判定广义积分的收敛性

1、咸阳师范学院本科毕业论文题 目：论广义积分的收敛性 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 付 美 班 级： 1121班 指导教师： 杨 衍 婷 职 称： 助 教 毕业日期： 二0一三年七月 论广义积分的收敛性（咸阳师范学院与信息科学学院 数学与应用数学 1121班 陕西，西安 付美 1106212120 712000）摘 要 广义积分主要包括两部分：无穷限的广义积分和无界函数的广义积分，以及含参变量的广义积分的收敛性，无界函数的广义积分又可称为瑕积分.广义积分是定积分突破条件限制的一个推广，定积分的的主要特点是积分区间是有界点集且被积函数在积分区域上有界，但这些限制条件不能解决实际中有些问题，于

2、是突破这两条限制的束缚得到其推广形式即广义积分，广义积分又称为非正常积分和反常积分.大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件，本文就针对敛散性论述广义积分.首先简述广义积分、无穷限广义积分和无界函数广义积分的定义及性质；其次探讨广义积分的敛散性，讨论几种比较常用的判别方法和技巧，并举例说明验证；最后讨论含参变量的广义积分的一致收敛性和欧拉积分. 关键词：广义积分；无穷限广义积分；无界函数广义积分；瑕积分；含参变量广义积分；收敛；发散;一致收敛性.25The Convergence of General

3、ized integral(school of Mathematics and Information Science, Xian yang Normal University, Mathematics and applied mathematics ,Class of 1121, Shanxi,Xian , Fumei 1106212120 712000)Abstract Generalized integral mainly includes two parts : Infinite range of generalized integral , Unbounded function of

4、 generalized integral and Generalized integral of parameter , Unbounded function of generalized integral can be called Improper integral . Generalized integral is break through the constraints of a definite integral promotion, main characteristics of the definite is the integral is bounded and integ

5、rand bounded in the region , but some of these restrictions will not solve the actual problem , and break through the bondage of two limits its popularization form the generalized integral , generalized integral is also known as abnormal integral and improper integral . Most of the generalized integ

6、ral cannot be calculated directly , although some able to compute its value , but the calculation process is very troublesome , so judging the convergence of the generalized integral is generalized integral evaluated integral . First of all briefly generalized generalized integral and unbounded func

7、tion integral , infinite range of generalized integral definition and the nature ; Secondly discusses generalized integral of divergence , discussing several discriminant methods and techniques , witch are frequently used for validation ; The last but not least discuss with uniform convergence of ge

8、neralized integral of parameter and Euler integral .Key words: Generalized integral ; Infinite range of generalized integral ; Unbounded function of generalized integral ; Improper integral ; Generalized integral of parameter ; Convergence ; Diverge ; Uniform convergence .目录摘 要1Abstract2目录3第一章 前 言5第

9、二章 广义积分敛散性的判别52.1 广义积分52.2 无穷积分62.2.1 无穷积分的定义62.2.2 无穷积分的性质72.3 无穷积分敛散性的判别72.3.1 定义法72.3.2被积函数不变号情形的判别方法92.3.2.1比较判别法92.3.2.2比较判别法的极限形式92.3.2.3 柯西判别法102.3.3 被积函数为一般情形112.3.3.1 柯西收敛准则112.3.3.2绝对收敛及条件收敛判别法122.3.3.3狄利克雷判别法132.3.3.4阿贝尔判别法132.4瑕积分142.4.1 瑕积分的定义142.4.2瑕积分的性质152.4.3瑕积分的敛散性判别法152.4.3.1定义法15

10、2.4.3.2比较法162.4.3.3柯西收敛准则172.4.3.4绝对收敛及条件收敛判别法182.4.3.5狄利克雷判别法182.4.3.6阿贝尔判别法192.5含参变量的广义积分192.5.1含参变量广义积分的定义192.5.2 含参变量广义积分的一致收敛性202.5.2.1 柯西判别法202.5.2.2 维尔斯特拉斯判别法202.5.2.3 狄利克雷判别法202.5.2.4阿贝尔判别法202.6 欧拉积分232.6.1 第一类欧拉积分（函数）232.6.2 第二类欧拉积分（函数）23总 结25参考文献26谢 辞28第一章 前 言无穷限广义积分积分（简称无穷积分）和无界函数广义积分（简称无

11、界函数积分或瑕积分）统称为广义积分，广义积分又称非正常积分或者反常积分.单从定积分可看出积分区域是有界的，被积函数在积分区域上是有界的.但积分，就不满足这两个限制条件，约束限制了定积分的应用，因此就要摆脱定积分在这两方面的限制，将定积分的概念加以推广，把积分区间有界拓展到无穷限区间积分和被积函数在积分区间上有界拓展到无界函数积分，即瑕积分，这就是广义积分或非正常积分（或反常积分）.近几年，微积分的发展十分迅速，而广义积分是随着高等数学的发展而发展起来的近代数学，是高等数学中重要的一个概念，且作为数学中的一类基本命题，为其他学科解决了许多计算上的难题，广泛应用于各种问题，也对其发展起到了促进作用

12、.广义积分在实际解决问题中有重要的作用，从而对广义积分敛散性的探讨就十分有必要了.关于广义积分的敛散性的判别在很多文献中都有介绍，广义积分敛散性的判别方法与技巧也多种多样，本论文通过广义积分的定义及其性质来探讨它的敛散性，主要针对无穷限积分和无界函数积分的敛散性及含参变量广义积分的一致收敛性的判别方法进行探讨.第二章 广义积分敛散性的判别2.1 广义积分 前面学过了函数在有界区间上的定积分（黎曼函数）其积分区间有限切被积函数在积分区间上有界，但实际问题把有界的限制予以解放，推广到无穷限的积分和被积函数无界的积分，是目前我们还不明白的，这些积分统称为广义积分，广义积分又称为非正常积分或反常积分.

13、广义积分分为无穷积分与瑕积分.2.2 无穷积分2.2.1 无穷积分的定义定义 1 设函数在区间内，及对有定义，且在任何有限区间内可积，若积分在下有意义，当积分在时的无穷极限叫函数在区间内的无穷积分，记作. 若则称无穷积分是收敛的，且它的值是.如果不存在，则称无穷积分是发散的. 类似的可定义在区间上的无穷积分，若的极限存在，则积分收敛，否则发散.当时，在区间上都可积，则称为函数在上的无穷积分，且有（积分区间的可加性），若都收敛，则无穷积分收敛，否则发散.2.2.2 无穷积分的性质无穷积分是否收敛取决于积分在时是否存在极限，从而根据函数极限和定积分的一些性质可推导出一些无穷积分的性质.性质 1 如

14、果积分收敛，则积分也收敛，且有.性质 2 如果积分均收敛，对，也收敛，且有.性质 3 如果积分均收敛，则积分也收敛，且有.性质4 如果在区间上可积，且积分收敛，则积分必收敛，有.2.3 无穷积分敛散性的判别2.3.1 定义法可以利用无穷积分的定义以及极限的方法来判别无穷积分的收敛性，这种方法适用于无穷积分所对应的定积分，且原函数比较容易求出的类型.证明：无穷积分收敛.证：因为，设则有从而有设，则有故有上面可知积分均收敛于，由积分的可加性知也收敛，且例1：讨论无穷积分收敛性.解：当，设对且有当，有综上可知，当时，积分收敛于，当时，积分发散.由例题可以看出定义法判别积分的收敛性非常的简洁方便，而且

15、十分有效.2.3.2被积函数不变号情形的判别方法2.3.2.1比较判别法定理1 如果当时成立不等式，则由积分收敛性可推知积分的收敛性，即由积分的发散性可推知积分的发散性.定理2 如果存在极限则在时由积分的收敛性可推知积分的收敛性，而时积分的发散性可推知积分的发散性.(在时两积分同时收敛或发散)2.3.2.2比较判别法的极限形式积分收敛的充分必要条件是积分在增大时保持有上界：（为常数）若条件不满足，则积分有值.定理3 如果在区间上可积，且，则有时，积分，同敛态；时，积分收敛可知收敛；时，由发散可知也发散.定理4 对于非负的，如果存在，且，则积分收敛；如果或者，且，则积分发散.例2 判别积分的收敛

16、性.解：当时，由积分收敛知积分也收敛.例3 判别积分的收敛性.解：因为极限，在这里，从而积分收敛，故积分收敛.运用比较判别法我们不需求出积分所对应的定积分的函数形式，只需通过适当的放缩把所求的问题转移到一些简单的积分上或已知其收敛性的积分上，从而，放缩就成为解体的关键.2.3.2.3 柯西判别法定理 5 设在区间上有定义，在区间可积，则：当，且时积分收敛；当，且时积分发散.定理 6 设在区间上有定义，在区间上可积，且则：当时，积分收敛；当时，积分发散.例4 判别积分 ，和积分的收敛性.解：对有根据柯西判别法定理6知积分收敛.因为根据柯西判别法定理6（）知积分发散.2.3.3 被积函数为一般情形

17、2.3.3.1 柯西收敛准则定理7 无穷积分收敛的充要条件是：对，有，当时，.(柯西收敛准则是研究数列函数敛散性的重要方法，同时也是研究无穷积分敛散性的重要方法.)例5 设在上连续，（其中）讨论积分的敛散性.解：设对有则又从而故因为，则对有，当时且当时由柯西收敛准则知收敛.2.3.3.2绝对收敛及条件收敛判别法定理8 如果无穷广义积分收敛，则无穷广义积分也收敛.定义2 如果无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收敛.定义3 如果无穷积分收敛，但不绝对收敛，则称广义积分条件收敛.定理9 积分关于单调递增，则积分收敛的充要条件是存在上界.由定理可知，无穷积分绝对收敛，则积分必收敛，但收敛的无穷积分不一定绝

18、对收敛.例6 证明积分绝对收敛.证：因为所以故知积分收敛，再由定理8知积分绝对收敛.2.3.3.3狄利克雷判别法定理10 设函数在上连续，若（1）且，（2），使有则无穷积分收敛.例7 证明积分收敛. 证：当时有，则在上连续，对，在上可积.又函数的导数在上连续，且则对有根据狄利克雷判别法知积分收敛. （证毕）2.3.3.4阿贝尔判别法定理11设函数在上连续，若（1）收敛，（2）非负且，（3）有（其中）则无穷积分收敛.狄利克雷判别法和阿贝尔判别法是判别两个函数乘积的无穷积分的敛散性，也是判别无穷积分条件收敛的方法.2.4瑕积分2.4.1 瑕积分的定义定义4 设函数在区间上有定义，点的任意右邻域内无

19、界，但在任何区间上有界且可积，若存在极限则称此极限为无界函数在区间上的广义积分，记作，且无界广义积分收敛，若极限不存在，则无界广义积分发散.被积函数在点近旁是无界的，点成为函数的瑕点，因此无界广义积分又称为瑕积分.类似的可定义瑕点为时的瑕积分，函数在区间上有定义，在的任意左邻域内无界，但在上可积则有.极限存在时积分收敛，极限不存在积分发散.当函数的瑕点，在上有定义，在点的任意邻域内无界，但在上都可积，则有瑕积分，当右边的两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛.如果都是函数的瑕点，在上可积，有积分，当右边的两个瑕积分都收敛时左边的瑕积分才收敛.2.4.2瑕积分的性质瑕积分的理论与无穷积分的理论是

20、平行的，从而得出瑕积分的性质：性质1 设函数的瑕点同为，当瑕积分都收敛时，瑕积分必收敛，有.性质2 设函数的瑕点为，为任一常数，则瑕积分同敛态，有.性质3 设函数的瑕点为，在的任一内闭区间上可积，当收敛时，积分必定收敛，有.2.4.3瑕积分的敛散性判别法因为瑕积分的敛散性与无穷积分的敛散性是平行的，则类比无穷积分的敛散性来讨论瑕积分的敛散性.2.4.3.1定义法运用定义法可以判别一些简单的瑕积分，适用于瑕积分所对应的定积分易于求出原函数的类型，简单快捷，方便有效.例 8 判断瑕积分的敛散性.解：由题可知被积函数的瑕点为，由瑕积分定义有当时，综上可知，当时积分收敛，当时，极限不存在，故积分发散.

21、2.4.3.2比较法定理12 设函数在上有定义，瑕点同为，在可积，且，当收敛，必定收敛.发散时必定发散.由上述定理可以得出以下推论：推论1 如果，则（1），与同敛态.（2），由可知收敛.（3），由可知发散.推论2 设函数在有定义，瑕点为，在上可积，则 （1），时知收敛.（2），时知发散.推论3 设函数在有定义，瑕点为，在上可积，若，则（1）,时知收敛.（2）,时知发散.例9 证明瑕积分收敛，发散.证：瑕积分的瑕点为由推论3知当时有从而瑕积分收敛.瑕积分的瑕点为，当时有从而知瑕积分发散.运用比较法讨论瑕积分的敛散性时，要进行适当的放缩，而熟悉公式后问题就变得相对简单了.2.4.3.3柯西收敛准则

22、定理13 瑕积分瑕点收敛的充要条件是：，当时有.例10 证明积分收敛，发散.证：易知积分在的被积函数区间上连续且瑕点为，取，对当时有根据柯西收敛准则知瑕积分收敛.知瑕积分的被积函数在上连续瑕点为，对当时有因为，则，从而即故由柯西收敛准则知瑕积分发散.柯西收敛准则与定义法比较起来判别积分敛散性时稍复杂些.柯西收敛准则研究的是数列.2.4.3.4绝对收敛及条件收敛判别法定理14 当积分收敛时称瑕积分绝对收敛，称收敛但不绝对收敛的瑕积分条件收敛. 瑕积分的收敛与绝对收敛是相通的.2.4.3.5狄利克雷判别法定理15 设函数在上连续，若：（1）且，（2）使对一切有，则瑕积分收敛.2.4.3.6阿贝尔判

23、别法定理16 设函数在上连续，若：（1）收敛，（2）（非负），（3），使对一切有则瑕积分收敛.狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别的是两个函数乘积时积分的敛散性，也是判别瑕积分收敛的一种方法.2.5含参变量的广义积分2.5.1含参变量广义积分的定义定义5 设二元函数在区域上有定义，无穷积分收敛，积分中的参变量的函数可表示为，称无穷积分为含参变量的无穷积分.定义6 如果给定的如何小，当时，有则积分在上一致收敛.2.5.2 含参变量广义积分的一致收敛性2.5.2.1 柯西判别法定理17 无穷积分在区间上一致收敛的充要条件：，当时有.关于广义积分的一致收敛性，与函数级数的情况类似，从而有：2.5.2.2

24、 维尔斯特拉斯判别法定理18 设函数在上连续，函数在上连续，且，如果积分收敛，则含参变量广义积分对一致收敛.对于条件收敛积分的一致收敛性有地利克雷和阿贝尔判别法.2.5.2.3 狄利克雷判别法定理19 设函数在上连续，如果对，函数关于单调，当时，函数对一致收敛于0.部分积分对一致有界，即，使，则积分对一致收敛.2.5.2.4阿贝尔判别法定理20 设函数在上连续，如果对每一个取定的，函数关于单调，且.如果积分对一致收敛，则积分对一致收敛.例 12 设函数在上连续，积分一致收敛，部分积分对一致有界，即，使，求积分一致收敛.解：对有又则对，当时则对当时有由柯西收敛准则知积分一致收敛.例13 证明积分

25、一致收敛.证：因为积分对于一致收敛（维尔斯特拉斯判别法判定），则积分一致收敛.例14 证明积分一致收敛. 作变元替换，有 从而有积分因为积分对一致收敛（有狄利克雷判别法判定）所以积分一致收敛.例15：设函数在区间上连续且可积，求.解：对于取定的，函数关于单调，则有 又由题知积分收敛，由阿贝尔判别法知积分 对一致收敛，从而函数 在连续，则即 2.6 欧拉积分2.6.1 第一类欧拉积分（函数）例16 证明 证：令则有 （证毕）可知-函数对于和是对称的.2.6.2 第二类欧拉积分（函数）例17 证明 证：注意使用第二类欧拉积分并运用分部积分法证明，由题得 （证毕）-函数与-函数的关系：上述两个非初等

26、函数收视有含参变量的积分来确定的，其应用已遍及数学物理化学等多门学科.以上就是对广义积分敛散性判别方法的探讨，以及判别广义积分敛散性的几种基本方法.总 结本论文根据广义积分即非正常积分或反常积分的定义与性质，探讨了广义积分的敛散性及判断敛散性的的方法与技巧，辅助以例题是判断方法和计算技巧更为直观.从本论文的讨论可知，广义积分敛散性的判别方法主要有定义法、比较判别法及其极限形式、柯西判别法、绝对收敛及条件收敛判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，准确的运用这些判别法可以使我们更快更简单的判别广义积分的敛散性，以提高计算的效率，迅速解决实际中的问题.数学的研究是无止尽的，广义积分敛散性的判别方法与

27、技巧也会有更进一步的推广与研究，因此我们应该不断努力，加强学习研究，更多的深入研究这些方法，体会到数学之美，更好的融入数学的世界中.参考文献1 王乾; 余小飞. 广义积分概念的探究. 数学学习与研究(教研版). 2008-09-152 王永安.广义积分:定积分在极限思想下的自然延伸. 西安教育学院学报. 20043 陈秀引. 关于广义积分的注解. 河北工业大学成人教育学院学报. 2002(04) 4 李鑫. 论广义积分敛散性的判别方法. 大众商务. 2010-01-25 5 赵德让. 关于广义积分的判敛. 青海大学学报(自然科学版). 2002(02)6 雍龙泉. 广义积分收敛的几个补充性质. 高师理科学刊. 2009(01)7 张利. 广义积分敛散性的一点注解. 安康学院学报. 2009(03)8 苏子安. 广义积分的根值判敛法及其推广. 数学通报. 1989(06) 9 曹学锋. 广义积分收敛的必要条件. 数学学习与研究(教研版) . 2009-02-15 10 刘维江.广义积分敛散性判别法的应用.安顺师专学报(自然科学版). 199