多元函数最值的求法

1、本 科 生 毕 业 论 文 多元函数最值的求法王天宝 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学(师范) 班 级： 数学101 学 号： 010401037 指导教师： 柳志千 职称（或学位）： 硕士 2014年4月1 / 24原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设

2、计）题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求。本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明。指导教师签名： 年 月 日目 录1、引言22、基本概念及基本定理23、函数最值求解法33.1不等式法43.1.1均值不等式43.1.2 Jensen不等式63.1.3幂平均不等式73.1.4柯西不等式83.2消元法93.2.1换元消元93.2.2放缩消元103.2.3条件消元113.3代换法123.3.1增量代换123.3.2参数代换123.3.3复数代换133.4拉格朗日乘数法133.5利用极值求最值143.6数形结合

3、法174、结束语17参考文献18多元函数最值的求法王天宝（莆田学院数学学院 指导教师：柳志千）摘要：随着生活的日益高效化，函数最值逐渐进入了人们的视野并占据了一定的地位。而其中尤以多元函数的最值求解问题为最，因其难度大、方法多、且灵活多变。故就此问题通过不等式法、消元法、代换法、拉格朗日乘数法、极值法以及数形结合的思想，再辅以经典例题阐述多元函数最值问题的求法技巧与创新思维。关键词：多元函数；最值；不等式法；消元法；代换法Method for the value of multivariate functionWang Tianbao（College of Mathematics Superv

4、isor: Liu Zhiqian）Abstract: With the increasing efficiency of life, the value function gradually into people's vision and occupy a certain position. Particularly in multivariate function most value problem for the most, because of its difficulty, methods, and flexible. In this paper the inequali

5、ty method, elimination, substitution method, Lagrange multiplier method, extreme value method and the combination of the thought, and with the classic example of multivariate function most value question solution method skills and innovative thinking.Keywords: Multi function; the most value; Inequal

6、ity method; Elimination method; The method of substitution1、引言在生活的诸多领域中，由于需要往往会有“最大化”这样的问题存在，比如利益最大化、效率最大化、生产最大化等等。而这些的问题即为函数最值问题，故对函数最值求法的研究就显得亟需重要。就一般理论而言，求函数最值分两步走。为了确保做题有意义，第一步无疑是确定最值的存在性。这一点不难证明，如文1中的“在有界闭域上的连续函数必定存在最大值和最小值”这一定理即可得知。但如何求函数的最值？这第二步才是问题所在。函数作为历年考试的重要内容之一，在众多的课堂教科书中，对一元函数求最值的笔墨甚多,

7、同时一元函数求最值的方法也是很单一的。只要了解并掌握了函数的导函数的求解方法，那么一切的一元函数求最值问题将可迎刃而解。如在文2中“在对一元函数进行最值求解的时候，要先对其进行求导，其导函数的驻点就是函数最值点。”二元函数作为多元函数中的特殊存在，是中学数学的重要函数，在中学课本以及文3中都有最值解法介绍。最常用的如配方法、利用函数的单调性、判别式法亦或是极值法。而在其上的多元函数则大多只是寥寥数语或一词“类似”带过，这无非是给教学以及学习带来诸多困扰。同时这也是本文的研究所在。2、基本概念及基本定理定义13：对于定义域在上的元函数，设，若对一切，总有（或者），则称在点达到最大（小）值，而点为

8、最值点。定义23：若有个变量满足方程（不等式）组 其中mn。求出变量的一组值，使得函数 取得最值。另言之，如果存在有满足方程，且对满足方程的一切，总有或则分别称为函数在条件下的最值。这种最值称为条件最值，而条件中的等式（也可以是不等式）称为约束条件，并称为目标函数。定理11：在有界闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。证明：有由有界性定理，在有界。因而有上确界和下确界。设上确界为，现证明有最大值，最大值为。事实上，按照上确界定义，对，存在这样的，使即 由致密性定理，有一收敛的子列，设，再由子列的性质而在点连续，即，由函数极限与数列极限的关系，最后得到这就证明了有最大值。同理可证有最小值。引理

9、14：若元函数在有界闭集上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值。定理2：若元函数在无界闭集上连续，且当动点无限远离原点时，趋于（或），则在上必能取得最小值（或最大值）。定理3：若元函数在有界开集内连续，且当动点趋于的边界时，趋于（或），则在上必能取得最小值（或最大值）。3、函数最值求解法3.1不等式法不等式中的大于（等于）号和小于(等于)号往往对应着函数的最小值和最大值。由两者的相互对应关系，我们不难求出函数的最大值和最小值。例如，若在上的最大值及最小值是，则有。反之亦可。3.1.1均值不等式均值不等式：设是个正数，则其中 当且仅当时取等。例1. 在平面直角坐标系中，已知轴的正半轴（原点除

10、外）上有两个定点，试在轴（原点除外）上求一点，使得取到最大值。（如图1）解：设点，其中，令, 则 于是：AYCOBX图1因为，所以当时，取最大值2，且在内，是增函数。故当时，取最大值，点坐标为例2. 已知是实数，且满足，试确定的最大值。解：由题设有，于是由均值不等式得 有 即 即 所以 以上不等式当且仅当时等号成立，由此可知，此时。例3. 求函数 的最小值。解： 设（为常数）， 其中是待定的正整数，这就有 且分别是8,64的因数，于是，因此 其中等号当且仅当，即时成立，故注：是常数，但不能因为而认为。因为不存在，使得，即此时无法取“=”。注：用此法求解多元函数最值问题时，需明白：当题目约束条件

11、是和(积)的形式为定值时，则积(和)的形式往往有最大（小）值，此时可用均值不等式解最值。3.1.2 Jensen不等式定理45：若在区间内的上凸函数，则对任意的，以及任意的 ,，必有。若在区间内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当时成立。推论1：若在区间内的上凸函数，则对任意的，总有。若在区间内的下凸函数，则不等号反向。其中等号当且仅当时成立。（上述均为Jensen不等式的内容）例1. 设，且。求的最值。分析：利用Jensen不等式求函数最值时，必须满足“函数在某个区间内为上凸或下凸函数”这一前提条件，此时需构造相应的函数。解：构建函数 因为，所以，即为的下凸函数。 由Jensen不等式

12、有， （1）令，有 由（1）知，当且仅当即时取等。例2. 证明：已知一定圆，在该圆的内接边形中，正边形定是面积最大的。证明：设该圆的半径为，其内接边形的面积为，每条边所对的圆心角依次为，则令，由于它在内上凸，于是有 所以当时，取得最大值，即面积最大时为正边形。3.1.3幂平均不等式定理55（幂平均不等式）：若，则 当且仅当时等号成立。例1. 若，且。求的最小值。分析：目标函数在形式上为三个三次方的和，且一次方的和为定值，因此可用此公式来求解。解： 因为，三个正数的幂平均数，有，得 其中等号在时取得，即时成立。 另一方面，考虑三个正数的幂平均数 由得 于是有。把这个结果代入到前面的不等式 得 即

13、 当时，所求函数值最小为注：使用该公式求最值问题时需注意：.每个皆需为正数；.所选指数要恰当；.不等式取等条件要具备。3.1.4柯西不等式柯西不等式：设，则 当且仅当时，不等式取等例1. 设,且,求的最小值。解:由柯西不等式可得,由及可得,， 本题构造出了符合柯西不等式的形式及条件,继而达到解题目的。例2. 设，求函数的最小值。 解：根据已知条件和柯西不等式，我们有 因此，由此推得只要能找到一组使得恰好取得就证明了。为此应用柯西不等式中等号成立的条件，可列出方程 即，代入，求得，所以 当且仅当3.2消元法所谓消元法是指通过一定途径消去变量(或未知数)， 从而降低多元函数的“元”（如有可能降为一

14、元函数），以达到解题目的。3.2.1换元消元例16. 设，试求的最大值。 解：因为，且，故可令，而，其中 于是 令，则， 故 当，时去等号。即的最大值为。3.2.2放缩消元例26. 设且，求乘积的最大值和最小值。 解：， 于是 且当，时等号成立，所以的最小值为。又 且当，时等号成立，所以的最小值为。3.2.3条件消元有些函数可以很容易的根据题目中的约束条件就消去一些未知数，从而直接达到解题所需。例3. 已知是方程 的两个实数根，问当为多少时，函数有最大值，最大值为多少。分析：根据题目中提供的已知方程有根的条件可得的范围，确定根与系数的关系，由此作为约束条件，进而求目标函数最值。解：已知方程有两

15、个实数根，则 即 韦达定理，有 因此，本题实际上就是求在约束条件 下，求目标函数 的最大值。这里包含的变元有。为了消去，将代入得 记而由可知于是问题转化求在区间上的最大值，由在的单调性可知当时，有最大值18。3.3代换法 所谓代换法是指用新的变量去代换原式中的变量，使得复杂式子简单化，从而达到解题目的的方法。3.3.1增量代换例17. 已知为正数，且。求的最小值。解：设， 代入已知的式子得 当且仅当时取得，即当时，的最小值为180。3.3.2参数代换例27. 已知，求函数的最大值和最小值。 解：是中心在原点的等轴双曲线，他的参数方程为 （为参数，且） 将其代入得 故的最大值为，最小值为。3.3

16、.3复数代换例37. 若为非负实数，求的最小值。 解：设， 则 即 故当时，的最小值为3.4拉格朗日乘数法Lagrange乘数法:如求二元函数在条件下的极值，设拉格朗日函数，解方程组得极值点。例1. 某公司欲设计一种新型长方体水箱，已知固定容量为, 试问水箱长、宽、高各为多少时可使得用料最省？解：设水箱长、宽、高分别为， 则体积，表面积。 令解方程组 得唯一驻点即最值点为 ， 此时图2 例2. 已知一长方体表面积为，问长、宽、高各为多少时体积最大，最大为多少？分析：该题目为实际问题中的最值问题，首先要确定解题时所需的“目标函数”，然后罗列出题目中已知的以及隐含的约束条件，最后求得目标函数极值点

17、，确定最值。解：设长方体的长、宽、高分别为，则有即 （1）作拉格朗日函数,由 得 ， 解得 （2） 将(2)代入(1)中，得唯一极值点。从实际意义入手，可知此点就为最大值点，最大体积为。3.5利用极值求最值将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。具体步骤如下：设函数，其导函数1.解方程，如果它的根是有限个，算出；2.算出区间的两端点的函数值，；3.比较，的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。例18 求在上的最大值及最小值。 解：已知在众有极大值0，极小值，它在区间的端点有， 所以函数的最大值是0，最小值是-2

18、。另外，在函数中有一种特殊形式的函数，如下：定理68：若函数在上有唯一的极大（小）值点，则该点为最大（小）值点。证明：先求的驻点，为此解方程组 （1） 若方程组（1）无解（无极值点），则函数无极值，从而无最值（因为在上的最值此为极值）。 若方程组（1）有唯一解，则直线与不平行，所以，即（其中，若，则无极值也无最值；若，则在取极值，时取极小值,时取极大值,下证是的最值点。由泰勒公式知：当且时，为正定二次型，恒有，是的最小值点；当且时，为负定二次型，恒有，是的最大值点. 若方程组（1）有无穷多组解，则，此时有无限多个驻点.对的任意一个驻点，由泰勒公式知 记，由于，所以秩。若秩，则，此时既无极值也无

19、最值。若秩，则可通过变量变换，把化为二次型，这里是一个二阶可逆矩阵，。当时，恒有；当时，恒有。所以在此每一个驻点都是极值点也是最值点。推论2：函数，在区域D上的极大（小）值必为最大（小）值。例1. 求函数在的最值。解：函数有驻点，又,.所以是的极大值点，由推论知是的最大值点.3.6数形结合法通过分析多元函数的解析式特征, 然后找出与之相对应的图形并建立几何模型,可将抽象的代数问题转化为具体的图形,进而使问题得到解决。例19. 设,求的最小值。解：设, ，则，此时的轨迹是 y的轨迹是 ()Q在平面直角坐标系中做出动点,的轨迹(如图3) P则 ox即 ，可得，又图3即当，时, 数形结合两步走：1、把题目中各种形式存在化形；2、观察图形,找到联系，而得出结论。4、结束语多元函数求最值的方法多种多样，最常用也是最好用的就是求导，即求偏导，或者条件极值，也可以用拉格朗日乘数法；再有常用的就是对函数本身进行变形，譬如转化为求倒数，进行配方、换元等。而且随着数学的发展以及生活的需求，只会愈演愈烈。其求法灵活多变，没有固定的求解模式或者是万能公式。本文主要就不等式法、消元法、代换法、数形结合思想以及其它