专题几何最值问题含详细答案

1、专题10 几何最值问题【十二个基本问题】1如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A B11cm C13cm D17cm第1题 第2题 第3题 第4题2已知圆锥的底面半径为r20cm,高h，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为_3如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为（）A2B2.2C2.4D2.54如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BMMN

2、的最小值为（）A10B8C5D65如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角处（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB4,BC5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长（3）在（2）的条件下，求点到最短路径的距离6如图，已知P为AOB内任意一点，且AOB30°，点、分别在OA、OB上，求作点、使的周长最小，连接OP，若OP10cm，求的周长7如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_ 第7题 第8题 第9题8如图

3、，在等腰RtABC中,BAC90°,ABAC,BC点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 9如图，O的半径为1，弦AB1，点P为优弧上一动点,ACAP交直线PB于点C，则ABC的最大面积是（）A B C D10如图，已知抛物线y与一直线相交于A(1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式；(2)设点M(3，m)，求使MNMD的值最小时m的值；(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能

4、，求点E的坐标；若不能，请说明理由；(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值11如图，抛物线l交x轴于点A(3，0)、B(1，0)，交y轴于点C(0，3)将抛物线l沿y轴翻折得抛物线(1)求的解析式；(2)在的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径12(2016朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小【特例】如图1，点P为等边ABC的中心，将ACP绕

5、点A逆时针旋转60°得到ADE,从而有DEPC，连接PD得到PDPA，同时APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四点共线，故PAPBPCPDPBDEBE在ABC中，另取一点P，易知点P与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P、D、E四点不共线，所以PAPBPCPAPBPC,即点P到三个顶点距离之和最小13问题提出（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）问题探究（2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3

6、，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE长的最大值问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=60°，BC=4，若对角线BDCD于点D，请直接写出对角线AC的最大值14如图所示，已知抛物线ya(x3)(x1)(a0)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点

7、A的直线y与抛物线的另一个交点为D(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？答案1平面展开最短路径问题解：如图所示：长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cmPA424212(cm),QA5cm,PQ13cm故选：C2解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E

8、,r20cm,h由勾股定理可得母线l80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20n90°即EAA是等腰直角三角形，由勾股定理得：AA'答：蚂蚁爬行的最短距离为故答案为：3解：连接AP,在ABC中，AB3,AC4,BC5，即BAC90°又PEAB于E,PFAC于F，四边形AEPF是矩形，EFAP，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4,EF的最小值为2.4,故答案为：2.44解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，ACAC边上的高为所以BEABCEFB,即EF8故选：B5解：（1）如图，木柜的表

9、面展开图是矩形或故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形爬过的路径的长蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是故最短路径的长是（3）作于E，是公共角，即则为所求6解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，分别交OA、OB于点、连接OM、ON、此时的周长最小的周长MN，M、N分别是P关于OA、OB的对称点，MOAAOP,NOBPONO，MONMOAAOPNOBBOP2AOB,AOB30°,MON2×30°60°,OMN是等边三角形，又的周长MN，MNP的周长MNMOPO10cm7解：

10、在正方形ABCD中,ABADCD,BADCDA,ADGCDG,在ABE和DCF中,ABEDCF(SAS),12,在ADG和CDG中,ADGCDG(SAS),23,13,BAH3BAD90°,1BAH90°,AHB180°90°90°,取AB的中点O,连接OH、OD,则OHAO1,在RtAOD中,OD根据三角形的三边关系,OHDHOD,当O、D、H三点共线时,DH的长度最小,最小值ODOH(解法二：可以理解为点H是在RtAHB,AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时,DH长度最小)故答案为：8 解：连结AE，如图1，BAC90°,A

11、BAC,BCABAC4，AD为直径，AED90°,AEB90°,点E在以AB为直径的O上，O的半径为2，当点O、E、C共线时，CE最小，如图2,在RtAOC中，OA2,AC4，OCCEOCOE即线段CE长度的最小值为故答案为9解：连结OA、OB，作ABC的外接圆D，如图1，OAOB1,AB1，OAB为等边三角形，AOB60°,APB30°,ACAP,C60°,AB1，要使ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，ACB60°,点C在D上，ADB120°,如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时ABC为等边三

12、角形，且面积为ABC的最大面积为故选：D10 解：(1)由抛物线y过点A(1,0)及C(2,3)得,解得 ,故抛物线为y又设直线为ykxn过点A(1,0)及C(2,3)得,解得 故直线AC为yx1;(2)如图1,作N点关于直线x3的对称点N,则N(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN的函数关系式为y当M(3,m)在直线DN上时,MNMD的值最小,则m(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),点E在直线AC上,设E(x,x1),如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x3),F在抛物线上,x3解得,x0或x1(舍去)E(0,1);当点E在线段AC(或CA)延长线

13、上时,点F在点E下方,则F(x,x1)由F在抛物线上x1解得x或x或综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、或(4)方法一：如图3,过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G,设Q(x,x1),则PQ又面积的最大值为方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G,如图3,设Q(x,x1),则又S_(APH)S_(直角梯形PHGC)S_(AGC)APC的面积的最大值为11解：(1)如图1所示,设经翻折后,点A、B的对应点分别为、依题意,由翻折变换的性质可知点坐标不变,因此,抛物线经过三点,设抛物线的解析式为y则有：,解得a1,b2,c3,故抛物

14、线的解析式为：y(2)抛物线的对称轴为：x1,如图2所示,连接并延长,与对称轴x1交于点P,则点P即为所求此时设P为对称轴x1上不同于点P的任意一点,则有：|PB_(1)PC|B_(1)C(三角形两边之差小于第三边),故即最大设直线的解析式为ykxb,则有：,解得kb3,故直线的解析式为：y3x3令x1,得y6,故P(1,6)(3)依题意画出图形,如图3所示,有两种情况当圆位于x轴上方时,设圆心为D,半径为r,由抛物线及圆的对称性可知,点D位于对称轴x1上,则D(1,r),F(1r,r)点F(1r,r)在抛物线y上,r化简得：0解得 ( gh(17)1)/(2)(舍去),此圆的半径为当圆位于x

15、轴下方时,同理可求得圆的半径为综上所述,此圆的半径为或12解：（1）如图1，将ACP绕点A逆时针旋转60°得到ADE,PAD60°,PACDAE,PADA、PCDE、APCADE120°,APD为等边三角形，PAPD,APDADP60°,APBAPD120°60°180°,ADPADE180°,即B、P、D、E四点共线，PAPBPCPDPBDEBEPAPBPC的值最小（2）方法一：如图2，分别以AB、BC为边在ABC外作等边三角形，连接CD、AE交于点P，ABDB、BEBC8、ABDEBC60°,ABED

16、BC,在ABE和DBC中， ，ABEDBC(SAS),CDAE、BAEBDC,又AOPBOD,APOOBD60°,在DO上截取DQAP，连接BQ，在ABP和DBQ中， ，ABPDBQ(SAS), BPBQ,PBAQBD,又QBDQBA60°,PBAQBA60°,即PBQ60°,PBQ为等边三角形，PBPQ，则PAPBPCDQPQPCCDAE，在RtACE中，AC6、CE8，AECD10，故点P到三个顶点的距离之和的最小值为10方法二：如图3，由（2）知，当APBAPCBPC120°时,APBPPC的值最小，把CPB绕点C逆时针旋转60°

17、;得CPB,由（2）知A、P、P、B共线，且APBPPCAB,PCBPCB,PCBPCAPCBPCA30°,ACB90°,AB1013解：（1）点A为线段BC外一动点，且BCa,ABb，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BCABab,故答案为：CB的延长线上,ab;（2）CDBE，理由：ABD与ACE是等边三角形，ADAB,ACAE,BADCAE60°,BADBACCAEBAC,即CADEAB,在CAD与EAB中，CADEAB(SAS),CDBE；线段BE长的最大值线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延

18、长线上，最大值为BDBCABBC369；（3）如图1，连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90°得到PBN,连接AN，则APN是等腰直角三角形,PNPA2,BNAM，A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),OA2,OB5，AB3，线段AM长的最大值线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值ABAN,AN最大值为如图2，过P作PEx轴于E，APN是等腰直角三角形，PEAEOEBOABAE（4）如图4中，以BC为边作等边三角形BCM,ABDCBM60°,ABCDBM,ABDB,BCBM，ABCDBM,ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC定值,BDC90°,点D在以BC为直径的O上运动，由图象可知，当点D在BC上方,DMBC时，DM的值最大，最大值AC的最大值为14解：(1)ya(x3)(x1),点A的坐标为(3,0)、点B两的坐标为(1,0),直线y经过点A,by当x2时,y则点D的坐标为点D在抛物线上,a(23)(21)解得,a则抛物线的解析式为y(2)如图1中,作PHx轴于H,设点 P坐标(m,n),当BPAABC时,BACPBA,tanBAC