2022年142正弦函数余弦函数的性质1

1、1.4.2 （ 1）正弦，余弦函数的性质 教学设计教学目的：学问目标：要求同学能懂得周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义.才能目标：把握正，余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正，余弦函数的最小正周期.德育目标：让同学自己依据函数图像而导出周期性,领悟从特别推广到一般的数学思想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发同学学数学的爱好.教学重点：正，余弦函数的周期性教学难点：正，余弦函数周期性的懂得与应用授课类型：新授课教学模式：启示，诱导发觉教学.教学过程：一，创设情境 , 导入新课：1. 现实生活中的“周而复始”现象：（1） 今日是星期二,就过了七天是星期几？过了十四天呢？（2） 现在下

2、午 2 点 30,那么每过 24 小时候是几点？（3） 路口的红绿灯（贯穿法律意识）2. 数学中是否存在“周而复始”现象,观看正（余）弦函数的图象总结规律y1x52O25221 可编辑资料 - - - 欢迎下载正弦函数f xsinx 性质如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载（观看图象） 1 正弦函数的图象是有规律不断重复显现的.2 规律是：每隔 2 重复显现一次（或者说每隔 2k ,kZ 重复显现） 3 这个规律由诱导公式 sin2k+x=sinx可以说明可编辑资料 - - - 欢迎下载结论：象这样一种函数叫做周期函数.文字语言：正弦函数值依据确定的规律不断重复地取得.可编辑资料 - - -

3、 欢迎下载符号语言：当 x 增加 2 k（ kZ ）时,总有f x2ksin x2 ksin xf(x) 可编辑资料 - - - 欢迎下载也即：（ 1）当自变量 x 增加 2k时,正弦函数的值又重复显现.可编辑资料 - - - 欢迎下载（2）对于定义域内的任意 x , sin x2ksin x 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性.二，师生互动,新课讲解：1. 周期函数定义：对于函数 f x ,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有： f x+T=f x 那么函数 f x 就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数

4、的周期.问题：可编辑资料 - - - 欢迎下载（1） 正弦函数 y余弦函数呢？sinx ,xR是不是周期函数,假如是,周期是多少？（ 2k,kZ 且k0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 观看等式sin4sin2是否成立？假如成立, 能不能说是y=sinx 的周期？42可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 如函数f x 的周期为 T ,就 kT , kZ * 也是f x 的周期吗？为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载（是,其缘由为：f xf xT f x2T f xkT ）可编辑资料 - - - 欢迎下载2. 最小正周期： T 往往是多值的（如 y

5、=sinx2,4, ,-2,-4, 都是周期）周期 T 中最小的正数叫做 f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx的最小正周期为 2（一般称为周期）可编辑资料 - - - 欢迎下载从图象上可以看出 y3，例题讲解sin x , xR. ycos x , xR 的最小正周期为 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载例 1（课本 P35 例 2） 求以下三角函数的周期：可编辑资料 - - - 欢迎下载 y3 cos x ysin 2 x （3） y2sin 1 x , xR 可编辑资料 - - - 欢迎下载解：（1） 3cos x2623cos x ,可编辑资料

6、 - - - 欢迎下载自变量 x 只要并且至少要增加到 x2,函数 y3cos x , xR 的值才能重复显现,可编辑资料 - - - 欢迎下载所以,函数 y3cos x , xR的周期是 2可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） sin2 x2 sin 2 xsin 2 x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载自变量 x 只要并且至少要增加到 x,函数 ysin 2 x , xR 的值才能重复显现,所以,函数 ysin 2 x , xR的周期是 可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 2sin1 x2262 sin1 x42sin1 x 62, ,6可编辑资料 - - - 欢迎下载自变量 x

7、只要并且至少要增加到 x4,函数 ysin 2 x , xR的值才能重复显现,可编辑资料 - - - 欢迎下载所以,函数 y2 sin 1 x2 , xR的周期是 46可编辑资料 - - - 欢迎下载变式训练 1：求以下三角函数的周期：可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 1）y=sin3x（ 2） y=cosx（3）y=3sin x 34可编辑资料 - - - 欢迎下载4 y=sinx+5 y=cos2x+103解： 1sin3x+2=sin3x又 sin3x+2=sin3x+23即： f x+ 2= fx周期 T= 2可编辑资料 - - - 欢迎下载2cos3x =cos x 332=cos

8、31 x63可编辑资料 - - - 欢迎下载即： f x+6 = f xT=6可编辑资料 - - - 欢迎下载33sinx =3sin4x +2 =3sin1（448 ）= f x+8 可编辑资料 - - - 欢迎下载x即： fx+8=fxT=84sinx+=sinx+2 即 fx=fx+21010T=25cos2x+=cos2x+2=cos2x+333即： fx+=fxT=由以上练习,请同学们自主探究 T 与 x 的系数之间的关系.小结：形如 y=Asin x+ A, 为常数,A0, xR周期T2|y=Acos x+ 也可同法求之可编辑资料 - - - 欢迎下载一般结论：函数yAsinxb

9、及函数yA cosxb , xR的周期 T2|可编辑资料 - - - 欢迎下载课堂巩固练习 2快速求出以下三角函数的周期可编辑资料 - - - 欢迎下载1y=sin3 x（2） y=cos4x+13 y=1 cos5x4y=sin1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载45y=3cos-2x-1234可编辑资料 - - - 欢迎下载53三，课堂小结： 1. 周期函数定义：对定义域内任意x, 都有 fx+T=fx.2. y=sin x与 y=cos x 的周期都是 2k , 最小正周期是 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载3. yAsinxb 及yA cosxb

10、的周期 T2|可编辑资料 - - - 欢迎下载四，作业布置 1 ，P52 32，金太阳导学案与固学案4. 奇偶性请同学们观看正，余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1) 余弦函数的图形当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载f-= 1 ,f32= 1 , 即 f-32=f3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载由于 cos x=cosx f-x= fx.以上情形反映在图象上就是： 假如点（x,y ）是函数 y=cosx 的图象上的任一点 , 那么, 与它关于 y 轴的对称点 -x,y 也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们

11、说函数 y=cosx 是偶函数.定义：一般地,假如对于函数 fx 的定义域内任意一个 x,都有 f-x= fx ,那么函数 fx 就叫做偶函数.(2) 正弦函数的图形观看函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时, 它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称.也就是说,假如点（ x,y ）是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载的点（ -x,-y）也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数.定义：一般地,假如对于函数 fx的定义域内任意一个

12、x,都有 f x= fx, 那么函数 fx就叫做奇函数.假如函数 fx是奇函数或偶函数,那么我们就说函数fx具有奇偶性.留意：从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称.（2）f-x= fx或 f-x=- fx必有一成立.因此,判定某一函数的奇偶性时. 第一看其定义域是否关于原点对称,如对称,再运算f-x,看是等于 fx仍是等于- fx,然后下结论.如定义域关于原点不对称,就函数没有奇偶性.例 2： 判定以下函数的奇偶性1y=sinxcosx2y=cos2x变式训练 2：判定以下函数的奇偶性（1）y=sinx+cosx2y=sin2x可编辑资料 - - - 欢迎下

13、载5. 单调性从 ysin x,x, 3的图象上可看出：22可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x , 时,曲线逐步上升, sin x 的值由 1 增大到 1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载当 x, 3时,曲线逐步下降, sin x 的值由 1 减小到 1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k, 2k kZ 上都是增函数,其值从22可编辑资料 - - - 欢迎下载1 增大到 1.在每一个闭区间小到 1. 2k , 3 2k k Z 上都是减函数,其值从 1 减22可编辑资料 - - - 欢迎下载余弦函数在每一个闭区间 2 k 1 , 2k k

14、Z 上都是增函数,其值从1增加到 1.在每一个闭区间 2k, 2 k 1 kZ 上都是减函数,其值从 1 减小到可编辑资料 - - - 欢迎下载1.可编辑资料 - - - 欢迎下载例 3：求函数 y=sin 1 x 的单调递增区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载23可编辑资料 - - - 欢迎下载变式训练 3：求函数 y=sin 1 x 的单调递减区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载236. 最大值与最小值.正弦函数 y=sinx 当 x=2k时取最大值 1,当 x= 32k时取最小值 -1 .22余弦函数 y=cosx 当 x= 2k时取最大值 1,当 x=2k最取最小值 -1 .（以上

15、 kZ ） 例 4：（课本 P38 例 3）以下函数有最大值，最小值吗？假如有,请写出取最大值，最小值时的自变量 x 的集合,并说出最大值，最小值分别是什么？（1）y=cosx+12y= -3sin2x变式训练 4：（课本 P39例 4）利用三角函数的单调性,比较以下各组数的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载 sin与sin . cos23与cos17可编辑资料 - - - 欢迎下载181054课堂巩固练习 2（课本 P40 练习 NO： 1.2. 3）可编辑资料 - - - 欢迎下载三，课堂小结,巩固反思1，正弦函数与余弦函数的周期性,最小正周期的求法.2，正弦函数与余弦函数的奇偶性,会

16、判定三角函数的奇偶性.可编辑资料 - - - 欢迎下载3，会求4，会求yAsinxyAsinxb 的单调区间.b 的最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载四，课时必记：1，一般结论：函数yA sinxb 及函数yAcosxb , xR的周期 T2|可编辑资料 - - - 欢迎下载2，y=sinx 为奇函数,图象关于原点对称.y=cosx 是偶函数,图象关于 y 轴对称.3，正弦函数 y=sinx 每一个闭区间2k, 2k kZ 上都是增函数,其值22可编辑资料 - - - 欢迎下载从 1 增大到 1.在每一个闭区间 1 减小到 1. 2k, 32k k Z 上都

17、是减函数,其值从22可编辑资料 - - - 欢迎下载余弦函数 y=cosx 在每一个闭区间 2 k 1 ,2k kZ 上都是增函数,其值从 1 增加到 1.在每一个闭区间 2k, 2 k1 kZ 上都是减函数,其值从 1减小到 1.4，正弦函数 y=sinx 当 x=2k时取最大值 1,当 x= 32 k时取最小值 -1 .22余弦函数 y=cosx 当 x= 2k时取最大值 1,当 x=2k最取最小值 -1 .（以上 kZ ）五，分层作业：A 组：可编辑资料 - - - 欢迎下载1，（课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：2）2，（课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：3）3，（课本 P46 习题 1.4 A 组 NO：4）4，（课本 P46 习题 1.