高中数学《从三角形到四面体”（高三）》教学课例分析

1、高中数学从三角形到四面体”（高三）教学课例分析一.教学设计本课是一节全国中小学数学“情境问题”教学研讨会的观摩课数学“情境问题”教学是贵州师大吕传汉、汪秉彝两位教授倡导的一种基本课堂教学形式，其宗旨在于培养创新意识和创新能力，其基本形式为：设置数学情境提出数学问题解决数学问题注重数学应用用 （观察、分析） （猜想、探究） （求解、反驳） （学做、学用）本节课以两个高考题（见后）导入,把学生熟悉的三角形和四面体作为情境, 在两个示例（“线段的垂直平分面”、“二面角的角平分面”）的基础上，让学生参与提出问题，分析问题，解决问题的过程. 从而复习空间点、线、面的位置关系，线共点、面共点的证明方法，类

2、比方法,培养学生空间想象能力，类比推理能力，逻辑推理能力，创新思维能力.这种教学形式重在让学生参与, 关键在于情境的设置与引导, 本节课设置的情境很开放, 有利于学生提出问题, 从平面到空间的跨度较大, 这是对空间想象力的一个挑战, 对于空间想象力较差的学生, 提出一个有关四面体的问题都是困难的. 所以, 采用学生提出一个问题就解决一个问题的方式, 而不是先让学生提完问题再选择问题解答, 这样, 先提的问题对其他学生有启发, 有利于学生提出更多的问题.在本节课的情境下能提出的问题较多、较难, 备课时花了很多时间, 查了很多资料, 准备了几个“心”的证明；同时应用几何画板课件来帮助学生思考和解决

3、问题二课堂教学过程1引入(屏幕显示,请学生回答)（1）（03年全国文15）在平面几何里，有勾股定理：“设三角形的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ABD两两互相垂直，则 .”（2）（04年北京理 14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列an是等和数列，且a1=2,公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .2.类比的意

4、义(屏幕展示)在学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同领域中常会感到某种类似的成份如果把这些类似的成份进行比较、联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法这种把类似的事物进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比法类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法法国数学家兼天文学家拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比”比拉普拉斯早两个世纪的德国天文学家和数学家开普勒对类比方法更是情有独钟，推崇备至，他说：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的

5、老师，它能揭示自然界的秘密，在几何中它应该是最不可忽视的”可以看出：类比是发明创造的重要源泉 师：其实在学习过程中我们常常不自觉的运用类比方法，希望大家今后能主动地去认识和运用类比方法。3.类比示例(从平面到空间) (1)线段的垂直平分线线段的垂直平分面（屏幕演示）图师：如图，在平面内，线段的垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等；反之,到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 在空间呢？类似的有：在空间中线段的垂直平分面上的任意一点，到线段两端的距离相等；反之, 到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分面上。 (2)角的平分线-二面角的角平分面（屏幕演示）图师：如图，在平面内，角

6、平分线上任意一点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。在空间呢？类似的有什么？生：在空间中，二面角的角平分面上的任意一点，到二面角的两个面的距离相等；在二面角的内部，到二面角的两个面的距离相等的点，在二面角的角平分面上。4.情境设置（课件演示）图师：请从三角形的某一性质类比到四面体,同学们得到什么性质? 生1：三角形两边之和大于第三边，四面体ABCD中2(AB+AC+AD)>BC+CD+DA, 2(AB2+AC2+AD2)>BC2+CD2+DA2.师:四面体ABCD中2(AB+AC+AD)>BC+CD+DA, 这是由“三角形两边之和大于第三

7、边”直接类比得到的结果吗? 这并非类比的结果类比的结果是什么呢? 生1: 四面体三个面的面积之和大于第四个面的面积.师: 很好! 这个结论成立吗？生1: 成立, 如果三个面的面积之和等于第四个面的面积, 那么四个面就成为一个面了, 只有三个面的面积之和大于第四个面的面积, 才能构成四面体.师: 对! 其他同学还有另外的猜想吗？生2：三角形都有内切圆，它的圆心是角平分线的交点；四面体都有内切球? 球心是相邻两个面所成二面角的角平分面的交点?师: 这是一个很好的问题，能解决这个问题吗？图生：可用“在空间中，二面角的角平分面上的任意一点，到二面角的两个面的距离相等；在二面角的内部，到二面角的角两个面

8、的距离相等的点，在二面角的角平分面上。”来证明师：很好！（课件演示）四面体内心的证明：如图，作四面体ABCD的底面BCD与三个侧面所成二面角的角平分面BCO、 CDO、DBO，则这三个角平分面必交于一点O，且点O与这个四面体四个面的距离相等，从而点O为该四面体内切球的球心，即为四面体的内心.生：四面体都有外接球?外接球的球心(外心)它是什么面的交点?师: 这也是一个很好的问题，能解决这个问题吗？生：由“在空间中线段的垂直平分面上的任意一点，到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分面上”知：四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这一点到四面体四个顶点的距离相等，它就是四面体外接

9、球的球心（即外心）图师：很好！（课件演示）四面体外心的证明： 如图，分别作四面体ABCD的棱CA、CB、CD的垂直平分面，则其交点O到顶点A、B、C、D的距离相等，点O为四面体ABCD的外接球的球心，可称为四面体的外心师：在空间中，类比勾股定理的结论及证明（课件演示）如图,在四面体ABCD中，面DAB、DBC、DCA两两垂直，可称四面体ABCD为直角四面体.此四面体中：两两垂直的三个面的面积的平方和等于第四个面的面积的平方即图S2ABC=S2DAB+S2DBC+S2DCA证明：作DEBC于E, 棱DA、DB、DC两两垂直， AD面BCD, 从而AEBC（三垂线定理）,令AD=x, BD=y,

10、CD=z则 , =(x2y2+ y2z2+ z2x2) S2ABC= S2ABC=S2DAB+S2DBC+S2DCA生：圆的内接三角形中，正三角形面积最大；球的内接四面体中，内接正四面体体积最大？师：这是一个很有创意的好问题，课后我们再探讨如同三角形在平面几何中的重要性一样，四面体在立体几何中有极其重要的地位和作用，其中的点、线、面的关系很有代表性，应给予足够的重视类比法不但适用于知识的推广和创新，也适用于数学方法的推广和创新，希望同学们有意识地去运用它当然，类比的结论只是一个猜想，是否正确还要证明 三.教学反思.本节课涉及的内容较多、较难, 学生在课堂上将会提出什么问题很难预测, 如本节课学生提出的问题:圆的内接三角形中，正三角形面积最大；球的内接四面体中，内接正四面体体积最大？备课时就没有想到, 这是一个很好的问题 课后评议时，北京师范大学的著名数学家严士健教授问笔者：学生在课堂上提出的这个问题，用中学的知识能解决吗？课后与学生共同探究，结果见附录 2高三复习课要特别关注学生数学能力的提高，并丰富学生的数学素养本节课的内容虽然不在教材中, 但是, 类比法的确是一种重要的思维方法，让学生有意识、有目的主动参与到“从三角形到四面体”类比的过程中去，为学生提供了一个模式，开拓了学生的视野，提高了学生的兴趣。3.“数学情境与提出问题”教学，充分关