(1-14)式，即得：式，即得：220000)(1TTtjndtetxTcnRnInnInRnjnnInRncccccecjcccnarctan|22(1-16

18、)一般情况下一般情况下cn是复数，可以写成：是复数，可以写成：式中式中(1-17)cn与与c-n共轭，共轭，即即nnnncc;(1-18) 把周期函数把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数函数形式以展开为傅里叶级数的复指数函数形式以后，可以分别以后，可以分别以|cn|-和和n-作幅频图谱和相频图谱。作幅频图谱和相频图谱。也可以也可以cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为的实部或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频谱图。实频谱图和虚频谱图。例例1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。0000000000110011111cos()2

19、22110;22111sin()2220;22jtjtjtjtjtjtjtjtteeeeccctjeejejejjccc 一般周期性函数按傅里叶级数的复指数函数形式展开一般周期性函数按傅里叶级数的复指数函数形式展开后，其实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。后，其实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。比较傅里叶级数的两种展开形式比较傅里叶级数的两种展开形式周期信号的频谱具有三个特点：周期信号的频谱具有三个特点：1. 离散性：离散性： 只在只在n0(n=0, 1,2,)离散值上取值（实频谱）或只离散值上取值（实频谱）或只在在m0 (m=0,1,2,)离散点上取值（复频谱）；离散点上取值（复频

20、谱）；2. 谐波性：谐波性： 每条谱线只出现在基波频率的整数倍的频率上，基每条谱线只出现在基波频率的整数倍的频率上，基波频率是诸分量频率的公约数，相邻谱线间隔为波频率是诸分量频率的公约数，相邻谱线间隔为0；3. 收敛性：收敛性： 常见的周期信号幅值总的趋势是随谐波次数的增高常见的周期信号幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小，由于这种收敛性，实际测量中可以在一定误差而减小，由于这种收敛性，实际测量中可以在一定误差允许范围内忽略次数过高的谐波分量。允许范围内忽略次数过高的谐波分量。三三.周期信号的强度表述周期信号的强度表述 周期信号的强度以周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和平均功率峰值、绝对

21、均值、有效值和平均功率表述。表述。l峰值峰值xp是信号出现的最大瞬时值。是信号出现的最大瞬时值。l峰峰值峰峰值xp-p是一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值的差。是一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值的差。AtT PPp-p用于确定测试系统的动态范围，一般希望信号的峰用于确定测试系统的动态范围，一般希望信号的峰峰值在测试系统的线性区域，使观测到的信号正峰值在测试系统的线性区域，使观测到的信号正比于被测量的变化状态。比于被测量的变化状态。l均值均值x10lim( )TxTTx t dt 均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量（常值分量）。为直流分量（常值分

22、量）。x 信号的均方值信号的均方值ExEx2 2(t)(t)，表达了信号的功率大，表达了信号的功率大小；其正平方根值，又称为有效值小；其正平方根值，又称为有效值(RMS)(RMS)，也是信，也是信号平均能量的一种表达。号平均能量的一种表达。 022001( )( )TavPE xtxt dtTl平均功率平均功率Pav与有效值与有效值xrms02001( )Trmsxx t dtT表表12 几种典型信号的强度几种典型信号的强度 峰值 均值 绝对均值有效值第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 非周期信号：非周期信号：准周期信号准周期信号和和瞬变非周期信号。瞬变非周期信号。

23、 周期信号可展开成多项简谐信号之和。其频谱具有离周期信号可展开成多项简谐信号之和。其频谱具有离散性，且各简谐分量的频率都是散性，且各简谐分量的频率都是基频的倍数基频的倍数。但是几个简。但是几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。即谐信号的叠加，不一定是周期信号。即具有离散频谱的信具有离散频谱的信号不一定是周期信号号不一定是周期信号。若各简谐成分的频率比不是一个有。若各简谐成分的频率比不是一个有理数，各简谐成分在合成后不可能经过某一时间间隔后重理数，各简谐成分在合成后不可能经过某一时间间隔后重演，其合成信号就不是周期信号。但是演，其合成信号就不是周期信号。但是这种信号具有离散这种信号具有离散频谱，

24、故称为准周期信号频谱，故称为准周期信号。多个独立振源激励起某对象的。多个独立振源激励起某对象的振动往往是这类信号。振动往往是这类信号。 通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号，常见的通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号，常见的这类信号如图这类信号如图111，下面讨论这类非周期信号的频谱。，下面讨论这类非周期信号的频谱。矩形脉冲信号矩形脉冲信号指数衰减信号指数衰减信号衰减振荡信号衰减振荡信号单一脉冲信号单一脉冲信号一一.傅里叶变换傅里叶变换 周期为周期为T0的信号的信号x(t)其频谱是离散的。当其频谱是离散的。当x(t)的周期趋于无穷大时，该信号成为非周期信号。的周期趋于无穷大时，该信号成为非

25、周期信号。周期信号频谱谱线的频率间隔周期信号频谱谱线的频率间隔=0=2/T0，当，当周期周期T0趋于无穷大时，频率间隔趋于无穷大时，频率间隔趋于无穷小，趋于无穷小，谱线无限靠近，变量无限取值以至于谱线无限靠近，变量无限取值以至于离散谱线离散谱线周周期的顶点最后演变成一条期的顶点最后演变成一条连续曲线连续曲线。所以非周期。所以非周期信号的频谱是连续的。可将非周期信号理解为由信号的频谱是连续的。可将非周期信号理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分组成的。无限多个、频率无限接近的频率成分组成的。w03w05w07w0AnA/21()( )2( )()jtjtXx t edtx tXed上式可写为上

26、式可写为（1-26）（1-27）傅里叶变换傅里叶变换FT傅里叶傅里叶逆逆变换变换IFT（1-25）dfefXtxdtetxfXftjftj22)()()()(fw2将将 代入式（代入式（1-25），式），式(1-26)和和(1-27)变为：变为：（1-28）（1-29）()( )2( )( ) |( )|jfX fXX fX fe由式由式(1-26)和式和式(1-28)，得，得一般一般X(f )是实变量是实变量 f 的复函数，可以写为：的复函数，可以写为：式中式中| X(f ) |为信号的连续幅值谱，为信号的连续幅值谱，(f )为信号的连续相位谱。为信号的连续相位谱。例例1-3 求求矩形窗函数

27、矩形窗函数w(t)的频谱的频谱函数函数w(t)如图如图(1-12)，其表达式为：，其表达式为：2|02|1)(TtTttwtT/2-T/20w( t )1图112注：注：T称为窗宽称为窗宽-4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2TW( f )f0-1/T2/T1/T-2/T3/T-3/T-3/T0-1/T2/T1/T-2/T3/Tf)( f图图112 矩形窗频谱图矩形窗频谱图其频谱为其频谱为2222( )( )1(sin)2sin (jftTjftTj fTj fTW fwt edtedteejfTfTcfTTTf二二.傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性

28、质1.奇偶虚实性奇偶虚实性dtfttxfXdtfttxfXfXjfXdtetxfXftj2sin)()(Im2cos)()(Re)(Im)(Re)()(2式中式中 由上式可知，如果由上式可知，如果x(t)是实函数，则是实函数，则X(f)一般为具有一般为具有实部和虚部的函数。实部和虚部的函数。 如果如果x(t)为为实偶函数实偶函数，则，则ImX(f)=0，X(f )将是将是实偶实偶函数函数，即，即X(f)=ReX(f)=X(-f )。如果如果x(t)为为实奇函数实奇函数，则，则ReX(f)=0,X(f)将是将是虚奇函数虚奇函数，即，即X(f)=-jImX(f )=-X(-f )。如果如果x(t)

29、是虚函数，则上述结论的虚实位置也相互交换。是虚函数，则上述结论的虚实位置也相互交换。2.对称性对称性222( )( )()( )()( )jftjftjftx tX f edfxtX f edfxfX t edt若x(t) X(f )，则 X(t ) x(-f )证明：证明：以-t替换t，得：将t与f互换，即得X(t)的傅里叶变换为所以X(t) x(-f )应用这个性质，利用已知的傅里叶变换对得出相应的变换对。应用这个性质，利用已知的傅里叶变换对得出相应的变换对。x(t)X( f )X(t)x( f )AATAf0Attoooo-T/2T/21/T-1/T1/f0-1/f0-f0 /2f0 /

30、2ff图114 对称性举例3.时间尺度改变特性时间尺度改变特性)(1)()(1)()(22kfXkktdektxkdtektxktkfjftj若x(t) X( f )， 则x(kt) X(f/k) /k (k0)证明：证明： 当时间尺度压当时间尺度压缩缩(k1)时，频谱的时，频谱的频带加宽、幅值降低；频带加宽、幅值降低；当时间尺度扩展当时间尺度扩展（k1）时，其频谱）时，其频谱变窄，幅值增高。变窄，幅值增高。4.时移和频移特性时移和频移特性若若x(t) X(f )，在时域中信号沿时间轴平移一常值，在时域中信号沿时间轴平移一常值t0时，时，020)()(ftjefXttx)()(020ffXet

31、xtfj在频域中信号沿频率轴平移一常值在频域中信号沿频率轴平移一常值f0时，时，表明：将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而相频谱表明：将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而相频谱中相角改变量与频率成正比。中相角改变量与频率成正比。5.卷积特性卷积特性dtxxtxtx)()()(*)(2121两个函数x1(t)和x2(t)的卷积定义为:)(*)()()()()()(*)()()(, )()(212121212211fXfXtxtxfXfXtxtxfXtxfXtx若则6.积分和微分特性积分和微分特性( )( 2)( )1( )( )2nnntd x tjfX fdtx t dtX fjf微分特性微分

32、特性积分特性积分特性三三.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱1.矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱tT/2-T/2 0w( t )1-4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2TW( f )f0-1/T2/T1/T-2/T3/T-3/T矩形窗频谱图矩形窗频谱图 从图中看出：从图中看出：f=01/T之间的谱峰，幅值最大，称为之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧其他各谱峰的峰值较低，称为旁瓣。主瓣宽度主瓣，两侧其他各谱峰的峰值较低，称为旁瓣。主瓣宽度为为2/T，与时域窗宽度，与时域窗宽度T成反比。可见时域窗宽度成反比。可见时域窗宽度T愈大，截愈大，截取信号时长愈长，

33、主瓣宽度愈小。取信号时长愈长，主瓣宽度愈小。2.函数及其频谱函数及其频谱000)(ttt1).函数的定义函数的定义 在在时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲S(t)（或三角形脉冲、双边（或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当。当趋向于趋向于0时，时， S(t)的极限称为的极限称为函数，或单位脉冲函数。函数，或单位脉冲函数。t-/2/21/S(t)t01(t)1)(lim)(0dttSdtt(t)的特点的特点:从函数值极限角度看从函数值极限角度看从面积（通常也称从面积（通常也称函数的强度）的角度看函数的强度）的角度看（2）函数的采样性质函

34、数的采样性质)0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft)()()()()(0000tfdttfttdttftt 上式表明任何函数上式表明任何函数f(t)和和(t-t0)的乘积是一个强度为的乘积是一个强度为f (t0)的的函数函数(t-t0)，该乘积在无限区间的积分则是，该乘积在无限区间的积分则是f (t)在在t=t0时时刻的函数值刻的函数值f (t0)。（3）函数与其他函数的卷积）函数与其他函数的卷积)()()()()()(*)(txdtxdtxttx000( )* ()( ) ()()x tttxttdx tt tttttt(t)x(t)x(t)*(t)(tt0)x(t)

35、x(t)*(tt0)(t-t0)(t+t0)x(t)*(t-t0)x(t)*(t+t0)000000t0-t0t0-t0 可见函数可见函数x(t)和和函数的卷积结果，就是在发生函数的卷积结果，就是在发生函数的坐标位置上简单的将函数的坐标位置上简单的将x(t)重新构图。重新构图。(4)(t)函数的频谱函数的频谱202( )( )1( )1ftjftft edtetedf将将(t)进行傅里叶变换进行傅里叶变换逆变换为逆变换为f(f )10t10(t) 由图可知，时域由图可知，时域函数具有无限宽函数具有无限宽广的频谱，而且在所有的频段上都是等广的频谱，而且在所有的频段上都是等强度的，这种频谱称为强度

36、的，这种频谱称为“均匀谱均匀谱”。 根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，得到以根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，得到以下傅里叶变换对下傅里叶变换对3. 正、余弦函数的频谱密度函数正、余弦函数的频谱密度函数000022220011cos2()sin2()22jf tjf tjf tjf tf teef tjee0000001sin2 ()()21s2 ()()2f tjffffcof tffff 由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，因此不能直接进行傅里叶变换。引入进行傅里叶变换。引入函数，其傅里叶变换如下：函数，其傅里叶变换如下：正、

37、余弦函数可以写为：正、余弦函数可以写为：ff0-f0-1/21/2ImX( f )0ff0-f01/21/2ReX( f )0t0tftx02cos)(t0tftx02sin)(正、余弦函数及其频谱正、余弦函数及其频谱4. 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱 等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，用等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，用comb(t,Ts)表示，即表示，即nssnTtTtcomb)(),(式中式中Ts是周期；是周期；n为整数，为整数，n=0,1,2,.。 因为此函数为周期函数，可以表示为傅里叶级数的因为此函数为周期函数，可以表示为傅里叶级数的复指数函数形式复指数

38、函数形式2222),(11),(ssssTTtkfjsskssktnfjksdteTtcombTcTfecTtcomb式中式中系数系数222222221( ,)11( )1( ,)()11( ,)()(/)ssssssssTjkf tTkssTjkf tTssjnf tsksjkf tsssskkssccomb t T edtTt edtTTcomb t TeTefkfcomb f ffkffk TTT因为在（-Ts/2,Ts/2）区间内，只有一个(t)，所以那么那么根据根据可得可得comb(t, Ts)的频谱的频谱comb(f, fs)也是梳状函数也是梳状函数ft1/Ts2/Ts3/Ts0-3/Ts-2/Ts-1/Ts1/Ts2TsTsTs2Ts01comb(t,Ts)comb(f, fs)图1-20 周期单位脉冲序列及其频谱第四节第四节