线性代数：第2章第5节 矩阵的秩

1、1老子语录 w人法地，地法天，天法道，道法自然。2 第五节第五节 矩阵的秩与初等变换矩阵的秩与初等变换 第二章3矩阵的秩 :, m nkAkk中行 列的交叉处 元素按原顺阶子矩阵序组成. : kk 阶子矩阵阶子式的行列式12121: 1kkiiimkkjjjn例取定 行 列11 11 22 12 2212 kkkkk ki ji ji ji ji ji ji ji ji jaaaaaakaaa阶子式为 4(1)：A 的每个元素的每个元素 都是都是 A 的一个一阶子式的一个一阶子式(2)：当：当 A 为为 n 阶方阵时，阶方阵时，n 阶子式即为阶子式即为 | A |注：注：5例如：例如：5000

2、43200101A一个3阶子式10500420001问：A共有多少个三阶子式？6 ()max: det0k krank AkA 0定义矩阵的秩是0.矩阵A的秩显然显然： r (A) min (m, n)若矩阵若矩阵 A 中至少有一个中至少有一个 k 阶子式不为阶子式不为0，而所有而所有 k+1 阶子式全为阶子式全为0，则，则 r ( A ) = k。7例如：例如：中有一个三阶子式500043200101A010500420001故：故：r(A) = 38注：注：(3) 非奇异矩阵非奇异矩阵A，有，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶的秩就等于它的阶数，数，A又称为满秩矩阵。又称为满秩矩阵。(

3、2) 奇异矩阵奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。，也称为降秩矩阵。(1): 矩阵矩阵A的不为的不为0的子式的最高阶数称的子式的最高阶数称为矩阵为矩阵A的的秩秩，记为，记为r (A)。9矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义10对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换(1) 互换两行互换两行 ( 记作记作 ri rj );(2) 以数以数 0 乘以某一行乘以某一行 ( 记作记作 ri );(3) 将第将第 j 行各元素乘以数行各元素乘以数 后加到第后加到第 i 行行的对应元的对应元素上去素上去 (记作记作 ri + rj )相应地，矩阵的三种初等列变换初等列变

4、换的记号只需将 r 换成换成 c。10性质性质1 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变。对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变。例：例：.34333230126624202121 的秩求矩阵A解：解：34333230126624202121A122rr 021216200021230132rr 32690143rr 11阶梯形阶梯形r ( A ) = 332690212306200002121A32rr 0212162000212303269034rr 6200032690233rr 21230021213100062000342rr 310002123002121000001001302213012

5、(1) (2) ,; ,; (3)定义： 阶梯形矩阵若有零行 则零行在非零行的后面若有零列 则零列在非零列的后面后一行的第一个非零元素在前一行的 第一个非零元素之后。13 课堂练习： 判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵。51 034 502 72 0 200042 000000 0A5102000272100414024B14(0)2 AA 定理矩阵阶梯形矩阵.111121211111, : 000 00jjnjnm jm nAaaaaaaa证明等价于行初等变换15(1) (2) (3)(4) ( )( ) ABrank Arank BAAABBAABACBC问：所有问：所有n阶矩阵按上面得等价关系

6、阶矩阵按上面得等价关系（秩相等即为同一类）可分为多少类？（秩相等即为同一类）可分为多少类？若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换成为矩阵经过有限次初等变换成为矩阵B则称矩阵则称矩阵A与与B等价等价16()()()() (0)rr n rm rrm rn rE0A00A 行经初等变变列换经初等换矩阵 ( ),.m nrrank ArA右端是秩为 的的等价标准形推论117A00000001000001000001A的标准形标准形000003010022130012210000030100*030*0210000030100*030*001000000010000030000010000031000212

7、300212143cc 100010001rE0000000000000018注：若注：若A 为为 n 阶满秩方阵，阶满秩方阵， 则其标准形为则其标准形为 n 阶单位阵阶单位阵E。1920初等矩阵初等矩阵定义定义11由单位矩阵由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。.三 种 初 等 变 换 对 应 三 种 初 等 矩 阵211 0 1 ( ,) 1 0 1ijA i j 第 行 第 行 ,:Ei j(1) 交换的第两行(列)22(2) (0)()k kEi数乘于的第 行 列( )1() 1kkiE i 第 行23(3) kEjEi数 乘于

8、的第 行加到 的第 行1 1 ( ) 1 1(, )kkEiijj 第 行第 行(ikj第 列 乘 于 数加 到 第 列 )24初等矩阵都是可逆矩阵其逆矩阵也是初等矩阵1( ,)( ,)()i ji jEE11( )()()kii kEE1( ),(),()()()kkE jiE ji25性质性质对对A施行一次施行一次初等行变换初等行变换，相当于在，相当于在A的的左侧乘以左侧乘以一个相应的初等矩阵一个相应的初等矩阵；对对A施行一次施行一次初等列变换初等列变换，相当于在，相当于在A的的右侧乘以右侧乘以一个相应的初等矩阵一个相应的初等矩阵；例如：例如：34333231242322211413121

9、1aaaaaaaaaaaaA设设A是一个是一个 m n 矩阵矩阵26(1)Ar1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaP(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa27(2)Ac3 c4333432312324222113141211aaaaaaaaaaaaA P(3, 4) 0100100000100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa3334323123242221131412

10、11aaaaaaaaaaaa2812 .isAPP PP A定理：，使得是阶梯形矩阵1212 0 00iirtsAPQEPPP AQ QQ定理：，和使得 (1,2, ) (1,2, ) m niirmiQinAPst秩为阶：任意矩阵：初等矩阵：阶初等矩阵29定理 (1)n nA是可逆矩阵(2) () rank An(3) det0 A (4) A可表示为有限个初等矩阵 的乘积证明证明: (1)(2) (2)(3) (2)(4) (4)(1)301212 0 00rtsAEP PP AQ QQ 可 逆 初等矩阵可逆左端矩阵可逆 右端不可能有零行向量 ( )rank An 定理2证 (1) (2)

11、311212 tnsP PP AQ QQE1111112121 stAPPPQQQ 又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵 A可 表 示 为 初 等 矩 阵 的 乘 积 ()rank An证明 (2)(4)32 , , m nm mAPPA定理可逆矩阵为阶梯形矩阵 m nm nm mn nABPQPAQB 和等价两个可定理逆矩阵和() 0 00 m mn nrrank ArCCEC AC 两可逆矩阵和33逆矩阵的实用算法1111112211 stAPP P QQ Q可逆矩阵12121 tsAQ QQ P PP11212 ( )( )tsQ QQ PPPAEEA1( )( )AEEA 初等行变换1 .A变

12、换过程出现零行向量不存在34设,343122321A求 A1.解：100343010122001321)(EAr22r1r33r110362001252000132135103620012520001321111100012520011201111100563020231001r1 2r3r2 5r31111002/532/3010231001)21(2r) 1(3rr1 + r2r3 r236故1112/532/32311A371 11 11 12 21 11 11 12 20 0A A阵A的逆矩阵阵A的逆矩阵用初等行变换求可逆矩用初等行变换求可逆矩100111010211001120,EA

13、 10011100112001021121rr38 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr110100212121010010211212r391102121212523211A1101002121210102523210013212rrr40对对 A 也可通过初等列变换求也可通过初等列变换求 A1EA初等列变换初等列变换 1AEA = P1 P2 Pm注：注：表示为：表示为：11121PPPmEAEA111121PPPm41对于n元线性方程组AX = B则则XA1B|A| 0，即，即A1存在存在若若(1). 解线性方程组解线性方程组42x1

14、 + 2 x2 + 3 x3 = 12 x1 + 2 x2 + x3 = 13 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3解：解：方程组简记为,343122321A,311B,321xxxXX = A 1 B由于 | A | = 2 0, A可逆，故A X = B其中43而,111253232311A321xxxXBA111125323231311398即 x1= 8, x2= 9, x3= 3.44315241213124021X解：解：矩阵方程简记为 A X = B31524121312402111BA 0 A1存在45315241 6521211245171356

15、371661517146AX + E = A2 + X其中,101020101AE 为三阶单位矩阵.解：解：由 AX + E = A2 + X,即 ( A E ) X = ( A E )( A + E ).得 AX X = A2 E,001010100 EA而所以 A E 可逆可逆.47故 X = A + E100010001101020101201030102( A E ) X = ( A E )( A + E )所以 (AE)1( A E ) X = (AE)1( A E )( A + E ).48(1) 若若 A X = A Y X = Y(2) 若若 A B =O B = O证：A1 ( A X ) = A1 ( A Y )( A1 A ) X = ( A1 A ) YEX = EYX = Y(1)A X = A Y由所以(2) 由 AB =O，有A1 (AB) = A1 O所以 B =O( A1 A ) B = O49 ()min( ),( )m nn pABrank ABrank A rank B和 det()det( ) det( )n nn nABABAB和1(1) ,n nn nABEABAB和 都可逆11(2) det()det( )AAA可逆定理定理推论50课堂练习：课堂练习：(1) | A | = n |