2019宝山区高三数学二模

1、宝山区2018学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分） 考生注意：1本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 2所有作答务必书写在答题纸上与题号对应的区域上，不得错位.在试题上作答一律不得分； 3答题前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。1.已知为虚数单位，则集合中元素的个数为_.2.圆的半径_.3.过点，且开口向左的抛物线的标准方程是_ .4.设，且，其中为虚数单位，则_.5.在的展开式中，的系数为_.（结果用数值

2、表示）6.在平面直角坐标系中，已知点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_.7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是_.8.方程的解集为_.第9题9.如图，扇形的半径为1，圆心角为，若为弧上异于，的点，且交于点，当的面积大于时，的大小范围为_.10.一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，随机摸出两个球，则两个球编号之和大于9的概率是_（结果用分数表示）.11.已知无穷等比数列各项的和为，且，若，则的最小值为_.12.在线段的两端点各置一个光源，已知光源的发光强度之比为，则该线段上光照度最小的一点到的距离之比为_.（光学定律：点的光照度与到光

3、源距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比。）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.用数学归纳法证明对任意，（）的自然数都成立，则的最小值为（ ）（A）. （B）. （C）. （D）.14.设点，均非原点，则“能表示成和的线性组合”是“方程组有唯一解”的（ ）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.（C）充要条件.（D）既不充分也不必要条件.15.已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支有两个交点，则（ ）（A）. （B）. （C）. （D）.16.设向量，其中，则下列判断错误

4、的是（ ）（A）向量与轴正方向的夹角为定值（与之值无关）.（B）的最大值为.（C）与夹角的最大值为.（D）的最大值为.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点在圆柱的底面圆上，圆的直径，圆柱的高。（1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积；（2）求点到平面的距离。第17题18（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知。（1）若，求的取值范围；（2）设的三边分别是，周长为1，若，求面积的最大值.19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）对年利率为

5、的连续复利，要在年后达到本利和，则现在投资值为，是自然对数的底数.如果项目的投资年利率为的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?（精确到1年）20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）第20题已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）。（1）当面积最大时，求椭圆的方程；（2）当时，若是线段的中点，求直线的方程；（3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由。21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数。（1）求在上的限制函数的解析式；（2）证明：如果在区间上恒为