多元函数微分学及其应用

1、 第五章 多元函数微分学及其应用导学：在上册已经学习了一元函数的微分学及其应用。用导数和微分可以研究函数的很多性质。一元函数描述的是两个变量之间的关系，现实中或者理论上很自然的需要研究多个自变量之间的关系，形成多元函数的概念，研究多元函数需要把一元函数的微分学的有关概念和方法推广到多元函数情形，这就是本章的主要任务。在学习中要充分注意到相关概念、理论和思想方法的平行特点，这使得理解本章内容比较容易，同时要注意到新产生的差异的地方。第一节 n维Euclid空间中的点集的初步知识导学：一元函数的定义域和值域都是实直线上的区间，多元函数的定义域和值域都是高维空间的点集，因此，需要先对n维空间的点集及

2、其性质做些研究，这些概念还可以推广到一般的无穷维空间。问题1 回忆n维线性空间、向量的运算、内积运算，定义n维空间的距离、范数。具体化为1、2、3维空间看看距离、范数的几何特征。问题2 类比中点列的到极限、极限的性质、聚点原理、柯西收敛原理。特别注意：中点列收敛和实直线R中数列收敛的关系。问题3 中的极限点、聚点、孤立点、内点；点的邻域；集合的导集、开集、闭集；集合的内部、外部、边界；集合的紧性、集合的凸性；有界集合、区域、有界闭区域。注意对比实直线上的开区间、闭区间和中的开集合、有界闭区域的关系。问题4 注意中开集合的三条性质、闭集合的三条性质。这三条性质可以推广成一般的抽象的拓扑空间上去。

3、2 / 9第二节 多元函数的极限与连续性导学：多元函数的概念是一元函数概念的直接推广，多元函数极限、连续的概念也是一元函数极限、连续的概念的直接推广。注意二元函数等值线、三元函数等值面的意义及几何直观。注意二重极限、多重极限与一元函数极限思想的类同与不同之处。注意有界闭区域上多元连续函数的性质与一元函数有界闭区间上连续函数的性质的类同之处。问题1 类比多元数量值函数的概念和一元函数概念的类同；二元函数定义域的几何图像；二元函数的几何意义；等值线、等值面；问题2 注意多元向量值函数的概念、记号。问题3 注意二重极限、连续的概念与一元函数概念的相同与不同之处；特别注意例2.5，2.6的的思想方法；

4、注意从二元到n元函数的极限概念的推广？问题4 注意闭区间上一元连续函数到有界闭区域上多元连续函数的性质的直接推广。讨论题：1、回答P.21练习(A)习题2的问题.2、讨论P.22练习(A)习题11、12中的问题第三节 多元数量值函数的导数与微分导学：多元函数导数与微分的思想与一元函数类似，方向导数、偏导数是一元函数导数概念的一种推广，也是一种变化率。全微分是微分概念的直接推广。注意方向导数、偏导数、梯度的几何意义。注意函数的连续、偏导数存在、方向导数存在、偏导数存在连续、全微分存在性之间的关系。注意可微的必要条件与充分条件。注意多元函数导数与微分计算与一元函数导数与微分计算的关系。注意从方向导

5、数到梯度概念的引入、梯度的意义。高阶偏导数与高阶全微分概念及计算是直接推广，注意混合偏导数相等的条件与反例。多元复合函数的高阶偏导数的计算，尤其是包含抽象函数关系的高阶偏导数的计算是偏导数计算的关键和难点。注意隐函数存在定理3.4的条件和结论及其几何意义。问题1 方向导数、偏导数、梯度、全微分概念是如何引入的？计算上和一元函数导数与微分有何联系？这些概念有何几何意义？问题2 方向导数、偏导数、连续性、梯度、全微分的存在性条件是什么？他们的关系在理论和计算上有何重要意义？全微分在近似计算和误差估计上的应用与一元函数有何相似性？例3.4、3.6有何意义？实际应用例子例3.13有用了什么方法？问题3

6、 混合偏导数相等的结论是什么？不相等的反例3.15是如何推证的？如何从方向导数引入梯度？梯度在刻画函数变化上有何意义？问题4多元复合函数求偏导数及高阶偏导数的计算基本公式是什么？如何理解一阶微分的形式不变性？如何利用一阶微分的形式不变性计算微分和导数？问题5 由一个方程确定隐函数的存在定理的条件、结论是什么？条件和结论的几何意义是什么？讨论题：比较练习5.3(A)习题4、5、6，(B)3、5的结论。第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题导学：本节主要是把一元函数的Taylor公式推广到多元函数的Taylor公式。把一元函数极值推广成多元函数的无条件极值，进一步计算最大值与最小值，用偏导数

7、计算最小二乘曲线拟合，最优化产出水平的经济学分析。计算条件极值的Lagrange乘数法是一般非线性规划的特例。问题1 如何从一元函数Taylor公式自然的引入多元函数的一阶Taylor公式？n阶Taylor公式？充分理解例4.1的意义：对一个复杂的未知其具体表达式的隐函数，可以用很简单的具体的二元多项式来表示。问题2 如何从一元函数的极值推广到多元无约束极值？无约束极值存在的必要条件、充分条件是什么？问题3 无约束极值计算的应用：最小二乘曲线拟合法、最优化产出水平分析的思想和过程是什么？问题4 什么是有约束极值？什么是Lagrange乘数法？一个约束条件和多个约束条件下条件极值如何计算？有约束

8、极值和无约束极值有何联系？讨论题：1、讨论P.80练习(A)类题的习题8、(B)类习题2.第五节 多元向量值函数的导数与微分导学：一元向量值函数和二元向量值函数有明确的几何意义。这一节的概念是新的，注意新的记号，但是导数和微分定义的思想和模式依然类似于数量值函数，注意记号的区别和联系。方程组确定多个隐函数的隐函数存在定理具有很重要的理论意义，是许多应用的基础。计算方程组确定的隐函数的导数是学习难点，只要分清楚中间变量和自变量就不会出错。问题1 一元向量值函数的导数是如何定义的？其物理意义和几何意义是什么？一元向量值函数的导数有何几何意义？一元向量值函数的微分是如何定义的？问题2二元（n元）向量

9、值函数的导数是如何定义的？向量值函数的导数和微分有哪些运算的法则？问题3 由方程组确定的隐函数是如何定义的？如何计算隐函数的导数和微分？例5.7是一个重要的例子，刻画了平面上区域变换的条件。讨论题求解P.99习题5.5（A）练习1、9，（B）1。第六节 多元函数微分学在几何上的应用导学：本节是利用多元函数的微分法对曲线、曲面的局部性质进行线性化研究，主要有曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。问题1 空间曲线用参数方程是如何表达的？什么是简单曲线？有向曲线？什么是曲线的自然参数方程？空间曲线的切线方程、法平面方程具有什么形式？问题2 曲线的弧长、弧微分是怎么定义的？弧长的计算公式有何形式？问

10、题3 曲线的法平面、密切平面、从切平面是如何定义的？切线、次法线、主法线是何关系？他们的方程有何结构？Frenet标架是什么样的几何结构？问题4 曲线的曲率是如何引入、定义的？曲率圆和曲线在局部有何关系？渐屈线、渐伸线是如何定义的？曲率、渐屈线、渐伸线在机械学科里是如何应用的？问题5 挠率反映曲线的什么特征？曲线论的基本公式是什么样的方程组？反映了曲线的什么局部性质？讨论题查阅资料研究曲线的微观刻画的更多应用的例子。第七节 空间曲线的曲率和挠率导学：本节是利用多元函数的微分法对曲线的局部性质和结构进行进一步的微观精细化研究，主要有曲线Frenet标价、曲线的曲率、挠率，曲线的基本公式。问题1 空间曲线的法平面、密切平面、从切平面是如何定义的？方程是什么结构？切线、次法线、主法线是什么直线？有向曲线？方程是什么结构？问题2 曲线的弧长、弧微分是怎么定义的？弧长的计算公式有何形式？问题3 曲线的法平面、密切平面、从切平面是如何定义的？他们的方程有何形式？曲线的切线、次法线、主法线是什么关系？方程有何形式？Frenet标架有何意义？问题4 曲线的曲率是如何引入、定义的？平面曲率在直角坐标、空间曲线曲率在参数方程形式下计算公式是什么样的？曲率圆的几何