三棱锥的几个重要性质,!教学内容

1、棱锥的几个重要性质,!精品资料直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1:RtA的垂心就是直角顶点。性质2:RtA的两个锐角互余。性质3:RtA两直角边的平方和等于斜边的平方。性质4:RtA中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtA两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。性质5:RtA

2、两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。性质6:RtA斜边上的中线等于斜边的一半。1 1c（所以RtA的外接圆半径R=-c=-Ja2b2）。2 2ab1性质7:RtA的内切圆半径r=,=_（a+b-c）oaba2b22现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PAPRPC两两垂直，设PA=a,PB=b,PC=c。,PAPRPC两两垂直，PA1面PBCPB面PCAPC1面PAR，面PAB面PBG面PCAM两垂直。作PhL面ABC于H,连CH并延长并交AB于D,连PD,贝UPH!AB,PH!CD,面PCDL面ABQ而PC上面PABPCXAB,所以AB上面PCRA

3、B!PQABCH同理，AHIBC,BH!CA由AEJ面PCWCD!AB,而PDAB且/APB=90,ABG/CAB为锐角。同理，/BCA也是锐角，从而有：性质1:直角三棱锥的底面是锐角三角形。由AB!CHAHLBC,BH!CA易知，H是AABC的垂心，由此可得：性质2:直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。,ab,、o在RtAPAB中，PD-AB=PA-PBPD=:在RtAPCD中，CD2=PD2+,a2b2PC2 =(aba22, 2.2 22 2a b b c c a2.2a bRtA PCD 中，PH, CRPD- PC=CD- PHPH,22_ 2PD PCCD2, 2, 2

4、22 2a b b c c a2iT2a b2,2 2a b c2, 2, 2 22 2a b b c c a1PH 22, 2 2a b c1-2a1b2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5一一一八一 、，一，一，1性质2：直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式因PHU面ABG，侧棱PC与底面ABC所成角为/hPCHk aI 12 一 2a,则有+ bsin+:。c/ PCH= sin 22.2a bab2ab2cb2)22. 2a b2. 2a b.2 2b c同理，侧PB与底面ABC所a2b成角为/ PB用 3 ,sin 2 / PBH= sin角为/ PAH= 丫 , si

5、n 2 Z PBH= sin2 2b c2 2c a,2 2b cPA与底面ABC所成sin 2 a + sin 2 3 +sin 2 丫 = 1。因此，性质3:直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于 底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。1。三条侧棱与由AB PD,AB CD, .侧面 PAB与底面 ABC所成角为/ PDC= 0 ,由PCX PD知。+民90 , sin 2 a = sin 2 (90 - 0 ) = cos1。易得：sin 2 0 + sin 2 S + sin 22 0。类似推理，由 sin 2 a + sin 2 3 + sin 2 r =PC=1。

6、 另外，tan(P-AB-C) = tan / PDC=PDcab111c J22 ,同理，tan(P-BC-A) = a 1ab. b1c2tan(P-CA-B)性质3:直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C) = c112.2a b,tan(P-BC-A) = atan(P-CA-B)b 11b l 22 ,c a如图，Q为底面A ABC内任一点，作点 Q到面PAB的距离为RQ= d1,至ij面PBC的距离为 R仁 d 2 ,至ij面 PCA的距离为 RS= d 3 ,容易得至ij: PC2 = Rd2 + RP2 = RQ2 + RT2

7、+ RS2 = 23d 1+ d 2+ d 3 2性质4:底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。F. . 2SP2QP与梭PA所成角的余弦值 cos a = 5PQ2RT2PQ,QP与棱PB所成角的余弦值2。TP2cos 3 = z-=PQ2在 PQ = RQ2RS2-RS, QP与棱PA所成角的余弦值 PQ2+ RT2 + RS2两边同日除以PQ ,得2 cosRQ22 cosc + cos 2 a + cos 2 3=1；性质4:直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。2RS2RT2QP与面PBC所成角的余弦值QP与面PAB所

8、成角的余弦值cos0=-RSRT_PQ22 cos5s RS2 RQ2 0 =RQ +2 cosPQ2RT2 + RS2 得0 + cos 2 8 +22,QP与面PCA所成角的余弦值2 cosRT2 RQ2,由 pq2 =PQ22 X PQ2 = RS2 + RT2 + RS2 + RQ2 + RT2 + RQ2 ,两边同时除以 PQ2 ,得cos 2=2,21 sin。+ 1 sin 2 8 + 1 sin 2= 2,得 sin 20 + sin 8 + sin,2 22 22 2a b b c c a22a b性质4:直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值

9、的平方和为1。11cC底面二角形的面积sabc=ab,cd=-4ab-Ja2b2b2c2c2a2,这也可以当成直角三棱锥的一个性质:2性质5：直角三棱锥底面三角形的面积S=Ja2b2b2c之c2a之。2在RtAPCD中，PD2=HD-CD,两边同乘以AB2得1AB2-PD2=-AB2-HD-CD,444即SPAB=SHAB,SABC；向理，SPBC=SHBCSABC；SPCA=SHCASABC性质5:直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。把 S PAB = S HAB , S ABC ； S PBC 三个式子相加，得s ABC 2 = s PAB 2 + s2 =S2 P

10、BCHBC , S ABC ； S PCA + S PCA =S HCA . S ABC ；这性质5:直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。PA直角二棱锥 P-ABC中，在点 A处，cos/PAB- cos Z PAC= PAPA2_ 2_ 22AC AB BCcos / BAC=2AB AC_ AC2 PC2 AB2 PB22AB ACAB_2_222AC AB (PB PC )AC AB AC2AB ACPA = A = cos/PAB- cos/PAG2AB AC即 cos / BAC= cos / PAB- cos / PAQ 同理，点 PBC 点 C 处，cos Z A

11、CB= cos Z PCB- cos / PCA 所以性质6:直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面 两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。AB ACB 处,cos / ABC= cos / PBA cos /F将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有1c性质7:直角三棱锥外接球的半径R=b2C2。2三棱锥,设直角三棱锥内切球半径为r,球心为O,连OA,OB,OC则把直角三棱锥分成四个小1999999S abc = - va b b c c a ,2VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPCA+VOABC，-xabxc

12、=1xabxr+1xbcxr323232+1x1caxr+1x1xJa2b2b2c2c2a2xr,3232所以,abcab.2,2,2222bcac.abbcca性质7:直角三棱锥内切球的半径abcr222222abbcac.abbcca现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下:性质1:直角三棱锥的底面是锐角三角形。性质2:直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。“一1111直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式-12=2+2+20h2a2b2c21。三条侧棱与1。各角的正切,tan(P-CA-B)=性质3:直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于值：tan(p-AB-C)=cJ2,tan(P-BC-A)=aJ22abbcbdJca性质4:底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为