《高等数学A(一)、(二)》课程教学大纲

1、高等数学A(一)、(二)课程教学大纲课程编号：20811801-2总学时数：176（理论176）总学分数：11课程性质：必修课适用专业：土木工程、交通工程、环境工程、环境科学、给水排水工程、物理学、应用物理学、计算机科学与技术、电子信息工程、电子信息科学与技术、地理信息系统、测绘学、电气工程及其自动化、机械设计制造及其自动化一、课程的任务和基本要求：本课程包括一元函数微积分及应用、空间解析几何、向量代数、多元函数微积分及应用、常微分方程和无穷级数等内容，是工科类专业与管理类专业学生必修的基础理论课。通过本课程的学习，学生除掌握上述必要的数学知识，为后继课程的学习打下坚实的基础外，还逐步培养学生

2、的抽象思维能力，简单的逻辑推断能力与空间想象能力，培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决实际问题的能力。学生应理解或了解函数、极限、连续、一元函数微分、一元函数积分、二元函数微分与积分，并应用几何向量的方法讨论三维空间的平面、直线、简单的曲面与曲线，掌握常微分方程及无穷级数的基本概念与基本理论。掌握或学会极限、导数、积分的简单计算；会解常见的常微分方程；掌握用级数表示函数的方法。注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论、基本方法做出简单的推理证明，能进行准确、简捷的计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实

3、际问题。二、基本内容和要求：（一）一元函数的极限与连续基本内容：1、数列的极限、函数极限、左右极限的定义2、函数极限的性质与运算法则3、极限的存在准则，两个重要极限4、无穷小与无穷大的概念、无穷的性质、等价无穷小替换定理5、函数连续性的定义；间断点的概念与分类6、初等函数的连续性。7、闭区间上连续函数的性质基本要求：介绍常用的数集R、N、Z、Q、C和R*、R+等，理解邻域和去心邻域的符号与含义。理解函数的概念，并介绍符号函数、取整函数、狄利克雷函数。复习函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性等特性及其几何含义；理解反函数与复合函数的概念；理解初等函数（双曲函数可根据不同的专业，做不同的处理）的概

4、念。理解无穷数列的极限概念，理解数列极限的“eN”定义，理解并掌握收敛数列的性质；理解函数极限及左极限与右极限的概念，掌握函数极限存在的充要条件，理解函数极限的“ed”和“eX”定义。了解极限的性质，理解无穷小与无穷大函数的概念，掌握无穷小与函数极限的关系及无穷小的性质；掌握无穷大与无穷小间的关系；熟练掌握极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，并能熟练地应用极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则计算极限。理解夹逼准则和单调有界准则，熟练掌握两个重要极限，并会用两个重要极限计算极限（第二个重要极限可以不证明）。理解高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的定义，熟练掌握用等价无穷小替换法计算

5、极限。理解函数连续性的概念，掌握函数连续性的几个等价定义，理解左连续、右连续和函数在开区间内连续及闭区间上连续的定义；掌握函数间断点的分类，并会判别间断点的类型；掌握连续函数的运算性质；掌握初等函数的连续性；能熟练运用定理计算连续函数的极限。理解最大值和最小值定理、有界性定理、零点定理、介值定理及其推论；会应用介值定理（或零点定理）讨论函数的零点个数或方程的根的存在性。（二）一元函数微分学基本内容：1、导数与左右导数的定义、求导法则、求导公式2、复合函数的求导法则、隐函数的求导、参数方程确定函数的导数，高阶导数3、微分的概念4、微分中值定理、泰勒公式5、罗必塔法则6、函数单调性、凸性的判定及极

6、值与极值点、拐点的求法7、相关变化率8、最大值、最小值的计算及应用举例基本要求：深刻理解函数导数和函数在一点的左导数与右导数的定义，会利用通过计算左右导数的方法，判定函数在某点处的可导性；理解导数的几何意义和物理意义（变速直线运动物体的速度），熟练掌握平面光滑曲线的切线、法线方程的求法；理解函数的可导性与连续性的关系。熟练掌握函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，并能熟练运用求导法则计算函数的导数；掌握反函数求导公式；熟练掌握初等函数的求导公式；理解高阶导数的定义，能熟练计算高阶导数和推导如、等的n阶导数。理解隐函数的定义，熟练掌握隐函数的一阶导数的求导方法，会计算隐函数的二阶导数；能熟

7、练应用对数求导法计算函数的导数。熟练掌握由参数方程所确定函数的一阶导数与二阶导数的求导方法。了解相关变化率及其计算方法；并会求解简单的几何与物理中相关变化率问题。理解函数在一点可微和函数微分的定义，掌握函数可微的充要条件及可导、微分、连续三者的关系；熟练掌握基本初等函数的微分公式与运算法则，了解一阶微分形式的不变性，熟练掌握初等函数微分的计算方法。理解并掌握费马定理；理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论及其几何意义，了解柯西中值定理，知道这几个定理间的联系；并会应用罗尔定理判定方程的根或函数的零点的存在区间，会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式（通过构造函数证明的不作要求）；了解泰勒

8、公式和麦克劳林公式。熟练掌握运用洛必达法则求未定式极限的方法。熟练掌握利用一阶导数的符号判定可导函数的单调性的方法和求函数的单调区间；掌握利用二阶导数的符号判定函数的凸性和求平面曲线的拐点的方法。理解极值的定义及其局部性意义，理解极值存在的必要条件，掌握极值的第一充分条件和第二充分条件，熟练掌握连续函数的极值与极值点的计算方法；熟练掌握计算在闭区间上连续、开区间内可导函数的最大值与最小值的方法，掌握用求函数的最大值与最小值的方法求解简单的实际问题。会利用导数描绘函数图形，求平面曲线的水平渐近线与垂直渐近线。（三）一元函数积分学基本内容：1、原函数与不定积分的概念与性质2、基本积分公式、不定积分

9、的换元积分法与分部积分法3、有理函数的积分法、无理函数的积分法4、定积分的定义与性质5、微积分基本定理6、定积分的换元积分法与分部积分法7、反常积分8、定积分在几何上与物理上的应用基本要求：理解原函数概念与性质，知道原函数的存在定理，理解不定积分的概念和不定积分的性质；熟练掌握基本积分表。熟练掌握不定积分的第一类换元法，熟练掌握用三角代换计算不定积分的方法，掌握有理函数的积分法和简单无理函数的积分法。理解定积分的定义和几何意义，知道两个可积的充分条件；掌握定积分的性质。理解积分上限函数的概念及其与原函数的关系，熟练掌握定积分上限函数的导数，熟练掌握利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分的方法；熟练掌握

10、定积分的换元积分法和分部积分法。熟练掌握用元素法计算直角坐标中简单的平面图形的面积；会用元素法计算极坐标中简单的平面图形的面积；熟练掌握利用定积分计算平面曲线的弧长和旋转体的体积。会用定积分计算已知平行截面面积的立体体积。会用定积分计算变力沿直线作功、液体静压力。理解无穷限反常积分和无界函数的反常积分的定义，熟练掌握计算这两类反常积分的方法；知道这两类反常积分敛散性的判定方法。（四）微分方程基本内容：1、微分方程的基本概念2、可分离变量的一阶微分方程、齐次方程、一阶线性方程3、可降阶的高阶方程4、线性微分方程解的性质与结构5、二阶常系数线性方程基本要求：理解微分方程的概念，理解微分方程的阶、解

11、、特解、通解和初始条件的概念，知道积分曲线的概念。熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性方程的解法；会解可化为齐次方程的一阶微分方程。介绍用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程的方法；了解用变量代换法求解一阶微分方程的基本方法。熟练掌握y¢¢=f(x)，y¢¢=f(x，y¢)和y¢¢=f(y，y¢)这三种可降阶的微分方程的解法。理解高阶线性微分方程的概念，理解线性微分方程解的性质与结构，知道函数的线性相关性的概念，会判定二个函数的线性相关性。熟练掌握通过特征方程的根求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法；会

12、解二阶以上的常系数齐次线性微分方程的通解。熟练掌握用待定系数法求解当（其中为多项式）的二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，掌握当时二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法。掌握用微分方程求解简单的几何方面问题，掌握用微分方程求解物理中的有关物体运动、变力作功及物体的振动方面的问题。（五）向量代数与空间解析几何基本内容：1、空间直角坐标系的概念2、向量的定义，向量的坐标、向量的加法、数量乘、向量积的定义3、空间平面与空间直线方程4、柱面、旋转曲面及空间曲面的一般概念5、空间曲线，投影柱面、投影曲线基本要求：熟练掌握空间直角坐标系的概念，掌握空间点的坐标、两点的距离公式；理解向量的概念及向量的线性运

13、算及向量加法的平行四边法则和三角形法则，熟练掌握向量与数的乘法的定义及运算。理解向量投影的概念，熟练掌握向量在坐标轴上的分量和向量的坐标表示法，熟练掌握用向量的坐标表示向量的模和方向角、方向余弦公式；熟练掌握用向量的坐标表示法计算向量的加法和向量与数的积的运算。理解向量数量积的定义和运算性质，熟练掌握向量数量积的坐标表达式，掌握向量夹角的计算公式，熟练掌握向量垂直的充要条件；理解向量积的定义和运算性质，熟练掌握向量积的坐标表达式，掌握利用向量积的模求平行四边形的面积，熟练掌握向量平行的充要条件。深刻理解平面法向量的概念，熟练掌握平面的点法式方程、一般方程、截距式方程。深刻理解空间直线的方向向量

14、（方向数）的概念，熟练掌握空间直线的一般式方程、对称式方程和参数方程。掌握空间中直线与直线、平面与直线、平面与平面夹角的计算及平行与垂直的条件。了解曲面方程的意义和空间解析几何中关于曲面研究的两个基本问题，理解旋转曲面和柱面的方程。掌握空间曲线的一般式方程和参数方程，能熟练求出空间曲线在某坐标面上的投影柱面与投影曲线方程。了解用截痕法讨论曲面的方法，掌握椭球面、抛物面（椭圆抛物面和双曲抛物面）、双曲面（单叶双曲面和双叶双曲面）方程的标准式，并会画它们的图形。（六）多元函数微分学基本内容：1、中向量的表示与运算。平面点集的概念2、二元函数与多元函数的定义、二重极限与二次极限的概念、多元函数连续性

15、3、偏导数与全微分的定义、偏导数与全微分的计算、复合函数的偏导数、隐函数的偏导数4、梯度与方向导数5、偏导数在几何上的应用6、多元函数的极值、条件极值、拉格乘子法基本要求：知道n元实空间Rn的概念及Rn中向量的线性运算；知道平面点集的内点、边界点和聚点的概念，知道平面上有界集与无界集的概念；了解平面上开集与闭集的概念，理解邻域、区域和闭区域的概念。理解二元函数的概念；了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；了解二元函数的极限、连续的定义，会计算简单的二重极限；了解有界闭区域上连续多元函数的性质；掌握多元初等函数在定义区域内的连续性。理解二元函数偏导数的定义，熟练掌握多元函数的偏导（函）数的计

16、算方法；知道偏导数的几何意义，掌握二元函数偏导数与连续的关系；掌握多元函数的二阶偏导数的计算方法。了解二元函数在一点可微的定义和全微分概念；掌握可微的必要条件和充分条件，理解微分、偏导数以及连续的关系。理解多元复合函数的求导法则，熟练掌握多元复合函数的全导数公式和偏导数公式，会求多元抽象函数复合的一阶偏导数和简单的二阶偏导数；知道一阶全微分形式的不变性。了解由一个方程确定的隐函数存在定理，熟练掌握求由一个方程所确定的隐函数的求（偏）导方法；知道由方程组所确定的隐函数的存在定理，并知道如何求由方程组所确定的隐函数的（偏）导数。理解方向导数与梯度的概念，熟练掌握方向导数的计算公式；会求函数在某点的

17、方向导数的最大值和最小值。熟练掌握求由参数方程给出的空间曲线的切线方程和法平面方程；熟练掌握曲面上一点处的切平面方程和法线方程的求法。理解多元函数极值的概念，掌握二元函数极值的必要条件、充分条件，熟练掌握求二元函数的无条件极值的方法；熟练掌握用拉格朗日乘子法求多元函数条件极值的方法。（七）重积分基本内容：1、二重积分的概念、性质2、在直角坐标下计算二重积分、在极坐标下计算二重积分3、三重积分的定义与性质4、三重积分在直角坐标下、柱面坐标下的计算5、重积分的几何与物理上的应用基本要求理解二重积分概念；掌握二重积分的性质；熟练掌握二重积分在直角坐标下化为不同顺序的二次积分的计算方法，并能熟练地确定

18、积分限；掌握二重积分在极坐标下化为二次积分的方法；会将直角坐标下的二次积分和在极坐标下的二次积分互相转换。理解三重积分概念；熟练掌握应用坐标面投影法（先一后二）和坐标轴投影法（先二后一）计算三重积分的方法；熟练掌握利用柱面坐标计算三重积分的方法，并能熟练地确定其积分限。能熟练地应用二重积分计算空间曲面的面积；掌握用重积分计算平面薄板（平面图形）与物体（空间几何体）的重心坐标（形心坐标）的方法。（八）曲线积分与曲面积分基本内容：1、第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念与性质2、格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件、全微分方程的求解3、第一类曲面积分与第二类曲面积分的概念与性质4、高斯公式、通量

19、与散度基本要求：理解数量值函数的曲线积分（第一类曲线积分）的定义；知道第一类曲线积分的性质；熟练掌握平面上第一类曲线积分和由参数方程给出的空间曲线的第一类曲线积分的计算方法。掌握用第一类曲线积分计算曲线的弧长和曲线形构件的质量。理解数量值函数的曲面积分（第一类曲面积分）的定义，知道第一类曲面积分的性质；熟练掌握第一类曲面积分的计算方法；会用第一类曲面积分计算曲面的面积和曲面形构件的质量。理解向量值函数在定向曲线上积分（第二类曲线积分）的定义，熟练掌握平面上第二类曲线积分和由参数方程给出的空间曲线上第二类曲线积分的计算方法。理解平面单连通区域、复连通区域概念及平面区域的正向边界曲线的概念；掌握格

20、林公式成立的条件，熟练掌握应用格林公式计算第二类曲线积分（对不是封闭曲线的积分路径会通过添加一条直线段使其构成封闭曲线后再用格林分公式）。熟练掌握平面上第二类曲线积分与路径无关的充要条件，掌握是某一函数的全微分的条件与求积方法。了解向量值函数在定向曲面上的积分（第二类曲面积分）的定义和性质，熟练掌握第二类曲面积分的两种计算方法（分面投影法与合一投影法），了解两类曲面积分的联系。熟练掌握应用高斯公式将第二类曲面积分化为三重积分进行计算的方法，掌握不封闭曲面应用高斯公式计算第二类曲面积分的方法；知道高斯公式的物理意义；知道通量和散度的概念。（九）无穷级数基本内容：1、无穷级数的概念、级数收敛的定义

21、与性质2、常数项级数的概念3、正项级数的概念、性质；正项级数敛散性的判定方法4、交错级数的概念与交错级数收敛的判定方法5、绝对收敛与条件收敛6、幂级数的概念与性质；收敛半径、收敛区间7、幂级数和函数的性质与求法8、函数展开成幂级数9、富里埃级数、周期为2p函数的富里埃级数10、正弦级数与余弦级数基本要求：理解常数项无穷级数的概念及收敛、发散的定义，理解级数部分和的概念，知道级数余项的概念，知道用计算级数部分和极限的方法求一收敛级数的和；掌握收敛级数的必要条件，并会用收敛级数的必要条件判定一个级数是发散的，掌握收敛级数的基本性质。理解正项级数收敛的充要条件，熟练掌握p级数与几何级数（等比级数）的敛散性；熟练掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式和比值审敛法；介绍正项级数的根值审敛法。掌握交错级数审敛的莱布尼兹定理。理解绝对收敛和条件收敛的概念，掌握绝对收敛与条件收敛的关系；了解绝对收敛级数的运算性质，知道级数的柯西积。了解函数项级数的概念，理解幂级数及其收敛域、和函数、发散域的概念；深刻理解阿贝尔定理及其推论，能熟练计算幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域，掌握用幂级数的逐项积分与逐项求导公式计算一些简单幂级数的和函数。了解函数的泰勒级数的概念与函数可展开成泰勒级数的充要条件，熟练掌握利用、的幂级数展开式，并会利用这几个函数的展