几何图形中的最值问题

1、2014年几何图形中的最值问题谷瑞林R几何图形中的最值问题引言：最值问题可以分为最大值和最小值。在初中包含三个方面的问题：1. 函数:二次函数有最大值和最小值；一次函数中有取值范围时有最大值和最小值。2. 不等式：如xw 7最大值是7;如x> 5，最小值是5.3. 几何图形：两点之间线段线段最短。直线外一点向直线上任一点连线中垂线段 最短，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。一、最小值问题B镇*A镇*|:燃气管例1.如图4，已知正方形的边长是 8, M在DC上，且DM=2 N为线段AC上的一动点，求 DN+MN勺最小值。解：作点D关于AC的对称点D，则点D与点B重合，连B

2、M交AC于N,连 DN 贝U DN+MNt短，且 DN+MN=BM/ CD=BC=8,DM=2, / MC=6,在 Rt BCM中 ,BM= , g262 =10, DN+MN勺最小值是10。例2，已知，MN是O O直径上，MN=2点A在O O上，/ AMN=3&B是弧AN的中点，P是MN上的一动点，贝U PA+PB的最小值是 解：作A点关于MN的对称点A,连AB,交MN于P,贝U PA+PB最短。连 ob oA,/ AMN=30b是弧AN的中点，/ BOA=30°,根据对称性可知/ NOA=60°,MOA=900,在 Rt ABO中，OA=OB=1, AB=、2

3、即 PA+PB=、2例3.如图6，已知两点 D(1,-3),E(-1,-4),试在直线y=x上确定一点 P,使点P到DE两点的距离之和最小，并求出最小值。解：作点E关于直线y=x的对称点M连MD交直线y=x于P,连PE,贝U PE+PD最短；即 PE+PD=MD E(-1,-4), M(-4,-1),过M作MN/ x轴的直线交过 D作DN/ y轴的直线于 N,则 MN_ ND,又 T D(1,-3),则 N(1,-1),在 Rt MND中 ,MN=5,ND=2, MD= 5? 2? = 29。最小值是,29 。练习1. (2012山东青岛3分)如图，圆柱形玻璃杯高为12cm底面周长为18cm,

4、在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cmC旌蜜1812【解】如图，圆柱形玻璃杯展开(沿点V4丨A竖直剖开)后侧面是一个长 18宽12的矩形,作点A关于杯上沿 MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM过点C作AB的垂线交剖开线 MA于点Do由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+ PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且AP=BP由已知和矩形的性质，得 DC=9 BD=12在 Rt BCD中，由勾股定理得 BC =*DC2 * BD2 = ： 92 T22 =15。:.AP+ PC=BPF PC=BC=15即蚂蚁

5、到达蜂蜜的最短距离为15cmo第4页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第5页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林图13. （2009?陕西）如图,在锐角 ABC中，AB= 4 - '，/ BAC=45°,Z BAC的平分线交BC于点D, M N分别是 AD和AB上的动点，贝U BM + MN的最小值是解：过B作关于AD的对称点B,则B在AC上,且 AB=aB=4. ,MB=mB,B/MN最短，即为 B/H最短。在 Rt AHB中,Z BaH= 45°, aB=4. _, Bh=4, BM+ MN的最小值是 4.4.如图，菱形 ABCD中, AB=2

6、 / A=120°，点 P, Q K 分别为线段BC CD BD上的任意一点，贝y PK+QK勺最小值为解：四边形 ABCD是菱形， AD/ BC/ A=120°，/ B=180° -Z A=180° - 120° =60°,作点P关于直线BD的对称点 P,连接 PQ PC则PQ的长即为PK+Q啲最小值，由图可知,当点Q与点C重合，CP丄AB时PK+QK的值最小,在 Rt BCP/中，T BC=AB=2 Z B=60° , CP/=BC ?sinB=2 x=第6页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第7页共11页20

7、14年几何图形中的最值问题谷瑞林5. （2012 兰州）如图，四边形 ABCD中，/ BAD= 120°,/ B=Z D= 90°，在 BG CD上第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林6. （2011?贵港）如图所示，在边长为2的正 ABC中，E、F、G分别为AB AG BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接 BP、GP则厶BPG的周长的最小值是 解：要使厶PBG的周长最小，而 BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，连接AG交EF于M等边 ABC E、F、G分别为AB AC BC的中点， AGL BC E

8、F/ BC AGL EF, AM=MG - A、G关于EF对称，即当P和E重合时，此时 BP+PG最小，即 PBG的周长最小,AP=PG BP=BE最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案为：3.第8页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第9页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林7.（第二阶段十三）在平面直角坐标系中，Rt OAB的顶点A的坐标是（9 , 0） , tan / BOA=',3点C的坐标为（2, 0）,点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为、67解：作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于 P, 连接AP,过D

9、作DNL 0A于N,则此时PA+PC勺值最小, Rt OAB的顶点 A的坐标为（9, 0）,a OA=9J3_/ tan / BOA= ' AB=3、. 3 , / B=60° ,3/ AOB=30 ,a OB=2AB=6 311由三角形面积公式得：&oae= X OAX AB= X OB< AM22即 9X3. 3=6 3AM99 AM= , AD=2X=9 ,22/ AMB=90 , / B=60°, BAM=30 ,/ BAO=90 ,OAM=6°O ,/ DN OANDA=30 , aAN=12AD=9 ,由勾股定理得：DN=2AD2

10、 AN22J； 29.3第10页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林95/ C (2 , 0), CN=92=,； 923 l52 2在Rt DNC中 ,由勾股定理得： DC DN2 CN2即PA+PC的最小值是.67 ,8. （2013苏州）如图，在平面直角坐标系中， Rt OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3 , J3）,点C的坐标为（ 丄，0）,点P为斜边OB上的一动点，则厶PAC2周长的最小值为（）解：作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P ,连接AP,、计3过D作DNL OA于N,"则此时PA+PC勺值最小，/ DP=PA - PA+PC=PD

11、+PC=CDB ( 3, V3), AB3 , OA=3 / B=60° ,由勾股定理得：OB=2/ ,OCA由三角形面积公式得：_X OA AB= ： X OBK AM2 2 AM= ；, AD=2X =3,2 2/ AMB=90，/ B=60°,AZ BAM=30 , / BAO=90，/ OAM=6°0 ,/ DNL OANDA=30 , AN=AD=；，由勾股定理得：DN=； 7,2 2 2/ C (2, 0), CN=3-丄卫=1,2 2 2在Rt DNC中，由勾股定理得:即厶PAC周长的最小值为 5 +2 29. ( 2013?徐州模拟.仿真一)在平面

12、直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0, 0),( 20, 0)( 20 , 10)。在线段 AC AB上各有一动点 M N,则当BM+M为最小值时，点M的坐标是( )解：如图，作点B关于AC的对称点B',过点B' 作 B' N丄 OB于 N, B'N 交 AC于 M 贝UB' N=B M+MN=BM+,MN' N 的长就是 BM+MN勺最小值连接 OB ,交DC于P.四边形 ABCD是矩形， DC/ AB,/ BAC=/ PCA点B关于AC的对称点是 B', / PAC=/ BAC/ PAC玄 PCA - PA=PC

13、令 PA=x,贝U PC=x PD=20-x.在 Rt ADP中，T pA=pD+AeJ,2 2 2 x = (20-x ) +10 , x=12.5 ./ cos / B' ON=co3 OPD - ON OB =DP OP ON 20=7.5 : 12.5 , ON=12/ tan / MON=tan/ OCD： MN ON=OD CD MN 12=10: 20,. MN=6点M的坐标是（12, 6）.故答案为（12, 6）.10. 如图，在矩形 ABCD中，AB=20,BC=10,在AC AB上各取一点 M N,使得BM+M有最小值, 求最小值。解：如图，作点B关于直线AC的对称

14、点B',交AC 与E,连接B' M过B'作B，G丄AB于G,交AC于 F,由对称性可知，B' M+MN=BM+MB，G当且仅当M与F、点N与G重合时，等号成立，AC=10 5 ,点B与点B'关于 AC对称， BE丄AC11 ab（=AB?BC22因/ B'BG+/ CBE=/ ACB+Z CBE=90 ,则/B'BG/ ACB又/ B'GB/ ABC=90得厶B'GBA ABCBZGAB_ BZB-AC16cm.B' G=16故 BM+M的最小值是故答案为：16cm.11.如图，已知正方形ABCD的边长为10,点P

15、是对角线BD上的一个动点，M N分别是BC得 BE=4 . 5 , BB =2BE=8 、5第12页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林CD边上的中点，贝U PM+PN勺最小值是 解：作点N关于BD的对称点N',交AD 与N，连接Nm贝U Nm=ab最短。故答案为：MN=10cm12.（仿真六）如图，正方形 ABCD的边 长为2, E是BC中点.P是BD上的一个动点（P与B、D不重合）（1）求证： APBA CPB（2）设折线EPC的长为y,求y的最小值， 并说明点P此时的位置.解：AE= . 5 ,BD=2 2 ,第13页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林122可证

16、 BP= BD, BP= . 2,距 B 点一川2。33313. 如图， ABC是等腰直角三角形，/ C=9d, BC=2 2 , B是三角形的角的平分线，点E、CF AC BC/=C/FBA AC 2运二C乍4 2.2 CF=2, CE+EF的最小值是2.F是BD和BC上的动点，贝U CE+EF勺最小值解：作C关于BD的对称点C,过 C作 CF± BC于 F,贝U CE+EF的最小值是CF。14. 如图，已知梯形 ABCD中，AD/ BC,AD=DC=4,BC=8,N中 BC上, CN=2,E是 BC的中点，M是AC上的一个动点，则 EM+MN勺最小值 解：作N点关于AC的对称点N

17、 '，连接N 'ZDAC= ZACB，/DAC= ZDCA ,.ZACB=点N关于AC对称点N '在CD上，CN=CN又DC=4 ,EN '为梯形的中位线，,1EN = - (AD+BC ) =6 ,2EM+MN 最小值为：EN '=6 .16.已知等腰梯形 ABCD AD/ BC,AB=DC,AC平分/ BCD,BAL AC,若 AC=/3 ,P、M N分别是AC AD DC上的任意一点，贝U PM+PN勺最小值第14页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林解：作点N关于AC的对 称点N,过N作BC的垂 线交 AD于 M,MN交 AC于 点P,则

18、MN最短是夹在第15页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林AD与BC间的垂线段最短。可知/ B=60：在Rt ABC中，AC=4、.3，则AB=4. 在 Rt ABH中，AH=sin60°X 4=上3 X 4=2、3 .即 PM+PN勺最小值是 2、3。2二，最大值问题知识点：求PA PB的最大值；A,B在直线I的同侧.A,B在直线I的两侧.第16页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林1.两点A,B在直线MN外的同侧,点

19、A到MN的距离 AC=8点B到MN的距离 BD=5,CD=4第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林OP在直线MN上运动，则PA-PB的最大值是第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林第#页共11页2014年几何图形中的最值问题谷瑞林解：延长AB交L于点P',VP/A-P/ B=AB 由三角形三边关系可知 AB> |PA-PB| , AB> |PA-PB| ,当点P运动到P'点时,|PA-PB|最大,/ BD=5 CD=4, AC=8过点 B 作 BEL AC 贝U BE=CD=4 AE=AC-BD=8-5=3