微积分(二)知识点总结9-4-

1、第四节多元复合函数的求导法则多元复合函数的链式求导法则为：口诀：分段用乘，分叉用加。多元函数与多元函数复合的情景（将下面的链式法则补充完整）口诀：分段用乘，分叉用加。口诀：分段用乘，分叉用加。zzuzvxuxvxzzuzvyuyvyuffzxxzxuffzyyzywfufvxuxvxwfufv口诀：分段用乘， 分叉用加。yuyvywfufvzuzvzzfufvxuxvx口诀：分段用乘，分叉用加。zfufvyuyvy根据下列图示，写出复合函数的 所有链式求导法则：（做题时，一次可能只会用到一个 - 用到那个就写那个，不必全部写出了。）zfufvxuxvx口诀：分段用乘，分叉用加。zfufvyuy

2、vyf1 'f1 'uf1 'vxuxvx口诀：分段用乘，分叉用加。f1 'f1 'uf1 'vyuyvyf 2 'f 2 'uf2 'vxuxvxf 2 'f 2 'uf2 'vyuyvyfffvxxvxffv口诀：分段用乘， 分叉用加。yvy （简单！）（因为图中：红色线段有3 条；蓝色线段只有2 条。虽然只少了一条，但对做题过程的影响却非常大。从最后一题的解题过程中就能看出来。 ）f1'f1'f1 'vxxvx口诀：分段用乘，分叉用加。f1'f1 'vy

3、vyf 2 'f 2 'f 2 'vxxvxf 2 'f2 'v口诀：分段用乘，分叉用加。yvy三、 1. (11-7) 已知函数 zf ( xy, xy) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数，2 z求 x y 。解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设 u xy ， vxy ，（这两个属于具体函数）则 zf u, v （这个属于抽象函数）对 式，把 y 看作常数，由链式法则得（下一步：遇到抽象函数，写出它的“记号”即可；遇到具体函数，求出它的偏导数。最后一步：在抽象函数的记号后面标出它的“自变量” -因为求二阶偏导数时，需要知道它的“自变量”有

4、几个，各是“啥”？，这样，后面做题时，就会“一目了然” 。）zf ? uf ? vf1 ' 1 f 2 ' yxuxvx对 式，把 x 看作常数，由链式法则和函数的和、积求导法则得：2 zfuf1 ?vf2f2 ?uf2 ?v(1 ?y)y(y)x yuvyuvyf111f12xf 2 y( f211 f 22 x)f11xf12f2yf21xyf22（）f11(xy) f12f 2xyf22注： f1 f1 u, vf uu, vz（这些记号都是为抽象函数准备的！ ）uf 2f 2u, vf v u, vz（具体函数不需要这些记号！ ）vf11f1； f12f1f 21f 2

5、； f22f2uvuvfffvxxvxffv口诀：分段用乘，分叉用加。yvy （简单）三、 1. (07-7) 设 zxf x, y，其中 f 具有连续二阶偏导数，x2 z2 z求y x 和x y 。解：本题考查的知识点是：多元复合函数的高阶偏导数设 vy，（这个属于具体函数）x则 zxf x, v （这里面既有具体函数又有抽象函数-其中， x 为具体函数； fx, v 为抽象函数。）ffvyvy （下面用到的就是这一个）2 z先求 y x对 式，把 x 看作常数，由链式法则和函数的求导法则 得：zfv1f 2 x, vx?x f2 ?f2yvyxf 2f 2f2vxxvx （下面用到的就是这

6、一个）对 式，把 y 看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：2 zf2f 2 ? vf 21f22 ? y x 2f 21y2 f22y xxv xxy设v（这个属于具体函数）x，则 z xf x, v（这里面既有具体函数又有抽象函数）2 z再求 x yfffvxxvx（下面用到的就是这一个）对 式，把 y 看作常数，由链式法则和函数求导法则得：zf x, v xff ? vf x,v x f1 f2 ?yxxvxx2f x,v xf x,vy fx, v1x2ffvy v y （下面用到的就是这一个）f1f1vyvy （下面用到的就是这一个）f2f2vy v y （下面用到的就是这一个）对 式，把 x 看作常数，由链式法则和函数的求导法则得：2 zfvxfv1f 2yfvx yv?1?xx, v2?yvyxvyf2? 1x f12? 11 f2y f 22? 1xxxxx1f 2f121 f 2y2 f 22xxxf12yf 22f 21yf222 zx2x2y x2 z2 z2 z2 z比较y x 和x y 的求解过程，可以看出： yx 比x y 的求解过程