函数定义域值域求法(全十一种)

1、高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。求函数y,x2 一 2x -15|x 3| -8的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足x2-2x-15X0Jx+3 |-8式0由解得 x乞-3或x _5。由解得 x=5或x = _11和求交集得x 3且x = -11或x5。故所求函数的定义域为 x | x _ -3且x = -11 x | x . 5。例2 求函数y = Jsinx十 1的定义域。*16 -x2解：要使函数有意义，则必须满足sinx Z0J6-x2 0由解得2

2、k-： _x _ 2k二，k三Z 由解得一4 : x : 4由和求公共部分，得-4 : x _ -二或0 ： x _ 二故函数的定义域为(4 -二(0,二评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1) 已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域。(2) 其解法是：已知f (x)的定义域是a, b求fg(x)的定义域是解ag(x)Mb , 即为所求的定义域。例3已知f(x)的定义域为2, 2,求f(x2 -1)的定义域。解：令 一2岂x2 -1岂2，得一1岂x2

3、岂3，即0岂x2岂3，因此0乞|x匚、3，从而-、3 _ x _ 3，故函数的定义域是x | -、3 _ x _ 3。(2)已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知fg(x)的定义域是a, b,求f(x)定义域的方法是：由 axb，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4已知f(2x - 1)的定义域为1 , 2,求f(x)的定义域。解：因为 1 _ x _2,2 _ 2x _ 4 ,3 _ 2x 1 _ 5。即函数f(x)的定义域是x 13 x - 5。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒

4、成立问题来解决。例5 已知函数y二.mx2 -6mx m 8的定义域为 R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为 R,表明mx2-6mx 8 m 一 0，使一切x R都成立，由x2项的系数是m,所以应分 m=0或m=0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为 R;当m =0时，mx -6mx m8_0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件 是m 0 2Q=(-6m) 4m(m+8)兰0=0 ： m _ 1 综上可知0乞m岂1。评注：不少学生容易忽略 m=0的情况，希望通过此例解决问题。kx + 7例6已知函数f(x) 2的定义域是R，求实数k的取值范围。kx2 +4kx +3解：要使

5、函数有意义，则必须kx2 4kx 3 0恒成立，因为f(x)的定义域为 R,即kx2 4kx 3=0无实数3 当 & 0时，丄=16k2 -4 3k :：: 0恒成立，解得0 ： k ：4 当k=0时，方程左边=3工0恒成立。3综上k的取值范围是0乞k ：。4四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。1解：设矩形一边为 x，则另一边长为 -(a-2x)于是可得矩形面积。21ax2-x22*1=xax。2由问题的实际意义，知函数的定义域应满

6、足x 0；0c a二 0 :：x ：21 a故所求函数的解析式为 y = -x2ax，定义域为(0,)。2 22x,例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y与x的函数关系式，并求定义域。B解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。L - 2x -二 x2故 y =2x L -2xX22二 X2cCl _AR _CD因为 CD=AB=2x，所以 CD 二-x ,所以 AD 二 L2-(2)x2Lx2根据实际问题的意义知2x 0L 2x nx 20 : x :l故函数的解析式为y = -(2)x2 Lx，定义域

7、(0,)。2兀+ 2五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知f(x)的定义域为0, 1,求函数F(x) =f(x - a) f(x -a)的定义域。解：因为f(x)的定义域为0, 1,即0Wx兰1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组 的解集：0Ex+aE1 由一a 兰xE1a丿，即丿0 兰xaE1a 兰xE1+a即两个区间a, 1-a与a, 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知1(1 )当a空0时，F (x)的定义域为x | -a乞x叮 a；1(2) 当0a 时，F (x)的定义域为x|ax乞1 -a；11(3) 当a或a时，上述两区间的交集为空集，此时F (

8、x)不能构成函数。22六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10求函数y = log 2(-x2 2x 3)的单调区间。解：由-x2 2x 3 0，即x2 -2x - 3 ： 0，解得-1 ： x : 3。即函数y的定义域为 (一 1, 3)。函数 y =log2(-x2 2x - 3)是由函数 y = log21, t - -x2 2x 3 复合而成的。2 2-x2 2x-(x -1)2 4，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(-：上是增

9、函数；在区间1, :)上是减函数，而 y = log21在其定义域上单调增；(-1,3) (-:：,1 = (-1,1,(-1,3) 1, *) =1,3),所以函数 y =log2(-x2 2x 3)在区 间(-1,1上是增函数，在区间1,3)上是减函数。函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。_1例1.求函数数二；的值域。解：/ X2=0 X显然函数的值域是：(-；0)(0,；) 例2.求函数y X的值域。解：/ X _0-X _ 0,3 - x _ 3故函数的值域是：-匚3】2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数y，2x5,

10、x. 一1,2】的值域。2解:将函数配方得：y=(X-1)4/ X -1,2由二次函数的性质可知：当X=1时，仏=4 ,当X = 1时，ymX =8 故函数的值域是：4 , 83. 判别式法1 X X2y =例4.求函数 1 X2的值域。解：原函数化为关于X的一元二次方程(y -1)x2 (y -1)x =0(1)当 y 口 时，x R.: =(-1)2 4(y 1)(y -1) _013解得：戶込1 31 = .1 (2)当 y=1 时，x=0，而 2 2；1 3故函数的值域为22例5.求函数y =xX(2 -x)的值域。2 2解：两边平方整理得：2x -2(y )x y =0(1)/ x

11、R.江=4(y1)2 -8y _0解得：.2y2但此时的函数的定义域由x(2-x)_0 ,得o沙注由0 ,仅保证关于x的方程：2x2 -2(y 1)x y2 =0在实数集R有实根， 而不能确保其实根在区间0,2上，即不能确保方程(1)有实根，由-o求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为-2,2。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。/ 0空x空2y =x ：Jx（2x） _0 ymin =0,y二12代入方程解得:Xi2 、. 2 24、2、20,22 +V2_24T2即当xi =2 时，原函数的值域为：【0,i、2】注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实

12、数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。3x十4例6.求函数5x 6值域。解:由原函数式可得:5y -3_46y3yx 7 则其反函数为：5x -3 ,其定义域为：5(亠3 ;故所求函数的值域为:，55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。ex -1例7.求函数厂的值域。ex=G解:由原函数式可得：厂1/ex 0y -1解得：-仁:y故所求函数的值域为（-1,1）cos x例8.求函数sn二的值域。解：由原函数式可得：ysinxcosx=3y

13、,可化为:,y21 sinx（x ：） =3ysinx（x：） 一3y即_y2 1x 三 Rsin x（x 】；）三-1,11兰工兰1即y2 1 .2 .2解得：一4_V2故函数的值域为JT6. 函数单调性法x -5例9.求函数y沁心 他彳宀一陀 沁岂10）的值域。 解：令屮沁胡2 =log3 x -1 1bg 3 2 _1 二_ 3 8=25 log3 9 =33,H,33 1则y1,y2在2，10上都是增函数 所以y沖y2在2，10上是增函数当 x=2时，ymn =2”故所求函数的值域为：-8当 x=10时，ymax例10.求函数yx 1 -X-1的值域。2y =1=解:原函数可化为：T

14、.X -1令y1 -x 1,y x -1，显然y1,y2在口,；上为无上界的增函数 所以y*1，y2在口；上也为无上界的增函数所以当x=1时，八yi y有最小值、2 ,原函数有最大值.2 i显然y 0,故原函数的值域为(0, 27.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式 含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之 一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数y =x x 1的值域。解：令 x _1 二 t， (t 一0)则x =t2 1y =t2 t 1 =(t -)2324又t _0，由二次函数的性质可知当 t =0 时，y mn =1当t

15、_； o时，y=故函数的值域为口，；)例12.求函数X 2 /-(X 1)2的值域。 解：因 1 (x 1)2 -02即(x 1) 1故可令x 1 二cos :,；三0,二. y 二cos“ 】1.1 -cos2 - -sin “ 】cos“ 】1-2sin(0 _ - 2 sin( ) 1 乞1、2故所求函数的值域为【0,1，2x3 -x例13.求函数乙4 2x2 1的值域。1 2x1 -x2y =- y.x解:原函数可变形为：2 1 x2 1 x22xjn 2p X可令x =tg :，贝眉 1 x2，1 x21.y sin 2l：i ：cos2l ：=2k 二 二y max当T_8时， 口

16、 kn 兀当T 8时， 而此时tan 有意义。y nil-sin 4!：:;-4_ 144故所求函数的值域为IL 44例14.求函数y肖1 x 1)o 解：y =sn X 1Xcs x 1) =sin x cosx sin x cosx 1X壬X +1)5122的值域。sin x cos x 二1(t21) 令sin x+cosx=t，贝卩21 212y(t2 -1) t 1 (t 1)22 2由 t =sin x cosx = . 2 sin(x 亠/ 4)x三且 IL 1222 m .2可得：2二223 ,近故所求函数的值域为?.当t2时，丫馆2，当2时，-+ ,- +3vtan2 xco

17、t2 x +2=5当且仅当tanx二cotx_兀即当x 时(kz),等号成立 故原函数的值域为：【5；)例20.求函数y=2勺xsn 2x的值域。 解. y =4sin xsn xcs x= 4sin2 x cosxy =16sin4 x cos2 x= 8sin2xsin2x(2 -2sin2x) 解：定义域为-221 -3x x _ 1 _y 由冇得_2y 31 -y 1x =故 2y 32或3十3解得得二或或二J故函数的值域为 22，1 -y 1x =2y 3211.多种方法综合运用例22.求函数x 3的值域。解:令2(0)，贝yx+3=t2 +1t 1”1y 二7 t21 t . 12t ,当且仅当t=1,即x = -1时取等号，(1)当t 0时， 所以0 ：八2(2)当 t=0 时，y=0综上所述，函数的值域为1注：先换元，后用不等式法1 +x 2x2 +x +x4例23.求函数数一 1+2x2+x4 的值域。1 2x2 +x4x +x3y = +解： 1 2x2 x41 2