打印二次根式知识点

1、二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式， 但必须注意：因为负数没有平方根， 所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子， 哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2、33、1 、 x （x>0）、0、42、-2 、1、 xy （x0，y?0）xxy分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0知识点二：取值范围1、 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意

2、义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。例 2当 x 是多少时，3x1 在实数范围内有意义？例 3当x 是多少时，2x3 +1在实数范围内有意义？x1知识点三：二次根式（ ）表示个非负数，即 0（）的非负性a 的算术平方根，也就是说，）。（）是一注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， 0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0

3、,b=0；若，则a=0,b=0。例 4(1)已知 y=2x +x2 +5，求 x 的值(2)若a1 +b1 =0，y求 a2004+b2004 的值知识点四：二次根式（） 的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例 1计算1（ 3 ）22（3 5 ）23（ 5 ）24（ 7 ）2262例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3（2）x4-4(3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为： 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一

4、定要弄明白被开方数的底数若是正数或 0，则等于 a 本身，a 是正数还是负数，即；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例1化简（1）9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2例 2 填空：当 a0 时， a2 =_；当 a<0 时， a2 =_，?并根据这一性质回答下列问题（1）若a2 =a，则 a 可以是什么数？（ 2）若a2 =-a，则 a 是什么数？（3）a2 >a，则 a 是什么数？例 3 当 x>2，化简 ( x 2)2 - (1 2x

5、)2 知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数， 0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除、 乘法 a · b ab （a0，b0）反过来： ab=a · b（a1 0，b0）aaaa、除法=b（a0，b>0）反过来，=b （a0，b>0）bb2（思考： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为 0）例 1计

6、算（ ）5 ×7（）1×9（3）9×27（4） 114223× 6例2 化简（1）9 16（2）1681（3）9x2 y2（4）54例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49（2）412×25=4× 12×25 =4 12× 25 =4 12=8 3252525例 4计算：（1）例 5化简：12（2） 31（3） 11（4） 643284168（1）3（ 2） 64b2（3）9 x（4）5x649a264 y2169y 2例 6已知 9x9xx6x62，且 x 为偶数，求（1+x）x5x

7、4 的值x213、最简二次根式应满足的条件：（ 1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（ 2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方； 因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列二次根式化为最简二次根式 (1) 35 ; (2) x2 y4x4 y2 ;12(3)8x2 y34、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数 (或根号下的代数式 )化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号）

8、 ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数 (或因式 )开出来（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例 1计算（ 1） 8 + 18（2） 16x + 64x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：（1） 8 + 18 =22 +32 =（2+3） 2 =52（2） 16x + 64x =4x +8x =（4+8） x =12x例 2计算（1）3 48 -9 1 +3 12 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ）3例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2x