斐波那契数列

1、斐波那契数列斐波那契数列实验二实验二斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那契斐波那契（Leonardo FibonacciLeonardo Fibonacci，1170-12401170-1240，籍贯大概是，籍贯大概是比萨）。他被人称作比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多比萨的列昂纳多”。12021202年，他撰写了年，他撰写了珠算原理珠算原理（Liber AbacciLiber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事

2、，派驻地点相当于今日的阿尔聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。一、实验目的一、实验目的认识认识Fibonacci数列，数列，体验发现其通项公式的过程。体验发现其通项公式的过程。 了解了解matlab软件中，软件中，进行数据显示与数据拟合的方式。进行数据显示与数据拟合的方式。 提高对数据进行分析与处理的能力。提高对数据进行分析与处理的能力。 二、问题描述二、问题描

3、述 一般而言，兔子在出生两个月后，就一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？那么一年以后可以繁殖多少对兔子？三、问题分析三、问题分析21nnnFFF称为称为Fibonacci数列数列。递推公式：递推公式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，兔子对的兔子对的数目数目依次如下：依次如下： 所求答案所求答案：Fibonacci数列的第数列的第12项。项。Fibonacci数列的数列的一般规律一般规律是什么？是什么？四、背景知识四、背景知识

4、1 1、最小二乘和数据拟合、最小二乘和数据拟合2022-2-21多项式拟合多项式拟合当数据点互异时plot(x,y,s) ：将所给的点列连接成一条折线将所给的点列连接成一条折线 x-点列的横坐标，点列的横坐标，y-点列的竖坐标点列的竖坐标s-图形的格式字符串图形的格式字符串 例例:给定数据，给定数据，x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10; y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4;描绘其图形描绘其图形代码：代码：x1=1,3,4,5,6,7,8,9,10; y1=10,5,4,2,1,1,2,3,4; plot(x1,y1)2 2、画图和多项式拟合命令、画图和多项式拟合命令2022-2

5、-211234567891012345678910p=polyfit (x,y,n) ：用用n次次多项式拟合多项式拟合数据列数据列 返回多项式的系数，次序是由高阶到低阶返回多项式的系数，次序是由高阶到低阶例例:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;拟合：拟合：p=polyfit (x,y,2) 结果：结果：0.2676 -3.6053 13.4597数值数值：f = polyval(p,x)结果：结果： f =10.1219 5.0519 3.3196 2.1224 1.4604 1.3335 1.7417 2.6851 4.1636即即2次多项式

6、为次多项式为p1=0.2676x2 -3.6053x+13.4597拟合效果展示：拟合效果展示：代码代码:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;p=polyfit (x,y,2);plot(x,y, ro,x,polyval (p,x), b)legend(数据点数据点,拟合曲线拟合曲线) ;2022-2-21123456789101234567891011 数 据 点拟 合 曲 线五、实验过程五、实验过程 NnFnn, 2 , 1),( 查看代码( ,log),1,2,nnFnN 查看代码 log()0.8039+0.4812nnF n0.447

7、6 1.6180nF 即：查看代码( ,),nn F 0.4476 1.6180 xy 查看代码查看代码0.7768+0.4799yx ( ,log(),1,2,nnFnNnnFCr猜测，通项公式：210rr 2/ )51(2, 1 r解得：(15)/2)nnFC121 FF将上式代入递推公式中得：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：然而然而,上式并不满足：上式并不满足：nnnFCrCr215(,1)2nnnbFCrrrr构造数列：进一步修正进一步修正nb可得数列仍然满足那个递推公式nnnbbCr因而猜测 的通项形式：21(15)/2rrrr其中，也满足

8、方程，故这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项的新猜测：数列通项的新猜测：11515225nnnF这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项：数列通项：称为称为比内公式比内公式。(Binet，法国，法国，1843年发现年发现)1211/51/5FFCC 由条件，确定，21nnnFFF 21rr 1,2(15)/2r 12151522nnnFCC 1211,55CC 1515225nnnF六、化学反应中生成物的浓度问题六、化学反应中生成物的浓度问题1、描绘、描绘生成物浓度的散点图生成物浓度的散点图代码：代码： t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

9、,16;y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86;y=y,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60;plot(t,y, r+)xlabel(时间); ylabel(浓度);legend(生成物浓度散点图生成物浓度散点图)从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈从图形看，显然是非线性关系，数据点列呈现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变现单调上升趋势，开始上升较快随后逐渐变慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型慢，故宜采用多项式、双曲型函数、指数型函数或对数型函数做拟合等函数或对数型函数做拟合等2、采用

10、、采用2，4和和6阶多项式进行拟合阶多项式进行拟合代码：代码： p2= polyfit(t,y,2);p4= polyfit(t,y,4);p6= polyfit(t,y,6);R1 = dot(y-polyval(p6,t),y-polyval(p6,t) %计算拟合残差plot(t,y,r+,t,polyval(p2,t),t,polyval(p4,t),t,polyval(p6,t)legend(测量数据测量数据, 2阶拟合阶拟合, 4阶拟合阶拟合, 6阶拟合阶拟合)6阶多项式拟合效果较好阶多项式拟合效果较好3、采用双曲函数进行拟合：、采用双曲函数进行拟合：代码：代码： p1= poly

11、fit(1./t,1./y,1);plot(t,y,r+,t,1./polyval(p1,1./t)R2 = dot(y-1./polyval(p1,1./t),y-1./polyval(p1,1./t)legend(测量数据测量数据, 双曲型拟合双曲型拟合)(0)tybatb11Y,11,TtatbybabaatbytYTytt其中七、结论与应用七、结论与应用 1515225nnnF5/)2/ )51(nnFn 时，之间。与的阶在故nnnF2)2/3( 215G黄金分割数1(15)5122) 1(511nnnnGGF 214322121225432FFFFFFGFFFFFFnnnn1512n

12、nnFLimGFhttp:/ -1 0 0 0 01 1 -1 0 0 00 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 。显示Fibonacci数列前n项function plotfibo(n) %显示Fibonacci数列前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来返回显示取对数后的前n项function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn

13、中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn) %将原来的数据取对数plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来返回根据取对数后的数据，拟合出线性表达式 function fitlnfibo(n) %先取对数，再拟合fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束xn=1:n; %定义横坐标fn=log(fn) %将原来的数据取对数polyfit(x

14、n,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组返回显示拟合数据与原始数据的前n项function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*) %显示, fn1兰线，fn2红星返回显示取对数后的拟合数据与原始数据function plotfibo3(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,-0