上海市高二下学期复数的概念及其运算

1、12.1复数的概念及其运算【学习要点】1 .把形如abi(a、b刈的数叫做复数，用字母z表示，即zabibR),其中a叫做复数z的实部，记作Rez,b叫做复数z的虚部，记作Imz,而”做虚数单位，规定：i21.复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C表2小.复数包括实数和虚数，规定i1.2 .复数zabi,当b。时，复数z为实数；当b0时，复数z为虚数；当a0且b0时，z叫做纯虚数.3 .如果两个复数z1abi和z2cdi相等，则ac且bdz的共腕复数用4 .共腕复数：实部相等虚部相反的两个复数互为共腕复数，复数z来表示，若z a bi ,则za bi5.对于复数zbib2叫做复数z的模.记z

2、即 z - a2 b2特别地，z6 .复数加减法:zibi,z2司,则4Z2(ac)(b d)i7 .复数乘除法:bi,z2司,则4 z2 (acbd)(bc ad)i .8 .复数的乘方:(zmn z(Zi z2)nnZinz2我们规定z01,A(z z4n3ii9.复数的开方:它是乘方的逆运算，设z1abiz2cdin,且满足z1z2 ,即(abi)ncdi,则称乙是z2的一个n次方根.特别地，i是1的一个13.i方根，1的立方根是1、22.召R(Z20)10 .复数的模的运算性质：z1z2乙z2;z2z2l;-二Z(z20)11 .共腕复数运算性质：z1z2z1z2，乙z2z1z2；z2

3、z2；【例题讲解与训练】例1.已知复数34i,2i,i,2,0,V2i.(1)指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？求出上述复数的模及它们的共腕复数.K变式训练1223i,5,1i1.请说出复数3的实部和虚部.2. i22 .复数2J7,0.618,7,0,i,i,5i8,39Y，2i中为实数的有，为虚数的有，为纯虚数有.3 .已知命题：若z1，z2C,且z1z2,则z1z2；若a，bR,且ab,则aibi；与自身共腕的复数一定是实数.其中正确的序号为.-2mm22z(m5m6)i例2.实数m取何值时，复数m3是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？K变式训练221.实数m分别取什么值

4、时，复数zm1m1i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？222 .若复数m5m6m3mi为纯虚数，试求实数m的值.3 .已知a，bR,指出不等式2a(ba)i5b(a2b6)i成立的条件.例3.计算：(1) (56i)(2i)(34i)=(2)(12i)(23i)(34i)(45i)(20172018i)=K变式训练321.计算：(1)(12i)(34i)(56i)=(2) i2i3i4i5i6i2017i2018i=2 .已知命题：若两个虚数z1、z2的和是实数，则z1、Z2是共腕复数；若z1、z2是共腕复数，则乙-z2是纯虚数；若复数zz0,则z是纯虚数.其中正确的序号是.3 .已知两

5、个复数z1和z2,它们之和是21)(1它们之差是陋1)(1巧i，求z1、z21v13i例4.已知复数z1、z2满足z1z21,且马Z2万万1求z1、Z2的值.K变式训练421 .已知复数z12i,z212i,则复数zz2z1在复平面内所表示的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2 .复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i，52i,则由A、B、C所构成的三角形是()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形3 .设复数z满足z2,求zi的最大值及此时的复数z.例5.已知z1、z2是复数，(13i)z1为纯虚数，z22i,且z25血，求z2.

6、K变式训练521 .复数z满足(12i)z43i,则z=.2iz2 .复数1i在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(C)第三象限2 i3.若将复数i表示为a bi(a，b1(A) 2(B)2(B)第二象限(D)第四象限bR)的形式，则a的值为()1(C) 2(D) 21z例6.设z是虚数，z是实数，且12.(1)求z的值及z的实部的取值范围;1zU(2)设1z,求证：u为纯虚数;-2.(3)求u的最小值.K变式训练61,10C1z61 .若复数z同时满足条件：z;z的实部、虚部都是整数.求z.zR2 .若复数z满足z1,求证：1z2.JR3 .设zC,求满足1z且z22的复数z.2.3.2

7、018例7.(1)iiii(2)14324i的平方根是K变式训练722341001. i2i3i4i100i=2. 724i的平方根是(j2n(3)2n3.计算：n为奇数时，求1i1i的值.例8.设是1的立方虚根.求；2-求证：；2求证：10.K变式训练822018=.48)(1)=.231.已知是1的立方虚根，则132、，2 .已知为x1的一个虚根，则(1)(1)(13 .已知x2x10,则x30x40x50的值为=.(34i)3例9.(1)复数(2芋i)5(J3，4的模为二.(2)设复数z满足z 1 ,求zK变式训练91的最大值和最小值，并求相应的z.z 1.复数 (1i(3 4i)5( 7 24i)2i)10(21 3i)的模为=.2 .若 z1，z2 C(A)纯虚数z1z2 是(B)实数(C)虚数(D)不能确定43.若复数z1，z2满足z13,z25,4z27,求z2.例10.设复数z1，z2满足关系式z1z2Az1Az20,其中A为不等于0的复数.24AIz1A求证：(1)z1Az2AA.(2)z2Az2A.K变式训练102z1z21.(1)已知z1，z2C,z1L求1z1z2的值；111z1z24_z1z2z3(