微积分课件：6-2 洛必塔法则

1、 6.2 洛必达法则洛必达法则 1小结小结 思考题思考题 作业作业型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1 ,0 6.2 洛必达法则洛必达法则洛必达洛必达 (LHospital) 法国数学家法国数学家(1661-1705)型型未未定定式式型型 ,00第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 6.2 洛必达法则洛必达法则 2,)(时时或或如如果果当当 xax其极限都不能直接利用极限运算法则来求其极限都不能直接利用极限运算法则来求.在第在第2.4节看到节看到,之商之商,)()(lim)(xFxfxax 那末极限那末极限00 型未定式型未定式.或或如如, ,xxxtanli

2、m0bxaxxsinlnsinlnlim0)00()( 意味着关于它的极限不能确定出一般的意味着关于它的极限不能确定出一般的 未定未定 不能确定不能确定.而并不是在确定的情况下关于它的极限而并不是在确定的情况下关于它的极限结论结论,两个无穷小之商或两个无穷大两个无穷小之商或两个无穷大两个函数两个函数f (x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,称为称为 6.2 洛必达法则洛必达法则 3 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将此方法的关键是将)()(lim)(xFxfxax 的计算问题转化为的计算问题转化为)()(lim)(

3、xFxfxax 的计算的计算. 其基本思想是由微积分著名其基本思想是由微积分著名先驱先驱, 从而产生了简从而产生了简洛必达法则洛必达法则. .后人对他的思想作了推广后人对他的思想作了推广,提出的提出的,17世纪的法国数学家世纪的法国数学家洛必达洛必达 (LHospital) 便而重要的便而重要的 6.2 洛必达法则洛必达法则 4定理定理6.2型型未未定定式式型型一一、 ,00);()()(lim)3( 或或AxFxfax),(0)(lim)1( 或或xfax);(0)(lim 或或xFax; 0)( xF且且 )()(limxFxfax).()()(lim 或或AxFxfax 设函数设函数 f

4、 (x)及及F(x)满足条件满足条件: (2) f (x), F(x)在点在点a的邻域内可导的邻域内可导(点点a处可除外处可除外),则则 6.2 洛必达法则洛必达法则 5证证. 0)()( aFaf, 0)(lim)1( xfax; 0)(lim xFax则由条件则由条件(1),必有必有, 0)(lim xFax. 0)()( aFaf.)(),(点点连连续续在在使使axxFxf , 0)(lim xfax由于由于可补充定义可补充定义).(axaxa 不不妨妨设设 )00(型给出证明型给出证明仅对仅对. 0)( xF且且若若 f (x), F(x)在点在点a连续连续,若若 f (x), F(x

5、)在点在点a不连续不连续,任取点任取点x, f (x), F(x)满足满足: 1) 在在a, x上连续上连续;2) 在在(a, x)内可导内可导,; 0)( xF且且 (2) f (x), F(x)在点在点a的邻域内可导的邻域内可导(点点a处可除外处可除外), 6.2 洛必达法则洛必达法则 6 )()(xFxf)()( Ff )(之间之间与与在在ax ,时时当当ax AxFxfax )()(lim)3( )()(limxFxfax 柯西定理柯西定理使使内内至至少少存存在在点点在在,),( xa )()(limxFxfax)()(xFxf, a )()(lim Ffa .A)(aF )(af 所

6、以所以 6.2 洛必达法则洛必达法则 7注注 00)()(lim)1(xFxfax(多次用法则多次用法则), 0, 0)2( axax 00)()(limxFxfax 00)()(limxFxfax再求极限来确定未定式的值的方法称为再求极限来确定未定式的值的方法称为这种在一定条件下这种在一定条件下通过分子分母分别求导通过分子分母分别求导法则成立法则成立.洛必达洛必达法则法则. . 6.2 洛必达法则洛必达法则 8例例解解.2coslim2 xxx求求)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx . 1 )00(2sin 6.2 洛必达法则洛必达法则 9例例.)(arcsin1s

7、inelim20 xxxx 求求)00(解解)0(arcsinxxx1sinelim0 xxx原式原式xxxx2coselim0 )00()00(2sinelim0 xxx .21 洛必达法则洛必达法则2x因为因为 6.2 洛必达法则洛必达法则 10定理定理6.3);(0)(lim),(0)(lim)1( 或或或或xFxfxx).()()(lim)()(lim 或为或为AxFxfxFxfxx; 0)(,)()(,)2( xFxFxfNx且且可导可导和和时时当当);()()(lim)3( 或为或为AxFxfx则则证证,1zx 令令)()(limxFxfx zFzfz11lim0 x则则, 0z等

8、价于等价于用定理用定理6.2 2201111limzzFzzfz设设有有 6.2 洛必达法则洛必达法则 11)()(limxFxfx ),( x对对注注定理定理6.3仍仍成立成立; zFzfz11lim0.A 例例解解.1sinarctan2limxxx 求求 原式原式)00(. 1 22111limxxx xxx1arctan2lim 6.2 洛必达法则洛必达法则 12解解.3tantanlim2xxx求求xxxxx3sincos3cossinlim2 原式原式. 3 )( )00( xxxcos3coslim2先化简先化简xxxsin3sin3lim2 6.2 洛必达法则洛必达法则 13例

9、例):(lnlim正正整整数数nxxnx 解解)( 11lim nxnxx原式原式nxnx1lim . 0 注注., 0 极极限限式式子子仍仍成成立立换换成成 n例例)0,:(elim 正整数正整数nxxnx)( 解解xnxnx elim1 原式原式xnxxnn e)1(lim22 )( )( n次次 xnxn e!lim. 0.ln,e,xxxnx .lne:xxnx 有有 6.2 洛必达法则洛必达法则 14 )cos(sin21lim323xxxxxxx解解0考研数学考研数学(三三,四四)填空填空4分分定理定理2.152.15 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

10、 .021lim323 xxxxx2|cossin| xx.ln,e,xxxnx .lne:xxnx 有有 6.2 洛必达法则洛必达法则 15例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.注注用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时,不能断定函数不能断定函数其一其一,这时不能使用洛必达法则这时不能使用洛必达法则.)( 比的极限不存在比的极限不存在,)()(l

11、im)(0 xFxfxxx 不存在不存在)(型型非非 )()(lim)(0 xFxfxxx 不存在不存在. 6.2 洛必达法则洛必达法则 16可能永远得不到结果可能永远得不到结果! 分子分子, 分母有单项无理式时分母有单项无理式时, 不能简化不能简化.如如xxx21lim 1122lim2xxx )( 21limxxx 211limxxx )( xxx21lim 其实其实: . 11lim2 xxx杜波塔托夫的一个著名例子杜波塔托夫的一个著名例子.其二其二用法则求极限有两方面的局限性用法则求极限有两方面的局限性 6.2 洛必达法则洛必达法则 17用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项

12、,00)1(的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或才可能用法则才可能用法则,则可一直用下去则可一直用下去;(3) 每用完一次法则每用完一次法则, 要将式子整理化简要将式子整理化简;(4) 为简化运算经常将法则与为简化运算经常将法则与等价无穷小等价无穷小及极限及极限(2) 在用法则之前在用法则之前, 式子是否能先化简式子是否能先化简;只要是只要是的其它性质结合使用的其它性质结合使用.(5),时时当当 x极限式中含有极限式中含有,cos,sinxx不能用不能用法则法则;,0时时当当 x极限式中含有极限式中含有,1cos,1sinxx不能用不能用法则法则. 6.2 洛必达法则洛必达法则 18例例

13、解解 xxxxxcos23sin31lim)( 原式原式分子分母分子分母同除以同除以 x.31.cos23sin3limxxxxx 求求 6.2 洛必达法则洛必达法则 19考研数学考研数学(二二), 解答题解答题, 9分分解解xxxxx40sin)tan1ln()cos1(lim .41 洛洛洛洛求极限求极限xxxxx40sin)tan1ln()cos1(lim 420)tan1ln(2limxxxxx 202)tan1ln(limxxxx xxxx4tan1sec1lim20 )tan1(4sectan1lim20 xxxxx xxxx4sectan1lim20 4tansec2seclim

14、220 xxxx 6.2 洛必达法则洛必达法则 2009年考研数学年考研数学(三三), 填空题填空题, 4分分解解 11eelim32cos0 xxx3eelim2cos0 xxx )0(111 xxnxn11eelim32cos0 xxx3)ee(1lim21cos0 xxx 21cos0e1lime3xxx 201coslime3xxx 2202lime3xxx .2e3 2e3 6.2 洛必达法则洛必达法则 21考研数学考研数学(一、二、三一、二、三), 选择题选择题, 4分分是等价无穷小是等价无穷小, 则则)1ln()(sin)(,02bxxxgaxxxfx 与与时时当当.61, 1)

15、A( ba.61, 1)B( ba.61, 1)C( ba.61, 1)D( ba解解)()(lim0 xgxfx1 )1ln(sinlim20bxxaxxx )(sinlim20bxxaxxx 203cos1limbxaxax bxaxax6sinlim20 bxaxax6lim20 ba63 洛洛洛洛1 a 6.2 洛必达法则洛必达法则 22考研数学考研数学(二二)10分分解解 原式原式求极限求极限 法一法一0limx3x1e)3cos2ln( xx303cos2lnlimxxxx 203cos2lnlimxxx 203ln)cos2ln(limxxx xxxx2)sin(cos21lim

16、0 xxxxsincos21lim210 .61 0 xxx1e )00()00(用法则用法则.13cos21lim30 xxxx 6.2 洛必达法则洛必达法则 23解解 原式原式求极限求极限 法二法二0limx3x1e)3cos2ln( xx303cos2lnlimxxxx 203cos2lnlimxxx 20)31cos1ln(limxxx 2031coslimxxx .61 0 xxx1e 0 xxx )ln(1 0 x2cos12xx )00(考研数学考研数学(二二)10分分.13cos21lim30 xxxx 6.2 洛必达法则洛必达法则 24xxxxfsin)(3 函数函数解解.

17、1, 03,2, 1 x )(limxf考研数学二、三考研数学二、三(选择选择4分分). 1)A(. 2)B(. 3)C(.)D(无穷多个无穷多个xxxxsinlim30 1 0 x的可去间断点的个数为的可去间断点的个数为当当x取任何整数时取任何整数时, f (x)均无意义均无意义.故故 f (x)的间断点有无穷多个的间断点有无穷多个, 但可去间断点为但可去间断点为极限极限存在的点存在的点,故应是故应是03 xx的解的解, 01 xxxxcos31lim20 洛洛, 12 x )(limxf1x洛洛xxxxsinlim31 xxxcos31lim21 2 , 13 x )(limxf1 xxx

18、xxsinlim31 xxxcos31lim21 洛洛2 6.2 洛必达法则洛必达法则 25型未定式型未定式二、二、 ,0例例解解.elim2xxx 求求)0( xxx2elim 2elimxx . ,00. 型型 0. 1)( )( 关键关键将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型2elimxxx 原式原式 6.2 洛必达法则洛必达法则 26例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( xxxxxsinsinlim0 原式原式20sinlimxxxx . 0 型型 . 2)00()00(xxx2cos1lim0 xxx22lim20 6.2

19、洛必达法则洛必达法则 27考研数学考研数学(三三, 四四)8分分解解 原式原式求求.23 )00()( )00(用法则用法则用法则用法则)00(0 xxx1e .1e11lim0 xxxx)e1(e1lim20 xxxxxx 220e1limxxxxx xxxx2e21lim0 2e2lim0 xx 6.2 洛必达法则洛必达法则 28例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e 2011limxxx )0( )( 0limx00,1 ,0 三、三、型未定式型未定式xxxlnlim0 xxx1lnlim0 xxlne 6.2 洛必达法则洛必达法则 29例例解解)(c

20、otlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .e1 xln1 原式原式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e )( )ln(cotln1xx exxln)ln(cote注注或写成或写成.lncotlnexp xx其中其中expx是指数函数是指数函数xe的一种表示方式的一种表示方式.exponente 6.2 洛必达法则洛必达法则 30例例解解)1( 原式原式 xxx1cos2sinlim求求x xxx1cos2sinlne xlim)0( xlime xxx1cos2sinlnxt1 令令limttt)cos2ln(sin )00(0te 0limttttt

21、cos2sinsin2cos2 .e2 考研数学一考研数学一, 5分分还有别的方法吗还有别的方法吗?e11lim xxxe 6.2 洛必达法则洛必达法则 31 naaaxnxxx210lim求求naaa,21其中其中均为正数均为正数.)1( 解解x1 原式原式exnaaaxnxxx 210lnlim)00(e 0limx1lnlnln21naaan e naaa21n 法一法一1xnxxnxnxxaaaaaaaaa 212211lnlnln 6.2 洛必达法则洛必达法则 32解解 原式原式 nnaaaxnxxx2101limx1xnnaaaxnxxx1lim210 )00(naaaanxnxx

22、lnlnlim110 naaan21ln naaa21ln n 原式原式naaa21n 法二法二 naaaxnxxx210lim求求x1naaa,21其其中中均为正数均为正数.)1( e1lim10 xxx 6.2 洛必达法则洛必达法则 33考研数学考研数学(一一), 12分分设数列设数列xn满足满足)., 2 , 1(sin,011 nxxxnn()()证明证明nnx lim存在存在, 并求该极限并求该极限;计算计算.lim211nxnnnxx 解解 () 用归纳法证明用归纳法证明xn单调下降且有下界单调下降且有下界.;sin0112 xxx设设,0 nx则则;sin01 nnnxxx所以所

23、以xn单调下降且有下界单调下降且有下界,.lim存在存在故故nnx ,limnnxa 记记,sin1nnxx 由由得得,sinaa 所以所以, 0 a即即. 0lim nnx 6.2 洛必达法则洛必达法则 34() 计算计算.lim211nxnnnxx 因为因为 210sinlimxxxx xxxxsinln102elim 302sincoslimexxxxxxxxxsinln1lim20e20lnsinlnlimexxxx )1sincos(21lim0exxxxx 00 206sinlimexxxx.e61 又由又由(), 0lim nnx所以所以 211limnxnnnxx 21sinlimnxnnnxx 210sinlimxxxx.e61 ), 2 , 1(sin,011 nxxxnn 6.2 洛必达法则洛必达法则 35例例解解.elim2nnn 求求数列数列的极限的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!由于由于xx2elim )0( xxx2elim )( xx2e21lim 0 n又又是是x中的一种中的一种特殊情况特殊情况,所以有所以有nnn2elim . 0 不能用洛必达法则不能用洛必达法则!x 6