论文幂零矩阵的性质与应用

1、本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用学生姓名：白雪学 号：1004970231专 业： 数学与应用数学班 级：数学1002班 指导教师： 徐颖玲 完成日期： 年月 日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。关键词：幂零矩阵 线性变换 逆矩

2、阵 若尔当标准型 特征值 迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrixacts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent

3、 Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity.The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superior

4、ity in solving inverse matrix, and explains itspractical applicationby examples.Keywords:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrixJordan canonical form Characteristic Trace.目 录一、预备知识1（一）概念1（二） 引理2二、幂零矩阵的性质3（一）幂零矩阵的特性3（二）矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件4（三）幂零矩阵和若尔当块5（四）幂零矩阵的其他性质7三、幂零矩阵的应用10（一） 幂零矩阵在矩阵求逆中

5、的应用101可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆102求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆11（二）幂零矩阵在其他方面的应用13结论15参考文献16随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用。幂零矩阵在这些领域中也发挥着重要的作用，自20世纪60年代以来，许多学者探讨了一些幂零矩阵的性质，获得了许多重要的研究成果。1964年Give证明了n阶矩阵A是幂零矩阵的充要条件是，近年来

6、幂零矩阵得到了进一步发展。在我们学到矩阵的乘法运算时曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。本文将归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，它和线性变换、若尔当标准形等方面的联系，还有其性质的具体应用，在后面的应用中我们提到了一些特殊矩阵的求逆，这体现了幂零矩阵的优越性。2 预备知识2.1 概念定义1.设为阶方阵，若存在正整数，使，则称为幂零矩阵。定义2.设为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数，并称是次幂零矩阵。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵，其幂零指数为1。定义3.设，称为的转置，称为的伴随矩阵，其中为中元素的代数余子式。定义4.阶矩阵，称为

7、的迹，记为。显然，的全体特征值的和等于。定义5.形为的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。定义6.称为矩阵的特征多项式。满足的的值称为矩阵的特征值。2.1 引理引理1.设，为阶方阵，则。引理2.相似矩阵具有相同的特征值。引理3.（哈密尔顿凯莱定理）设是阶方阵，是的特征多项式，则有。引理4.设为阶矩阵的特征值，则有，且对任意的多项式有的特征值为。引理5.每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形。引理6.若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理7.阶若当块的最小多项式为且有。引理8.,为阶复数

8、域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵，使得 ，3 幂零矩阵的性质3.1 幂零矩阵的特性幂零矩阵作为一种特殊的矩阵，自身具有一些特殊的性质。性质1.幂零矩阵的行列式值为零，且所有的幂零矩阵都不可逆。证明：设是任一阶幂零矩阵， 使得，由行列式的性质得，是退化的，不可逆。性质2.若为幂零矩阵，则都为幂零矩阵。证明：因为为幂零矩阵， 使得，由引理1知 所以为幂零矩阵。因为为幂零矩阵，所以，知的秩只能为或。当时，是幂零矩阵；当时，有。由的特征值全为零，存在可逆阵，使，由，知，显然的特征值全为零，所以是幂零矩阵。又所以是幂零矩阵；因为所以也为幂零矩阵。性质3.幂零矩阵的相似阵是幂零矩阵。证明:令是幂零矩阵， 使

9、得，令是的相似矩阵，则存在可逆阵，使得，有即也是幂零矩阵。性质4.设为阶幂零矩阵，若，则，为幂零矩阵。证明:为阶幂零矩阵，令分别为它们的幂零指数,取。由，有当时，从而，得到当时，显然有，得到所以，即+是幂零矩阵。取，因为 ，有即也是幂零矩阵。性质5.数域F上的所有指数为的幂零矩阵彼此相似。证明：设是数域F上的幂零矩阵，其指数是-，则。当时，,所以的最小多项式是。故而，特征矩阵的不变因子为，由的任意性得知，所有指数为的幂零矩阵的特征矩阵的不变因子是一致的，即数域F上的所有指数为的幂零矩阵彼此相似。3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件性质6.为幂零矩阵的充分必要条件是的特征值全为。证明：（必要

10、性）为幂零矩阵， 存在 使得，设为的任一特征值，则存在维列向量，有即 由，所以。又由 知，得，即的特征值为。（充分性）由的特征值全为知，的特征多项式为，由引理3得， 所以为幂零矩阵。性质7.为幂零矩阵的充分必要条件是对于任何正整数，迹。证明：（必要性）由是幂零矩阵知，的特征值全为。从而对于任何正整数，的特征值也全为，有（充分性）令的特征值为，则的特征值为，则假设有不为的特征值，设为其中的互异的特征值，为相应的重数，有，；将上式视为关于变量的其次线性方程组，由于知，与假设矛盾，故的特征值全为，即为幂零矩阵。3.3 幂零矩阵和若尔当块性质8.阶幂零矩阵的幂零指数小于等于且幂零指数等于其若当形矩阵中

11、阶数最高的若当块的阶数。证明：令为阶幂零矩阵，由引理5知，存在可逆矩阵，使得其中阶数为且取，则且有即。若令为的幂零指数，则。若，则且，由式，得这与矛盾。故。性质9.若为幂零矩阵，则的若当标准形的若当块为幂零若当块，且和主对角线上的元素为。证明：为幂零矩阵，由性质6，知的特征值全为。由引理5知，在复数域上，存在可逆矩阵，使得其中阶数为，由引理6知，为和特征值，又与相似，由引理2知与有相同的特征值，所以。即的主对角线上的元素全为由引理7知 为幂零矩阵。3.4 幂零矩阵的其他性质性质10.相似于对角形矩阵的幂零矩阵是零矩阵。证明：令是幂零矩阵、是对角形矩阵， 使得，设与相似，令 得 则存在逆矩阵，使

12、，有性质3知， 所以故 得知由性质6可推出 ：对角形的幂零矩阵为零矩阵。性质11.设为非零的幂零矩阵，且是的幂零指数，则线性无关。证明：反证法 假设线性相关，则存在一组不全为零的数， 使，两边同时右乘，得，而 得知；两边同时右乘，得而，得知；依次下去可得，与假设矛盾。所以线性无关。性质12.若为幂零矩阵，则非退化。证明：令为的特征值.若退化，则有.由引理4得,至少存在为的特征值,又由引理4得, 为的一特征值。这与为幂零矩阵矛盾。 即为非退化。性质13.若为幂零矩阵且，则不可对角化。证明：为幂零矩阵，存在使得且的特征值全为，为的特征多项式且。令为的最小多项式，则有, 从而有。由于，所以又此时。即

13、的最小多项式有重根，所以不可对角化。 因为为阶方阵，由引理5，知在复数域上，存在可逆矩阵，使得其中，阶数为.令，阶数为.则有阶数为。 由引理7知,即为幂零矩阵。令 ，即 又为对角阵，由式知可对角化。令 且取 ，则有即有可对角化且为幂零矩阵。性质14.若为幂零矩阵且，则有证明：因为，所以即又即 对任意，有 即有。性质15.若为幂零矩阵，则一定不可逆但有。证明：因为为幂零矩阵，所以存在使得，从而，一定不可逆。由性质6知，的特征值为。由引理4知，的特征值分别为，且有即。4 幂零矩阵的应用4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆例1.设，求。解： 其中 且有 由性质14知，

14、例2.设，求 。解： 其中，且.由性质14知， 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆例3.设，求。解：令，其中由性质14得例 4.设，求。解：其中 有，由性质14得4.2 幂零矩阵在其他方面的应用例 5.若，但，证明与相似。证明：设V是数域F上的维线性空间，是V的一组基，有线性变换，使在下的矩阵为.由， ，知，有，使，但，可得到线性无关，可作为V的一组基。易知，在下的矩阵是所以与相似。同理可证，与相似。可得与相似。例 6.设为阶方阵，为幂零矩阵，且，则有。证明：由是幂零矩阵知，的特征值为.在复数域上，存在可逆矩阵，使得，又因为可逆知，由知为的特征值，有，故例7.设为阶方阵，其中可对角化，为幂

15、零矩阵，且，证明。 证明：由性质9知, 存在幂零矩阵，使得可对角化， 即存在可逆，使得 即有。由性质2知, 是幂零矩阵。 又与相似知，可对角化。 令，则有 。例 8.设，C为阶方阵，且，证明：存在正整数，使得。证明：由 于，由为幂零矩阵知，且。结论：本文的研究是建立在矩阵理论基础之上的，在本文第一章，我们首先介绍了幂零矩阵的一些知识，对幂零矩阵有了一个基本了解。在第二章，介绍了下文要用到的一些基础知识，其中包括幂零矩阵的定义和一些与幂零矩阵有关的概念，还有要用到的一些性质和定理，我们将这些性质和定理命名为引理，以便下文引用。在第三章，重点列举和证明了幂零矩阵的一些性质，如幂零矩阵作为一类特殊的

16、矩阵，自身所具有的一些特殊的性质；矩阵是幂零矩阵的充分必要条件说明了什么样的矩阵是幂零矩阵，如何判断一个矩阵是幂零矩阵；同时，还介绍了幂零矩阵和若尔当块的关系，把若尔当块的理论应用的幂零矩阵中；一个幂零矩阵就是一个幂零线性变换，还有一些其他性质。当介绍完幂零矩阵的性质理论之后，我们必然要介绍一下这些理论的应用，例如在矩阵求逆中的应用等，这些应用体现了幂零矩阵在一些应用领域的优越性。尽管如此，本文所介绍的幂零矩阵的性质和应用是非常有限的，幂零矩阵还有很多性质等待我们去发现。参考文献1邹本强.幂零矩阵的性质J.威海职业学院学报,2007,(12):150-155.2韩道兰,罗雁,黄宗文.幂零矩阵的

17、性质及其应用J.玉林师范学院学报,2003,(4):1-3.3姜海勤.幂零矩阵性质的一个应用J.泰州职业技术学院学报,2004,4(1):54-57.4谷国梁.关于幂零矩阵性质的探讨J.铜陵学院学报,2001,(4):49-63.5胡秀玲,张秀福.幂零矩阵和幂零线性变换J.徐州师范大学学报(自然科学版),2006,24(4): 17-18.6王兆飞.幂零矩阵的标准型J.河北北方学院学报，2008,24(1):4-7.7吴险峰.n阶幂零矩阵的判别及构建J.齐齐哈尔大学学报,2007,23(4):72-75.8李殿龙,隋思涟.2-幂零矩阵的Jordan标准型J.青岛建筑工程学院学报,2001,22

18、(3):83-86.9周惊雷,李庆国.一类幂零矩阵幂零指标的特征J.湖南大学数学与计量经济学院,模糊系统与数学,2008,22(5):1-4.10杨浩波,矩阵的幂零分解J.杭州师范大学学报(自然科学版),2009,8(5):34-337.11钱椿林.线性代数M.北京：高等教育出版社.2004.12陈国利.高等代数选讲M.北京:中国矿业大学出版社.2005.13薛有才，林春燕.高等代数研讨M.知识出版社.1996.14王萼芳,石生明.高等代数M.北京:高等教育出版社.2003.15方保镕,周继东,李医民.矩阵论M.北京：清华大学出版社.2004.16张远达.线性代数原理M.上海：上海教育出版社.1997:140.17王正文.高等代数分析与研究M.