多元函数的微分(教师用)

1、第七章 多元函数的微分法及其应用 习题7-17求下列各极限：8 证明极限：不存在；练习册1填空： 1设2设 注：记3设4函数5函数此定义域可用平面图形表示为：6函数是间断的。2求极限：1 / 40即：存在一种方向时，极限不存在，所以不存在。3证明极限不存在。证明：因为,所以：不存在。4讨论函数的连续性。解：因为随k不同而不同，所以不存在，所以z在的点（即原点）不连续，又z在原点以外均为有定义的初等函数，而初等函数在其定义域内连续，故z在平面上除原点以外的区域连续。 第二节.偏导数 由偏导数的概念可知，在点处关于的偏导数就是在点的函数值，而就是在点处的函数值. 补例 已知，求 .解 如果先求偏导

2、函数，再将代入求比较麻烦，但是若先把函数中的固定在，则有=3.于是. 补例：设，求证：证：因:, 在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续（注：上册84页：连续不一定可导）例 设，(1)求；(2)讨论在点(0,0)处的连续性解：(1)因为在点(0,0)的邻域内，函数的解析表达式不同，所以需用定义来求.同理可得 ；但我们易得到不存在，事实上：当沿趋于(0,0)时，当沿趋于(0,0)时，所以极限不存在.从而在点(0,0)处不连续.习题72 15页1设解：或：2 求下列函数的偏导数：5设 7曲线在点（2，4，5）处的切线与

3、轴正向所成的倾角是多少？解：9设：，求：10 验证：（1）满足方程证：；所以 证：满足方程证：类似地：所以 练习册1填空：（1）故：（3）2证明函数处连续，但偏导数不存在。证明：因为而在（0，0）点连续，又：所以不存在。3求下列函数的高阶导数：第三节.全微分一元函数中，可微：定义：若在点的全增量可表示为：，即其中无关，只与有关，,则称二元函数在点处可微，并称是在点处的全微分,记作,即. 定理1 .我们知道，一元函数在某点可导等价于可微，但多元函数即使各个偏导数都存在时，虽能形式地写出，但它与之差不一定是的高阶无穷小，因此它不一定是函数的全微分。即各个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分

4、条件。例如函数：在点（0，0）处有：，所以：，如果考虑沿直线趋于（0，0）时，则：这表示时，不是的高阶无穷小，因此函数在点（0，0）的全微分并不存在。即函数在点（0，0）处不可微。用全微分的定义验证函数的可微性，只需检验 是否等于零 .补例：设讨论在(0,0)的可微性.解：在(0,0)的偏导数，.故所以 , 所以函数在点(0,0)可微.定理2（充分条件）若在可偏导且偏导数连续，那么在可微证：（教材21页有证明。这里不证。）类推之，对三元函数，若可微分，则： 习题73 20页2 求函数时的全微分。解：故时，有：3 求下列函数的全微分：； ， 注：可看作：补充： 求函数时的全增量和全微分。解： 练

5、习册1 填空：， 注：可看作：，2求的全微分。解：3设讨论在(0,0)的可微性.解：因为所以处连续。在(0,0)的偏导数，同理.故所以 , 随k不同而不同。所以在点(0,0)不可微 第四节 多元复合函数的求导法则 25页定理1设处有连续偏导数，则复合函数处可导，且对的全导数为.推广：，则定理2设函数在点处有偏导数，函数在相应点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且, .定理3 则：；进一步：，则；若则：；要区分求偏导数公式中的符号的意义，以免在使用错误。全微分形式的不变性设函数，都有连续的偏导，则复合函数在点处的全微分仍为 事实上，因为：, . 故：=即不论是中间变量还是自变量，一阶全微

6、分总具有相同的形式.计算全微分有两种方法直接求导法,即求出后代入即可，另一种是全微分法，即利用全微分形式的不变性.补例 求下列函数的全微分(1) ；(2) ；解：(1)法一：直接求导法：因为 ； ；对称性 ；所以法二：全微分法：(2)法一：直接求导： ，；法二： 习题74 26页2设证：3（1） 设具有连续偏导数的函数，求.解：令，则，。解：（3）；解：6求下列函数的 （其中具有二阶连续偏导数） 7设的所有二阶偏导数连续，而：所以：类似地有（2）成立。补充： 设 求 解：(1)既是中间变量又是自变量，一个自变量，求全导数补充： 设，其中为可导函数，验证： 解：其中: 所以11 设，其中具有二阶

7、导数，求：练习册1填空（1）设解：(2)设，则复合关系为，且2设3设：解：4设5 设可微，且，验证证如图 ，同理，6设具有二阶连续偏导数，求解：。 解：补充：若解： 第五节 隐函数的求导公式一 一个方程的情形若由方程确定了是的函数，则称这种函数为隐函数.定理1 设方程确定了是的函数连续及则 （2）定理不证，仅直观推导（2）。由所以。如果的二阶偏导数也都连续，则我们可以对（2）继续求导而得到。定理2设方程确定了，且，连续及，则 , ,直观推导：由，分别对和求导得： 所以。二 方程组的情况定理3 设函数，在点的某邻域内有连续导数，又，且雅可比行列式在点不等于零，则在点的某邻域内，方程组 唯一确定的

8、函数，满足上述方程组，且，并且直观推导：由于：分别对及对求偏导得： 补例 设 ，求 ，.解一 公式法，设=，则，=；=.解二 方程两端求导，求，时，将看作的函数.两端对求偏导，得 即 =；两端对求偏导数，得 即 =.解三 利用全微分.利用微分形式不变性，则 ， ， =，因此 =，=.补例 设，求解：直接法，对方程两边求的偏导数，注意.得，； 习题75 33页1求由下列方程所确定的隐函数2求由下列方程所确定的隐函数（3） 分别对求偏导数有:4设是由方程确定的隐函数，求解：由方程得：5设是由方程确定的二元函数，求解：9 求方程组所确定的函数的导数或偏导数：（2）设求对求导：,10设 11 设，而t

9、是由方程所确定的的函数，求.解： 确定了为x的一元函数，两个方程的两边分别对x求偏导数，得解得：补充：设：法1两边分别对求导，对求导：法2：用公式：, , 练习册1 设 2 设，求.解：方法一（公式法）利用隐函数求偏导数令，则:.代入公式得: 。方法二（直接法），方程两边分别对求偏导数，并注意z是的函数. , 于是:，,再由（1）有：方法三（微分法）利用微分形式不变性求偏导数:, ,即 ,于是：7 证明：由所确定的满足方程 其中具有连续偏导数.证明：令，则方程为，左端是抽象函数法一（公式法）用隐函数求偏导数的公式所以 ，法二（微分法）用微分形式不变性：,;所以 ，和方法一一样，代入即得.4 求

10、方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设求对求导：（1）代入（2）有：（2）设求对求导：,5设解：两边微分有：补充：已知解：对x求偏导有：得 第六节 多元函数微分学的几何应用设空间曲线：。且,不同时为零,则曲线在点处的切向量为.在点处的切线：过的法平面：设空间曲线参数方程为：()；等价于：，在点处的切线：，法平面的方程为：补例 在曲线上求出一点，使在该点的切线平行于平面，并求过该点的切线方程及法平面方程. 解 因为，故曲线上任一点的切方向；又平面的法向量，所以，故有=0，解之 ，将，代入曲线方程得到切点的坐标为，.所以，曲线在点处的切方向，故切线，法平面方程为 ，即 ，曲线在点处的切方向，故

11、切线方程为 ，法平面方程为 ，即 .若空间曲线的方程为：两边分别对求全导数得：从而解得：故有切线方程为：，法平面方程为：二 曲面的切平面及法线设曲面的方程为上的一点，并设的偏导数在该点连续且不为零，,切平面法线：若曲面由给出，移项得，即为0形式.则：,曲面在点处的切平面为：曲面在点处的法线方程为：如果用表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴正向所成的角是一锐角，则法向量的方向余弦为：习题7-6 39页1求曲线处的切线及法平面方程.4.求曲线在点处的切线及法平面方程解：方程组确定隐函数：，在点处（3）×3-（4）×2有：， 法平面：6.求出曲线上的

12、点使在该点的切线平行于平面解：切方向；平面的法向量，由题意得:故，所求点为9.试证曲面上任何点处的切平面在各坐标上的截距之和等于a 解：设，则： ，切平面即；故截距之和为 练习册1求螺旋线在点（a,0,0）处的切线及法平面方程解：在已知点处：故切线的方向为所以，切线：，法平面： 2.求曲线在点处的切线及法平面方程解：取为参数，则得： 切方向 ， 切线 法平面3 求椭球面上平行于平面的切平面方程。解：设切点，则切平面的法向量，而平面的法向量：，所以：，点，在椭球面上，故：所以切平面即：4在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面并写出该法线的方程。解：曲面设切点为，则该点处的法向量为，所以5证明：

13、锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点（0，0，3）。证明：记：是锥面上任一点，显然，（1）过点（0，0，3）。第八节. 多元函数的极值与驻点 43页定理1 （极值存在的必要条件）设函数在点的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有 .类推，若三元函数在点具有偏导数，则它在点具有极值的必要条件为： 使同时成立的点称为函数的驻点.补例：说明在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值解，所以不存在同理，所以不存在但；即在点取得极大值1定理2（极值存在的充分条件）设在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且是驻点.设，,，则当时，点是极值点，且当时，点是极大值点；当时，点是极小值点；当时

14、，点不是极值点；当时，点有可能是极值点也可能不是极值点.补例 求函数的极值.解 由 得两个驻点 ，在处，有，由极值的充分条件知 不是极值点，不是函数的极值；在处，有，而， 为极大值点，是函数的极大值.条件极值与拉格朗日乘数法：附有约束条件的极值问题，称为条件极值.现在我们求函数在条件下取得极值的条件：拉格朗日乘数法：构造函数。然后即可得：求函数的驻点，即列方程组求出上述方程组的解，那么有可能是极值点；类似地，求在约束条件下的极值，步骤如下： 构造函数,其中为待定常数， 求函数的驻点，即列方程组求出上述方程组的解，那么有可能是极值点； 判别求出的点是否是极值点，通常由问题的实际意义来确定.补例

15、求在条件下的极值解 作，则有，解方程组得极小值的极小值（无条件极值）显然在点取得，其值为零但是不是其在条件下的极小值点事实上根本不满足约束条件条件极小值在点处取得，其值为，从几何上来看，它们的差异是十分明显的无条件极小值是曲面所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面上，即空间曲线上各点的竖坐标中最小者 习题7-8 52页1 求函数的极值.得驻点（1，2），（1，-2），（2,1）,(-2,-1); 又，在（1，2）处，有所以无极值。 在（2，1）处，有在（1，-2）处，有所以非极值；在（-2，-1）处，有所以有极大值：2 .求函数的极值.3求函数内的极值。5.在平面xoy上

16、求一点，使它到，及的距离平方和为最小解:设为平面上所点,设；令,得为所求.6求函数下的极值点。解：6.在一切面积等于常数A的直角三角形中，求斜边最短的直角三角形解:设一直角边长为,高为,则有辅助函数 9：要做一体积为的有盖长方体水箱，问长，宽，高如何，方使用料最省？ 设长方体的长，宽，高分别为.依题意：，,消，得面积，由 得驻点，根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，为的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为时，用料最省.补充：.求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体解:设长方体的长、宽、高分别为,则体积为，且满足 ,令，解方程组 得，依题意，此即为所求.补充：.从斜边之长为L的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形解法一:设一直角边长为,另一边长为,则周长为 令得另一边长法二：设一直角边长为,另一边长为,则周长为,满足约束条件；设 令 得由题意知,此时周长最大. 习题册1 .求函数的极值1） 在点（3，2），极大：2）在点（0，0），无极值。3）在点（0，4），无极值。4）在点（6，0），无极值。5）在点（6，4），无极值。2.求函数的极值 令 得 在驻点处故有最小值3求平面的交线上与xoy平面距离最短的点。解：，令4在球面位于第一卦限的部分求一点p,使该点处的切平面