框筒结构动力时程

1、 毕业论文框筒结构动力时程分析专 业 土木工程 学 生 韩璐 指导教师 胡启平 教授 河北工程大学土木工程学院2012 年 6 月 9 日河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 摘要框筒结构是建筑物外围轮廓线处布置密柱深梁所形成的框架，其空间作用性好，在广泛的建筑物高度范围内，被认为是一种经济有效的结构体系。整体建筑主要由几大框筒承担重量，单元内的墙体不起承重作用，真正的活性建筑，墙体可以随意改变，甚至整层都可以随意间隔。这是现在最先进的结构。 (1)本文对框筒结构分析采用薄壁杆件模型，考虑框筒的剪力滞后效应，从结构总势能出发应用哈密顿对偶体系和精细积分法求得结构的层刚度矩阵，用有限元

2、法集成整体刚度矩阵。(2)对框筒结构质量矩阵的求解利用的是集中质量法，采用多质点体系模型。对结构的阻尼矩阵，采用的是常用的瑞雷阻尼矩阵，取质量矩阵和刚度矩阵的线性组合。(3)本文采用初值问题的精细积分法进行结构的动力时程方程分析。(4)利用 MATLAB 语言编制相应的计算程序，通过具体的算例分析，得出在多遇地震作用下框筒结构的地震反应值。关键字关键字：高层框筒；剪力滞后；哈密顿对偶体系；精细积分法；动力方程求解。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 AbstractThe frame tube structure is the building outer circle outli

3、ne line place decoration airtight pillar the frame formed by deep beam, its space function good, at the extensive building is inside the high scope, be thought to is a kind of economic effective structure system. The whole building is mainly undertaken weight by several big frame tubes, the wall in

4、the unit not rise accept and re-act and use, real of activity building, the wall can at will change, even whole all can at will partition. This is the most advanced structure now.（1）This text analyzes to adopt a thin wall pole a piece to the frame tube structure model, consider after the shear lag,

5、According to the total potential energy of structures, the Hamiltonian dual systems of coordination analysis and precise integral algorithm are established for the frame tube structures . The layer element stiffness matrixes are introduced according to precise integration method, and the global stif

6、fness matrix of structures can be established according to the finite element stiffness integration method.（2）It is a concentrated quality method to what the frame tube structure quality matrix solves exploitation, using the Multi-particle system model of frame tube structures; the lumped mass matri

7、xes of the entire structures are established. Damping matrix for the structure, the paper uses a Rayleigh damping that is a linear combination of stiffness matrix and mass matrix.（3）The dynamic time history analysis is processed on the frame tube structure based on the precise integration method of

8、the double end boundary value problems.（4）Make use of MATLAB language to draw up homologous calculation procedure, the new method of dynamic time history analysis of tube-in-tube structure are given, and. and frequent earthquake seismic response values of buildings are obtained.Keywords: frame-tube

9、structure; shear lag; Hamilton dual systems; precise integral algorithm; solution of dynamic equation河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 目录0 绪论 -50.1 研究背景以及意义-50.2 国内外研究现状-50.3 本文研究的主要内容和解决的关键问题 -90.4 本章小结 -101 框筒结构的哈密顿对偶体系-111.1 基于哈密顿理论体系结构的刚度矩阵 -111.2 质量矩阵-141.3 阻尼矩阵-151.4 动力方程的求解-151.5 本章小结-182 框筒结构动力时程分析-19

10、2.1 基本假定及计算模型-192.2 框筒结构的刚度矩阵-202.3 框筒结构的质量矩阵和阻尼矩阵-232.4 动力方程求解-242.5 本章小结-243 框筒结构动力时程算例-253.1 算例-253.2 本章小结-31结论与展望-32鸣谢-33参考文献-34附件-36河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 1毕业论文学生 韩璐 指导教师 胡启平 教授河北工程大学土木工程学院土木工程专业建工方向0 绪论0.1 研究背景以及意义从十九世纪末到二十世纪初，由于工业技术的进步，开始出现了现代形式的钢框架、钢筋混凝土框架结构的高层建筑。1883 年，美国芝加哥建造了 11 层，高度为 55

11、 米的保险公司 Home Insurance 大楼，采用钢框架、砖石自承重墙结构，为近代世界第一栋高层建筑。1903 年，法国巴黎 Franklin 公寓和美国辛辛那提 Ingalls 大楼（16 层，高 64 米）则是最早的钢筋混凝土框架结构高层建筑。目前世界上最高的的高层建筑是哈里发塔，原称为迪拜塔，使位于阿拉伯联合酋长国的迪拜境内的摩天大楼，耗资 15 亿美元。哈里发塔高度为 828 米，楼层总数 169层楼，是人类历史上首个超过 800 米的建筑物。因此，伴随着高层建筑的出现，高层框筒结构分析理论也应运而生，并且得到了不断的发展和完善。框筒结构是建筑物外围轮廓线处布置密柱深梁所形成的框

12、架，而在整体上这些框架围成了一个封闭的整体，其空间作用性好，在广泛的建筑物高度范围内，被认为是一种经济有效的结构体系。整体建筑主要由几大框筒承担重量，单元内的墙体不起承重作用，真正的活性建筑，墙体可以随意改变，甚至整层都可以随意间隔。这是现在最先进的结构。自美国的 F. R. Khan 于 60 年代初首次提出了框筒结构的概念，并于 1963 年在美国芝加哥市第一次用框筒结构设计一幢 44 层 Dewitt-Chestnut 高层公寓之后，世界上许多新建的超高层钢结构或钢筋混凝土结构几乎全是采用框筒结构或其衍生形式，其中如美国纽约的 World Trade Centre-NorthC,110

13、层,高 417m 结构框筒) 、美国芝加哥 Sears 大楼 (110 层,高 443m 筒束钢结构) 等。框筒结构是具有箱型截面形式的悬臂构件，侧向变形以剪切型为主。在水平外载作用下，框筒存在剪力滞后的现象，在翼缘框架中靠近角柱的轴力远大于平均值，靠近翼缘中部的柱子的轴力远小于平均值，腹板框架柱子的轴力也并不是按线性分布的。剪力滞后的现象越是严重，翼缘框架中参与受力的柱子就越少，空间受力特性就越弱，若能减少剪力滞后的现象，则可使各柱受力尽量均匀，充分发挥所有材料的作用，可使框筒的侧向刚度及承载能力大大增加。本文在求解动力方程中使用 MATLAB 作为开发平台。MATLAB 的含义是矩阵实验室

14、（matrix laboratory），其主要元素是无需定义维数的矩阵，可以很方便的进行和完成各种矩阵运算。MATLAB 最大的优点就在于其极为丰富的函数库以及几乎能够满足各学科要求的工具箱(Toolbox)，人们可以用最少的语句完成最复杂的计算和绘制结果图形。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 2本专题采用薄壁结构的一致性理论，建立了框筒结构动力时程分析的哈密顿对偶体系，用精细积分法求该体系的高精度数值解，给出了框筒结构动力时程分析的方法。编制的计算程序能应用于这类结构的初步分析计算，为结构方案的确定和初步设计的完成提供较为准确的依据。0.2 国内外研究现状0.2.1 结构动力分

15、析方法的研究结构的动力分析主要包括三方面：动力特性分析、反应谱分析和时程分析。动力特性分析主要是求解结构的自振周期和振型，它们是计算地震作用的主要参数。反应谱分析是利用统计学方法将质点在动力作用下的反应绘成反应谱曲线，再用静力学方法进行分析，所以只是一种拟动力的分析法。许多国家的地震作用计算都采用这一理论，是工程上最常用的对结构动力问题进行分析的方法。时程分析法是从框筒结构的基本运动方程出发，直接输入框筒结构的地震加速度或人工模拟加速度时程曲线,通过积分算法求得加速度随时间变化期间结构的各种反应值，这种方法又称为直接动力法、数值分析法等。对任何实际的框筒结构进行计算都要进行合理的简化。高层框筒

16、结构的动力分析模型也在不断地发展变化，经历了总体模型、层模型、杆系模型和杆系层模型的发展过程。总体模型：将整个结构简化为具有很少几个自由度的体系，通常简化为只有一个侧移自由度的体系，反应的是结构总体变形与总体外载之间的关系，一般只能作为初步设计的一个工具。层模型：以楼层为基本单元，用每层的刚度表示结构的刚度。将全部质量集中于各层楼盖处作为一个质点，整个结构合并为一个竖杆，考虑两个方向的水平振动的模型称为 “串联质点系”模型。当结构的质量与刚度明显不均匀、不对称时，应考虑楼面扭转和水平振动的影响，楼面除了有质量外还有转动惯量，这样的模型称为“串联钢片系”模型。层模型反应的是层总体位移与层总体内力

17、之间的关系。杆系模型：模型是以梁柱等杆件作为基本单元的计算模型。把框筒结构作为杆件体系来考虑，结构质量集中在各个结点处，动力的自由度数等于结构的结点位移的自由度数。杆系模型的变形性质是由各杆件的变形性质所决定的。杆系层模型：模型是介于杆系模型和层模型之间的一种模型，假设质量集中于各楼层的楼盖处，仍按杆件体系形成结构的刚度矩阵及计算结构的内力和变形，只是附加楼板刚性膜假定，视楼板为在平面内绝对刚性，平面外绝对柔性的薄膜。该模型兼有两个模型的优点，并克服了它们的缺点，是目前弹塑性分析较为理想的模型。结构动力方程是一个非线性方程，体系的内力和位移呈非线性关系，直接求解很困难。逐步积分法是求解此方程比

18、较有效的方法，其基本方法和步骤为：将地震作用时间划分为很小的时间间隔，每个时间间隔的长度称为时间步长，记为；每个时间间隔内的质量矩阵、刚度矩t阵、阻尼矩阵和地面运动水平加速度均视为常数，等于该时间间隔初始时的值；由每个时间间隔初始时的位移值、速度值和加速度值，求该时间间隔末的位移值和速度值，并由振动方程求加速度值，使其满足动力平衡方程；将这个末值作为下一个时间间隔的初值，重复上步，再逐步计算即可得到整个过程。常用的积分方法有：纽马克法、威尔逊-法、线性加速度法和龙格-库塔法。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 30.2.2 框筒结构剪力滞后与动力分析1997 年陈加猛1针对高层框筒

19、结构的二阶效应和剪力滞后效应这条主线，采用连续化方法，展开高层框筒结构的整体稳定和二阶弹性分析、高层框筒结构在地震作用下的弹性反应分析。根据文中所提出的各种方法，编制了高层框筒结构整体稳定和二阶弹性分析的程序，编制了高层框筒结构在地震作用下的一阶及二阶弹性反应分析的程序，所有程序均在微机上调试通过。文中给出了大量的算例，通过计算结果的对比分析，表明进行高层框筒的二阶效应及剪力滞后效应分析是必要的。2002 年孔向东、钟万勰2阐述了非线性动力系统刚性常微分方程的数值积分算法，给出了非线性动力系统刚性方程的单步精细时程积分法。揭示了精细时程积分不仅具有显式积分格式，而且具有绝对稳定性和高精度的特点

20、，避免了刚性方程的计算危险性。算例进一步表明了精细时程积分算法求解刚性方程的有效性。2002 年李增根，徐新济，李来3采用连续一离散化方法分析高层建筑筒体结构的动力特性。在导出的等效筒体层间段单元的刚度矩阵中，所采用的位移函数能反映筒体结构的剪力滞后效应。采用筒体的这种等效单元和刚性楼板及结构质量集中于楼面的假定，可使筒体结构的动力特性分析大大简化。与有限单元法比较，具有计算简捷和应用方便的优点。计算表明该方法具有较高的精度和效率。2006 年蔡世东、蔡朝霞、张妮妮4针对目前的动力方程求解多采用数值分析法，其软件编程量大、计算机运行效率较低、准确性较差，故运用状态空间法描述受到地震等外力作用结

21、构的动力方程，采用 MATLAB 的 L.sim 函数进行仿真分析求解，并给出了算例分析。其分析结果表明采用 MATLAB 能够更为有效、准确地求解动力方程。2006 年龚胡广，方辉，沈蒲生5考虑剪力滞后的影响，将高层框筒结构先离散成正交各向同性板，根据最小势能原理得到各板的应力和应变表达式，再根据角柱处的位移与内力相等效的原则，将空间框筒结构等效成平面框架结构。对一个高层算例进行了计算，并与按空间框架分析的结果进行了对比。结果表明， 这种简化方法具有足够的精度。早期，美国加州理工学院(CIT)的 P C. Jennings 教授，C. H. Meverry， J. L.Beek 等人对弹性系

22、统进行了较多的研究工作，他们证明：对于一个 N 个自由度的系统，若对结构的参数如振型、周期、阻尼系数等有了一定的了解，那么从不小于 N/2 个有限的反应记录，可以唯一地确定结构的刚度和阻尼矩阵。否则，应该每个自由度均应有记录。美国的学者 E Eudwadia 和 D. K.Sharna 用剪切型多自由度线性系统，证明了如果已知第一层的反应和基底的输入及各层的质量的前提下，可以唯一的确定各层的刚度。C. H.Meverry 导出了频域的识别方法。2008 年金仁和、魏德敏6介绍了框筒结构中的正负剪力滞后现象与基本特点，总结了国内外学者在进行框筒结构的剪力滞后研究分析中所使用的方法原理，综述了到目

23、前为止框筒结构剪力滞后的研究成果，揭示了水平荷载作用下框筒结构产生剪力滞后的原因以及现有研究成果中关于角柱设计理念上的冲突。并认为现有研究中的关于楼盖面内刚度为无限大的基本假定是不合理的，只有充分考虑楼盖刚度的影响才能有效地反映结构中的正负剪力滞后现象，为结构设计提供合理与可靠的设计依据，从而能更人范围推广框筒结构在超高层建筑中的应用。0.2.3 哈密顿对偶体系及研究现状哈密顿原理 Hamilton principle 适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。由河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 4威廉卢云哈密顿，英国著名理论物理学家，四大理论经典力学物理学家之一（牛顿

24、拉格朗日 哈密顿 傅立叶）于 1834 年发表。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻到的时间积1t2t分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻的某一位形转移到时刻的另一1t2t位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题哈密顿对偶求解体系 Hamilton dual systems 基于初等梁理论和薄壁杆件约束扭转理论，导出了框筒结构弯扭分析的哈密顿对偶求解体系；对初等梁理论进行修正，假

25、定翼板和腹板框架的翘曲(轴向)位移分别沿板宽方向为二次和三次曲线分布，导出了考虑剪力滞后效应的框筒结构弯曲问题的对偶求解体系；摒弃了初等梁理论和乌曼斯基理论对翘曲位移的假定，导出了基于插值函数的对偶求解体系。拉格朗日方程运用于分析力学之后，哈密顿提出了正则方程体系，这就是状态空间方法的开始。控制论在计算技术的冲击下，出现了现代控制理论，现代控制论的数学问题与结构问题的某类问题是一一对应地模拟的。从数学角度看，模拟关系是建筑在哈密顿体系的理论的基础上的。从拉格朗日体系到哈密顿体系的过渡，意义在于从传统的欧几里得几何形态进入到了辛几何的形态之中，突破了传统观念，从而使对偶混和变量进入到应用力学的广

26、大领域。成为数学上与牛顿力学和拉格朗日力学等价的又一力学的描述形式。哈密顿体系理论研究的发展，使其在数值求解方面上的应用得到了前所未有的大发展。1983 年国外出现了第一篇对特定哈密顿方程构造差分格式的文章。1984 年中科院院士冯康7教授首次提出了哈密顿的辛几何算法。开创了将计算物理、计算力学和计算数学相结合的先河。唐立民8教授提出的弹性力学的混合方程也是哈密顿正则方程，并指出，即使是对弹性力学静力问题，也应有它的哈密顿正则方程，这使得哈密顿系统在弹性力学领域得到了迅速发展。钟万勰9根据结构力学与控制理论的模拟关系，将对偶理论体系引入到弹性力学，创立了力学求解对偶体系。对偶变量的求解体系与偏

27、微分方程的传统求解思路正相反。传统的求解思路是努力消元，尽可能减少未知量的数量，而不惜方程阶次的升高。高阶次的微分方程不利于有限元等数值方法的求解，为数值求解带来一些难点问题。而在对偶变量体系下，虽然未知量增加了，但阶次降低了，低阶微分方程有利于数值求解，而未知量的增加并不会带来太大的影响。对偶变量体系与数值方法的结合，更充分地体现出对偶变量体系的优点，充分发挥计算机的优势，去求解更多的工程问题。0.2.4 精细积分算法及研究现状精细积分法 precise integral algorithm常微分方程组的数值计算一直是备受人们关注的领域，对此已发展了丰富的数值方法。近年来，精细积分方法得到广

28、泛关注，已扩展到时变、非线性微分方程、偏微分方程的求解，并成功地应用到结构动力响应、随机振动、波导、热传导以及最优控制等领域，为不同领域的数值计算提供了一个高精度、高稳定性的算法平台，值得深入研究。另一方面，控制领域对数值计算的关注度和重要性意识正在加强，而合适的理论框架对于构造高性能算法有重要意义。弹性问题中能有解析解的结果及其有限，大量的工程问题需要采用数值解法。在拉格朗日体系下河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 5的数值方法中，有限元取得了很大的成功，但是它在无限域的元和特殊的边界问题上，尤其是在动力问题上无法取得令人满意的结果；而哈密顿体系下的数值解法有稳定性、收敛性、精度

29、高、速度快等优点。近年来钟万勰10院士在哈密顿体系下发展了一类高精度的求解方法一精细时程积分法，该方法放弃了求解动力方程常用的差分格式，其求解定常结构动力方程，数值结果精度之高，是其他时程积分方法无法比拟的，其数值解甚至可与精确解相比。该法不仅是相容的、收敛的，同时还具有很好的稳定性、零振幅衰减率、零周期率以及无超越性等优良特性，它为结构动力系统的高精度计算开辟了新的途径，从特性上而言，精细积分方法不仅适合频率密集的大型柔性结构，而且也适用于大型复杂结构在突加荷载或冲击荷载作用下的瞬态响应分析。利用钟万勰教授提出的精细积分法求解动力学方程，具有无条件稳定，计算精度高的优点。钟万勰院士在利用精细

30、积分方法求解非齐次动力方程时将激励在每个时间步中假设为线性变化，并得到了系统响应的迭代公式。裘春航、吕和祥和蔡志勤11等在哈密顿体系下，对结构动力方程的精细求解方面作了大量研究。钟万勰院士12又将精细积分扩展到用于求解偏微分方程，发展了一类子域精细积分法，该方法与传统的有限元方法、有限差分法相比有很多优势，它属于半解析法，具有数值精度高及带宽小的优点，并且无条件稳定。吴志刚13等在有限时间控制系统的设计与仿真问题上运用了精细积分法。H汪梦甫、周锡元14将高斯积分方程与精细积分法中的指数矩阵运算技巧的结合起来，建立了精细积分法的更新形式及计算过程，对该更新精细积分法的稳定性进行了探讨和论述。在实

31、施精细积分法的过程中不必进行矩阵求逆，整个积分方法的精确度取决于所选高斯分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度，计算效率较高，其稳定条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。0.3 本文研究的主要内容和解决的关键问题本文基于薄壁杆件理论、哈密顿对偶体系和精细积分法，做出框筒结构的动力时程分析。常微分方程组的数值计算一直是备受人们关注的领域，对此已发展了丰富的数值方法。近年来，精细积分方法得到广泛关注，已扩展到时变、非线性微分方程、偏微分方程的求解，并成功地应用到结构动力响应、随机振动、波导、热传导以及最优控制等领域，为不同领域的数值计算提供了一个高精度、高稳定性的算法平台，值得深入研

32、究。另一方面，控制领域对数值计算的关注度和重要性意识正在加强，而合适的理论框架对于构造高性能算法有重要意义。弹性问题中能有解析解的结果及其有限，大量的工程问题需要采用数值解法。在拉格朗日体系下的数值方法中，有限元取得了很大的成功，但是它在无限域的元和特殊的边界问题上，尤其是在动力问题上无法取得令人满意的结果；而哈密顿体系下的数值解法有稳定性、收敛性、精度高、速度快等优点。近年来钟万勰10院士在哈密顿体系下发展了一类高精度的求解方法一精细时程积分法，该方法放弃了求解动力方程常用的差分格式，其求解定常结构动力方程，数值结果精度之高，是其他时程积分方法无法比拟的，其数值解甚至可与精确解相比。该法不仅

33、是相容的、收敛的，同时还具有很好的稳定性、零振幅衰减率、零周期率以及无超越性等优良特性，它为结构动力系统的高精度计算开辟了新的途径，从特性上而言，精细积分方法不仅适合频率密集的大型柔河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 6性结构，而且也适用于大型复杂结构在突加荷载或冲击荷载作用下的瞬态响应分析。利用钟万勰教授提出的精细积分法求解动力学方程，具有无条件稳定，计算精度高的优点。钟万勰院士在利用精细积分方法求解非齐次动力方程时将激励在每个时间步中假设为线性变化，并得到了系统响应的迭代公式。裘春航、吕和祥和蔡志勤11等在哈密顿体系下，对结构动力方程的精细求解方面作了大量研究。钟万勰院士12又

34、将精细积分扩展到用于求解偏微分方程，发展了一类子域精细积分法，该方法与传统的有限元方法、有限差分法相比有很多优势，它属于半解析法，具有数值精度高及带宽小的优点，并且无条件稳定。吴志刚13等在有限时间控制系统的设计与仿真问题上运用了精细积分法。H汪梦甫、周锡元14将高斯积分方程与精细积分法中的指数矩阵运算技巧的结合起来，建立了精细积分法的更新形式及计算过程，对该更新精细积分法的稳定性进行了探讨和论述。在实施精细积分法的过程中不必进行矩阵求逆，整个积分方法的精确度取决于所选高斯分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度，计算效率较高，其稳定条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。0.3.1

35、 本文研究的主要内容（1）对框筒结构做出下列相应的假设简化，采用连续化方法将实际框筒结构连续化为一个封闭的等效实腹筒体。（2）基于薄壁杆件模型，从框筒结构总应变能和外力势能求出结构的总势能，再得到框筒结构的哈密顿对偶体系，由两端边值问题的精细积分法中的区段混合能矩得到结构每层的刚度矩阵，然后利用有限元法集成结构的总体刚度矩阵。采用多质点体系的质量矩阵，阻尼矩阵采用瑞雷阻尼，最后建立结构的动力时程方程。（3）利用初值问题的精细积分法对框筒结构的动力时程方程进行求解，并用 MATLAB 语言编制相应的程序，求框筒结构在多遇地震作用下的反应值。（4）通过具体的算例分析，验证本文方法在分析动力问题方面

36、的可行性与可靠性。0.3.2 本文解决的关键问题（1）如何对框筒结构做出假设简化，得出框筒结构的计算模型。（2）如何求的结构的整体刚度矩阵。（3）如何求得结构的质量矩阵与阻尼矩阵。（4）如何求解结构的动力方程。（5）如何选取合适的算例，将整个问题用 MATLAB 程序实现，得出相关的结论。0.4 本章小结本章概述了研究背景及意义；简述了框筒结构国内外研究现状，包括结构动力分析方法的研究、框筒结构剪力滞后与动力分析的研究、哈密顿对偶体系以及研究和精细积分法的研究；最后指出了本文研究的主要内容和需要解决的关键问题。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 71 框筒结构的哈密顿对偶体系1.1

37、 基于哈密顿理论体系结构的刚度矩阵1.1.1 每层的区段混合能（1）基本区段的混合能已知拉格朗日函数的物理意义是系统的总势能密度，则定义在区段上的总势能可表bazz ,示为：图 1.1 区段步长示意图 (1-1)bababbbbaaaabafUqKqqKqqKqq,qTTT2121可由变形能表达式引入内力向量， (1-2)afaUqpbfbUqp计算可得：， (1-3)babaaaaqKqKpbabaaaaqKqKp由上式得：,bababbbpqKKq11T1TTbkpkKqqbbbbbaba则可引入区段混合能(2-18)： (1-4)bafbbbaUVqqqppq,T将代入上式，可得：bab

38、abbbpqKKq1 aaabbbababbabaaaababbbbbbbbababbbbbbbbbababababbabaaaaababbbbbbaQqqFqpGppqKKKKqqKKppKppqKKKKpKKqpqKKKqqKqpqKKPpqVTTTT1T1T1T111T1TT1T212121212121,(1-5)其中，1bbKGbabbKKF1babbabaaKKKKQ1又有上式和哈密顿函数的关系为： (1-6)dzHVbazzbbbapq,qpqpqqTT,、和称为区段混合能矩阵与哈密顿矩阵相关，则、和与、和有关。GFQGFQABD它们的关系可以用黎卡提微分方程表示，若区段的长度为，

39、、和为常数矩阵的bazz ,ABDoazbzz河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 8时候，那么黎卡提微分方程可用下式表示： (1-7)GBGGAAGDGBFFQFGBAFTTdddddd初始条件：，（当） 。0G 0Q nIF 时0经 MATLEB 编程，得到步长为的基本区段混合能矩阵、和。 F G Q（2）结构的层区段混合能对任意两端边界条件的混合能矩阵都可以由以上所得的基本区段混合能矩阵、和 F G来进行求解。计算层高为（）的混合能矩阵，具体作法就是由下至上逐一合并 Qjh nhj区段，执行次即可得到。1n经编程得到结构每层的混合能矩阵、和。cnFcnQcnG1.1.2 层刚度

40、矩阵由以上结果，再令，则可得结构的层混合能：cnjFF cnjGG cnjQQ (1-8)1T11TT12121,jjjjjjjjjjjVqQqqFppGppqNj, 2 , 1对于混合能，有，可得：jjVpq11jjVqp (1-9)jjjjjjjjjjpFqQppGqFqT111由上式可求得： (1-10)111111T1jjjjjjjjTjjjjjjjqFGqGpqGFqFGFQp则可得节点力与位移关系为： (1-11)jjjjjjjjjjjjjGqqGFGFFGFQpp1111T1T1 本文中广义力及广义位移的正方向规定与有限单元法中的规定有差别。pq因此，对(2-19)进行修正，得

41、(1-12)jjjjjjjjjjjjjqqGFGGFFGFQpp1111T1T1上式可表示为：，其中为广义力，为广义位移，为刚度矩阵。jejjfKR jRjfeK取每层作为一个结构单元，由以上可求得结构的单元刚度矩阵： 111T1TjjjjjjjjjejGFGGFFGFQK (1-13)Nj3 , 2 , 1河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 91.1.3 整体刚度矩阵将所得结构层单元刚度矩阵分块表示： (1-14)22211211jjjjejKKKKKN2 , 1j 用有限元法将单元刚度矩阵集成整体刚度矩阵得： (1-15)NNNNNNNNqqqKK0000KKKK000000K

42、0000KKKK0000KKppp102221121122121121212211222121112111110设整体刚度矩阵为则可得：K (1-16)22211211221211212122112221211121111NNNNNNKK0000KKKK000000K0000KKKK0000KKK由于整体刚度矩阵具有奇异性，为求出弹性位移，必须引入结构底部固定上部自由的边K界条件。1将中已知位移为 0 所对应的元素（除行列交点处的元素外）都置为 0。K2将中已知位移为 0 所对应的行元素置为 0。p3列阵不变。q对整体刚度矩阵调整后，得到： (1-17)22211211221211114223

43、213123113222212122112221000000000000000000NNNNNNKKKKKKKKKKKKKKKKK1.2 质量矩阵一般地高层框筒结构的质量为分布质量，对结构进行动力时程分析时，质量矩阵一般有M两种取法：一种是把分布的惯性力按虚功等效的原理转换到结点上，可以得到以等效的结点惯性力来表示的惯性力影响。这样得到的质量矩阵称为等价质量矩阵。另一种是按一定的方法把分布的质量集中在一起，形成有限的集中质量。这方法称为集中质量矩阵。本文采用多质点体系的模型，将结构质量集中在楼层标高处，按楼板上、下半层高质量之河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 10和计算。此质量矩

44、阵的特点是与位移向量相互对应的对角矩阵，可表示为矩阵形式： (1-18)NNmmmmmM000000000000000000001321Nj, 3 , 2 , 1式中，第层与位移向量对应的层质量；jmj结构总层数。N1.3 阻尼矩阵抗震设计中采用的阻尼有很多形式，如质量比例型阻尼，刚度比例型阻尼，瑞雷型阻尼，考虑全部振型阻尼比的阻尼等。我们采用常用的瑞雷阻尼（Rayleigh） ，瑞雷阻尼矩阵的确定C方法为，取质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，可表示为：MK (1-19)KMC10aa其中，、均为比例常数。0a1a瑞雷阻尼的比例常数、与频率和振型阻尼比的关系为： 0a1ajj (1-20)2222

45、02ijjjiiija (1-21)2212ijiijja式中， 、分别为建筑结构第 、振型的圆频率，、分别为第 、振型的阻尼ijijijij比，高层建筑一般取，； 和可由有非零解求得。1i3jij 02XMK1.4 动力方程的求解框筒结构的动力方程表达式可写为： (1-22) 000,0qqqqFXMIKqqCqM tg式中，、和结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵；KMC、和体系的广义位移向量、广义速度向量和广义加速度向量；qq q 各元素均为 1 的列向量；I地震时地面运动加速度波。gX 对方程的求解我们采用动力学初值问题的精细积分法。精细积分法是一种高精度数值解法，一下为动力方程的求解过

46、程。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 111.4.1 微分方程的降阶利用状态向量表达式，可将以上动力方程式降为一阶微分方程的形式，引入引进对偶变量，则 Cq/2qMp (1-23)2/11CqMpMq将上式代入动力方程表达式可求得： (1-24)FCMqCCMKp2/4/11联立式以上两式可得： (1-25)F0pq/CMC/CMKMC/Mpq2421111可写为： (1-26)hH式中：，。pqv2421111/CMC/CMKMC/MHF0h联立初始条件可得： (1-27) 0hH0t上式为结构的动力响应状态方程，它的解一般可以表示为： (1-28) deetttthHH00若

47、将荷载作用时间分成步长为地震波时间间隔的若干时间段，则任意时刻点可表示为： (1-29)ktknk,2 , 1 有，可知和时刻的结构动力响应分别为：1kktt1ktkt (1-30) deetkkktttkhHH111001 (1-31) deetkkktttkhHH00由以上两式可得： (1-32) kkktttkkdetet11hHHnk2 , 1将初值代入，则可采用迭代法依次求得每个时刻对应的解。那么，问题的关键就是 0tkt求解指数矩阵和特解。HTe dekkktttk1hPH1.4.2 指数矩阵的精细积分法为矩阵指数函数，精细积分法用指数函数加法原理：He (1-33)mmee/HH

48、其中：为任意正整数，可选，取时，使用尺度因子的作mNm220N1048576mm用，先算，再经过次自乘，则可求解指数矩阵。其主要意思是：区段本身就不大，me/Hm那么将是一个非常小的区段。在这样微小的区段上，取泰勒级数展开式的前五项即m/河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 12可满足要求，则可取： (1-34)anneTIHHHHIH! 4! 32432其中： (1-35) 1232122HHIHHTna单位矩阵与指数矩阵相差是不大的，但很小与相差较大，如果在计算中存储nIHeaTnI，成为尾数，在计算机进行舍入操作中将丢失，为了提高计算的精度关键是只存储anTI aT，可作如下分

49、解：aT (1-36)11222NNNanananTITITIT在计算机编程可以求出指数矩阵的值。He1.4.3 特解的计算在计算特解的时候，假定为时间节点上的脉冲函数，即：kP h (1-37) kktt hh其中: (1-38) kgktXMI0h 又有为脉冲函数，有下面的性质：ktt (1-39) bakkkkkbttabtatfdttttf或0由以上述结果可得： (1-40) ktttkdekkkhhPH11.5 本章小结本章首先介绍了基于哈密顿理论体系的刚度矩阵的求法，然后介绍了质量矩阵和阻尼矩阵的求法，最后介绍了结构动力方程的求解方法。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年

50、 132 框筒结构动力时程分析框筒结构是建筑物外围轮廓线处布置密柱深梁所形成的框架，而在整体上这些框架围成了一个封闭的整体，其空间作用性好，在广泛的建筑物高度范围内，被认为是一种经济有效的结构体系。整体建筑主要由几大框筒承担重量，单元内的墙体不起承重作用，真正的活性建筑，墙体可以随意改变，甚至整层都可以随意间隔。这是现在最先进的结构。框筒结构由已知的结构和荷载动力荷载来计算结构的响应，已确定结构的承载力和动力特性，为改善结构性能、合理进行设计提供依据，本文是对框筒结构进行动力时程分析。2.1 基本假定及计算模型2.1.1 基本假定对框筒结构进行动力时程分析，要做一些合理的简化，在分析时采用如下

51、的假定：（1）采用连续化模型等效成正交异性平板和角柱围成的薄壁实腹筒；（2）考虑弯曲、剪切变形，并考虑剪力滞后效应；（3）刚性楼板假定；（4）采用符拉索夫刚周边假定；（5）采用库尔布鲁纳和哈丁对翘曲位移的假定；（6）每层结构的质量集中在楼板标高处；（7）对框筒结构做出相应的假设简化，建立框筒结构分析的计算模型。2.1.2 计算模型根据上述基本假定，采用连续化方法将实际框筒结构连续化为一个封闭的等效实腹筒体。框筒结构计算模型如图 3-1 所示，坐标系如图所示，截面双轴对称，地震作用沿轴方向，oxyzx和分别是框筒腹板和翼缘的长度； 、和分别是框筒等效连续化后各向正交异性平a2b20tEG板的等效

52、厚度、弹性模量和等效剪切模量； 结构选取 3 个广义位移，即沿轴方向的侧移、翼缘翘曲位移最大纵向位移差函数x zu、断面绕轴转角。 zWy zy下面给出框筒结构的位移表达式：假设翼缘翘曲位移沿板宽方向为二次抛物线分布： 河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 14图 2-1 框筒结构计算模型 (2-1) zWbyzawyf221假设腹板翘曲位移沿板宽方向为线性分布： (2-2) zxwyw角柱上的翘曲位移为： (2-3) zawyc2.2 框筒结构的刚度矩阵2.2.1 框筒结构的总势能由以上基本假定写出框筒结构的总势能：翼缘的应变能： (2-4)tdydzywGzwEHbbfff 02

53、221212腹板的应变能： (2-5)tdxdzzuxwGzwEHaawww 02221212角柱的应变能： (2-6)dzzwEAcHcc20214结构外力势能： (2-7) Hqdzqu0最终得到的结构总势能为：zyoxxyoa2b2a2b2河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 15 (2-8)qcwf将上述位移函数代入应变能函数可得： (2-9)dzEbGWWWIEyyfHf222203415834221 (2-10)dzuAGIEHywyww022221221 (2-11)HyccdzIE02421式中，一片腹板的面积，；wAatAw2一片翼缘绕 y 轴的惯性矩，；fI22b

54、taIf一片腹板绕 y 轴的惯性矩，；wItaIw332一根角柱绕 y 轴的惯性矩， ；cI2aAIcc一根角柱的面积，应刨去相邻两根中柱面积之和的一半，它们已计入翼缘和cA腹板中。最终得到的结构总势能为： dzuAGEbGWWWIEEIdzquIEuAGIEEbGWWWIEHywyfyHycywywyyfqcwf022222022222222213415834221214212212213415843221(2-12)式中，。cwfIIII4222.2.2 框筒结构的哈密顿体系将结构的总势能写为： (2-13)HdzL0),(qq 从而可以得出框筒结构的拉格朗日函数为： (2-14)2222

55、2221341583422121,ywyfyuAGEbGWWWIEEIqqL式中，。cwfIIII422将拉格朗日函数表示为矩阵形式，则有： (2-15)qgqKqqKqqKqqqT11T21T22T2121,L河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 16令,，yuWqyuWq00qg00000020021wGAKwfGAbGI2000380000211K， 。EIEIEIEIGAfffw340341516000222KT2112KK通过引入的对偶变量，可以导出哈密顿函数为：qqKqKp2122 (2-16)qhphDpp21Bqq21Aqppq,TTTTTHHpq其中，。21122K

56、KA211221211KKKKB122 KD0qhghp2.2.3 框筒结构每层的刚度矩阵及整体刚度矩阵（）公式将结构按楼层划分为结构层数的区段，按 1.1.2 节的方法求得层高为的区段混合能矩阵jh、和（结构每层的混合能矩阵） 。再令，。cnFcnQcnGcnjFF cnjGG cnjQQ 根据 1.1.3 节介绍的方法可写出结构每层的刚度矩阵为： (2-17)111T1TjJjjjJjjjejGFGGFFGFQKN2 , 1j根据 1.1.4 节介绍的方法求得的结构整体刚度矩阵，可得：111T1T11111414T441331313T3313T331221212T2212T22110000

57、000.000.0000.000.0NNNNNNNNNNNNGFGGFFGFQGFGFGFQGFGGFFGFQGFGGFFGFQGK（2-18) 2.3 框筒结构的质量矩阵和阻尼矩阵（1）质量矩阵质量矩阵采用多质点体系的模型，将质量集中于楼层处，框筒结构层数为，所求质量矩N阵与位移向量相互对应，得质量矩阵为： NNmmmmmM000000000000000000001321 (2-19)N2 , 1j其中： (2-20)jjjjfjjwjhIhIhAdiag,1516,2M河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 17式中，结构的材料密度；楼板相邻上、下半层高之和。jh（2）阻尼矩阵采用

58、瑞雷阻尼，其计算公式为： (2-21)KMC10aa式中， ，、分别为第 、振型的圆222202ijjjiiija2212ijiijjaijij频率；、分别为第 、振型的阻尼比，高层建筑一般取，； 和可由ijij1i3jij有非零解求得。 02XMK2.4 动力方程求解框筒结构的动力方程式可写为： (2-22) 0q0qFXMIKqqCqM0,0 tg式中，、和结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵；KMC、和体系的广义位移向量、广义速度向量和广义加速度向量；qq q 各元素均为 1 的列向量；I地震地面运动加速度波。gX 根据 1.4 节所介绍的动力方程的求解方法即可对框筒结构进行动力时程分析。

59、2.5 本章小结本章是对框筒结构在多遇地震作用下反应进行了动力时程分析。基于薄壁杆件模型，考虑弯曲、剪切变形，并考虑剪力滞后效应，从结构的总势能出发，求得框筒结构的哈密顿体系，再由两端边值问题的精细积分法中的区段混合能矩阵导出结构每层的刚度矩阵，然后利用有限元法集成总体刚度矩阵，求得质量矩阵和阻尼矩阵，最后采用初值问题的精细积分法求解结构动力时程方程。河北工程大学土木工程学院毕业论文 2012 年 183 框筒结构动力时程算例3.1 算例算例一如图 3-7 所示 20 层框筒结构，层高,柱距，中柱截面为，角柱截mh3ms3mm9 . 05 . 0面为，梁截面为,楼板厚度取；混凝土为，取mm9

60、. 09 . 0mm8 . 035. 0mt15. 030C，为混凝土弹性模量，泊松比为 0.33，结构材料密度 1.5103kg/m3。cEE65. 0cE计算用的到参数如下：；210/1095. 1mNE2/09403. 004822. 0mNEGmt15. 0； ；25 . 4 mAw41215mIf481mIc45 .337 mIw433490mI ；。ma302 mb362 图 3-1 结构平面图地震波选用美国加利福尼亚州 EI-Centro 地震记录。本例中，地震波沿方向作用在结构上，x时间步长=0.04s，计算时间长度为 t=2s。瑞雷阻尼系数取值为：，。t2 . 00a1 .