《高等几何》课程教学大纲

1、高等几何课程教学大纲课程编号：20811010总学时数：48（理论48）总学分数：3课程性质：专业基础和专业课程适用专业：数学与应用数学一、课程的任务和基本要求：几何学是数学的一个重要分支。高等几何与高等代数，数学分析统称“三高”，是师范数学专业的重要的基础课。本课程按传统的讲法，在欧氏平面的基础上讲授一维和二维射影几何和仿射几何的基本内容，使学生对射影几何和仿射几何有初步的，直观的，具体的认识。为进一步充分运用代数知识学习抽象的高维射影几何理论做准备。另一方面掌握射影几何和仿射几何的理论和方法，对中学几何有直接的指导作用。使中学数学教师能居高临下，深入掌握中学数学内容，具备应有的水平和素质。

2、本课程总学时数为51学时，讲授与习题课学时数之比约为5:1。二、基本内容和要求：（一）仿射坐标与仿射变换1、透视仿射对应，仿射对应与仿射变换。2、仿射坐标系，仿射变换的代数表示，几种特殊的仿射变换。3、图形的仿射性质。要求：掌握仿射变换的定义、性质和解析表达式；知道几种特殊的仿射变换；理解图形的仿射性质，掌握单比的概念和坐标表示法。（二）射影平面1、欧氏平面的拓广：中心投影与无穷远元素的引进。2、射影直线与射影平面的概念。3、齐次点坐标，直线的齐次方程，齐次线坐标，在齐次坐标下，有关点与直线结合性的命题。4、德萨格定理，运用德萨格定理证明初等几何的有关命题。5、射影平面上的对偶原理，对偶命题，

3、对偶图形。要求：掌握射影平面、仿射平面的概念；掌握直线的坐标和点的方程的概念；掌握对偶原则的内容，能写出一个命题的对偶命题。理解德萨格定理，并会用它来推证某些“点共线”或“线共点”的问题。（三）射影变换与射影坐标1、共线四点和共点四线的交比，调和比，完全四点形与完全四线形的调和性。2、射影平面内的一维基本形，一维基本形间的透视对应，射影对应，一维基本形的射影变换，对合。3、一维二维射影坐标系，射影坐标与仿射坐标，笛氏坐标的关系。4、一维射影对应的代数表示。5、二维射影对应，二维射影对应的坐标表示。要求：掌握交比的定义、性质和求法；理解完全四点形的调和性；掌握一维基本形射影对应的定义、性质、代数

4、表示和确定条件，射影对应和透视对应的关系；掌握对合的定义；理解二维射影对应的定义；理解直线上和平面上射影坐标的建立方法。（四）二次曲线的射影理论。1、二阶曲线与二级曲线的概念，二次曲线的射影定义，二阶曲线与二级曲线的关系。2、帕斯卡定理与布利安桑定理及其特殊情形。3、二阶曲线的极点与极线，配极原则。4、二阶曲线的射影分类。要求：掌握二阶曲线和二级曲线的定义及它们的关系；掌握帕斯卡定理与布利安桑定理，并会运用它们解决某些证明或作图问题；掌握二次曲线极点、极线的定义、性质和求法；理解二次曲线的射影分类。（五）二次曲线的仿射性质和度量性质1、二次曲线与无穷远直线的相关位置。2、二次曲线的仿射性质，中

5、心，直径与共轭直径，渐近线。3、二次曲线的仿射分类4、圆点，迷向直线的定义与性质，拉盖尔定理及其推论。5、二次曲线的度量性质，主轴，顶点，焦点与准线。6、二次曲线的度量分类。要求：掌握中心、直径、共轭直径、渐近线的射影定义，并能运用定义或公式来求解问题；理解二次曲线的仿射分类；掌握圆点、迷向直线的定义、性质，拉盖尔定理及其推论；掌握二次曲线的主轴、焦点及其准线的射影定义。（六）变换群与几何学1、变换群的概念2、平面上的几个重要的变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群。3、射影，仿射和欧氏三种几何学的比较。要求：理解变换群的概念与几何学的群论观点；理解射影、仿射、欧氏三种几何间的关系及其各自的研

6、究对象。三、实践环节和要求：无四、教学时数分配：教学内容学时分配教学内容学时分配仿射坐标与仿射变换6学时二次曲线的射影理论10学时射影平面6学时二次曲线的仿射性质和度量性质10学时射影变换与射影坐标12学时变换群与几何学4学时合计48学时五、其它项目：无六、有关说明：1、教学和考核方式：本课程属考试课，考核方式为闭卷。笔试，闭卷。学生平时成绩占总成绩的百分之三十。2、习题：根据教学内容适当布置各章节后的习题,约占习题总量的50%左右。3、能力培养要求：加强自学能力的培养：强调预习，对某些教学内容指导学生阅读教材，教师仅作重点讲解，指导阅读参考书的某些章节。加强解题能力的培养，严格检查作业完成情况，结合教材内容，提出一些进一步思考解决的问题。4、与其它课程和教学环节的联系：先修课程和教学环节：高等代数、解析几何后续课程和教学环节：无