信息光学基础

1、信息光学基础1.4 傅立叶级数傅立叶级数141 空间周期、空间频率空间周期、空间频率设：沿方向传播的单色平面波其波动方程为：设：沿方向传播的单色平面波其波动方程为：单色平面波特点：即时间周期性和空间周单色平面波特点：即时间周期性和空间周期性。期性。00coscostzAAtkzT时间周期性：时间周期性： ：单色光波的时间周期；：单色光波的时间周期；：单色光的时间频率；：单色光的时间频率； ：单色光的时间角频率：单色光的时间角频率 T11sT2T空间周期性：空间周期性： ：单色光的空间周期：单色光的空间周期； ：单色光的空间频率；：单色光的空间频率； ：单色光的空间角频率：单色光的空间角频率 1

2、2k142 空间周期和空间频率的几何意义：空间周期和空间频率的几何意义：n（1）图表示光波随时间变化的规律；）图表示光波随时间变化的规律；n（2）图表示光波岁空间变化的规律；）图表示光波岁空间变化的规律；143 空间周期和空间频率二者关系：二空间周期和空间频率二者关系：二者紧密相关且通过者紧密相关且通过 相联系相联系vT144 傅立叶级数傅立叶级数（1）角坐标下的傅立叶级数：）角坐标下的傅立叶级数： 其中傅立叶系数为：其中傅立叶系数为： 01cossin2nnnaganbn 1cosnagnd 1sinnbgnd （2）线坐标下的傅立叶级数：）线坐标下的傅立叶级数： 其中傅立叶级数其中傅立叶级

3、数 ：为直流分量（零频分量）：为直流分量（零频分量） 、 为为 次谐波。次谐波。 0122cossin2nnnag xanxbnxTT 0022cosxTnxag xnx dxTT 0022sinxTnxbg xnx dxTT 0ananbn1.4.5 指数形式的傅立叶级数指数形式的傅立叶级数 2jnxTnng xC e 0021xTjnxTnxCg x edxT 1。5 傅立叶变换傅立叶变换151 一维傅立叶级数一维傅立叶级数 为为 的频谱函数，的频谱函数， 与与 为傅立为傅立叶变换对。叶变换对。 2jnfxG fg x edx 2jfxg xG f edf G f g x G f g x1

4、52 二维傅立叶变换二维傅立叶变换2,xyjf xf yxyG ffdxg x y edy2,xyjf xf yxyxyg x yG ffedf df 1.5.3 广义傅立叶变换广义傅立叶变换1.5.4 傅立叶变换性质傅立叶变换性质1.线性性质线性性质若若 则则,xyg x yG ff,xyh x yHff,xyxyg x yh x yG ffHff2尺度变换尺度变换若若则则3移位定理移位定理若若则则,xyg x yG ff1,yxffg ax byGabab,xyg x yG ff2,xyjafbfxyg xa ybG ffe4，卷积定理，卷积定理若若则则5相关定理相关定理若若则则,xyg

5、x yG ff,xyh x yHff,xyxyg x yh x yG ffHff,xyg x yG ff2,xyg x yg x yG ff6积分定理积分定理若若则则,xyg x yG ff1,Fg x yg x y1.6 可分离变量的傅立叶变换可分离变量的傅立叶变换161 可分离变量可分离变量 一个二元函数，在某种坐标内，能写成两一个二元函数，在某种坐标内，能写成两个一元函数的乘积，则这个函数在此坐标个一元函数的乘积，则这个函数在此坐标系内为可分离变量函数。系内为可分离变量函数。162 直角坐标系下可分离变量函数的直角坐标系下可分离变量函数的“FT”设：函数设：函数 在直角坐标系下可分离变在

6、直角坐标系下可分离变量为量为 对对 取取FT有：有：,g x y ,xyg x ygx gy,g x y2,xyjf xf yF g x ydxg x y edy 2xyjf xf yxygx gy edxdy22yxjf yjf xxYg edxg edyxyG fG f163 极坐标可分离变量函数的极坐标可分离变量函数的FT1设空域：设空域： 直角坐标变量为直角坐标变量为 极坐标变量为极坐标变量为 频域：频域： 直角坐标频率为直角坐标频率为 极坐标频率为极坐标频率为 , x y, r,xyff, 2关系关系 坐标变量的关系坐标变量的关系 频率变量的关系频率变量的关系 221rxyytgxc

7、ossinxryr 221xyyxffftgfcossinxyff 指数因子指数因子 积分元积分元 积分限积分限 2cosjre 2xyjf xf ye rdrddxdy 0,0,2r , 3极坐标可分离变量的函数为：极坐标可分离变量的函数为：4取取FT ,Rg rgr g22cos cossin sin00,jrF g rrg red dr 22cos00jrRrgr ged dr 22cos00jrRrgrgeddr 根据贝塞尔函数关系式有：根据贝塞尔函数关系式有： cosjxkjkkkej Jx e 1kkkJxJx 则变换式中则变换式中 2cos2jrjkkkkej Jre 2kjkk

8、kjJre 20,2kj kjkRkkF g rjegedrgr Jrdr 令：令： 则上式的则上式的FT为：为： 2012jkkCged 022kRRkHgrrgr Jrdr 1,22kjkkRkF g rjeCH gr kjkkRkjC eH gr 结论：结论：在极坐标中可分离变量的空域坐在极坐标中可分离变量的空域坐标标 ，其频谱在极坐标，其频谱在极坐标中也可分离变量。其中相位谱中也可分离变量。其中相位谱 的函数的函数为为 ，振幅谱，振幅谱 为为称：称： 为函数为函数 的的 阶汗克尔阶汗克尔函数。函数。 ,Rg rgr gjke kRHgr RH gr Rgrk例：极坐标中的圆对称函数例：

9、极坐标中的圆对称函数解：此作为可分离变量函数解：此作为可分离变量函数 的特例，其中的特例，其中 ，则圆对称函数在，则圆对称函数在极坐标中可为极坐标中可为 ，对应的付，对应的付氏系数为氏系数为 ,Rg rgr g 1g ,Rg rgr20111sin02jkjkkeCedkk00kk将将 代入代入 的付氏变换式中，有的付氏变换式中，有而频谱而频谱称称 为傅立叶为傅立叶贝塞尔变换贝塞尔变换kC,g r 000.,kRRF g rF grHgrG0k 01kjj ， 01kkC01jkke 00kRkHHgr 00022RGrgr Jrdr 0G第二章第二章 二维傅立叶变换二维傅立叶变换 2.1 平

10、面波和球面波的复振幅平面波和球面波的复振幅211 光场的复振幅表示光场的复振幅表示1光的特性光的特性 光是电磁波；光是电磁波； 光波是横波光波是横波2光场的标量函数光场的标量函数（1）三角形式：）三角形式：（2） 指数形式的标量函数指数形式的标量函数0, , , ,cos 2, ,u x y z tux y ztx y z, ,20, , ,Re, ,jx y zjtu x y z tux y z ee说明：说明：1.无论是三角函数还是指数形式的标量函数无论是三角函数还是指数形式的标量函数都表示为理想单色光的光振动；都表示为理想单色光的光振动；2对于准单色光仍可用上面两个表达式表示；对于准单色

11、光仍可用上面两个表达式表示；3对于非单色光：可采用付氏变换将其分解对于非单色光：可采用付氏变换将其分解为各种不同频率的单色光，而不同频率的为各种不同频率的单色光，而不同频率的单色光可采用上面的表达式；单色光可采用上面的表达式；4光场的空间复振幅分布光场的空间复振幅分布复振幅的模分布：复振幅的模分布： 复振幅的辐角分布：复振幅的辐角分布： , ,0, , ,jx y zU x y zux y z e0, , ,U x y zux y z, ,x y z5引入复振幅的优点：引入复振幅的优点：（1）简化光场运算）简化光场运算（2）已知复振幅可求光强分布）已知复振幅可求光强分布212 平面波的复振幅平

12、面波的复振幅1平面波的特点：平面波的特点： 等相面是平面；等相面是平面； 在各项同性媒质中，等相面与传播方向垂在各项同性媒质中，等相面与传播方向垂直；直； 光场中，各点振幅为常数光场中，各点振幅为常数2平面波沿任意方向传播时的波动方程平面波沿任意方向传播时的波动方程设：设： 其中其中 为单位矢为单位矢 沿单位矢沿单位矢 的方向余弦分别为：的方向余弦分别为： 、 、 为平面波面上任意为平面波面上任意 点的位置。点的位置。平面波：平面波： 其中：其中： ， （波矢量）（波矢量）0kkk0kkcoscoscos, ,r x y zp0, ,cosu x y zutk r0coscoscoscosut

13、xyz 202kk， 3平面波的复振幅平面波的复振幅 coscoscos00jk xyzjk rU ru eu e213 球面波的复振幅球面波的复振幅1球面波的特点球面波的特点n 球面波是由点光源发出的；球面波是由点光源发出的；n等相面是一组同心球面；等相面是一组同心球面；各点振幅与该点到球心的距离成反比。各点振幅与该点到球心的距离成反比。2 球面波的波动方程球面波的波动方程 点光源与坐标原点重合：点光源与坐标原点重合：其中：其中： 是坐标原点到任意是坐标原点到任意 点的点的矢径矢径 ， 是是 的的球面处的振幅值球面处的振幅值01, ,cosau x y z ttk rrr, ,p x y z

14、222rrxyz0a1r * 发散球面波的波动方程及复振幅发散球面波的波动方程及复振幅 （ 与与 的方向一致）的方向一致）波动方程：波动方程： 复振幅：复振幅： kr01, ,cosau x y z ttkrr0, ,jkraU x y zer* 会聚球面波的波动方程及复振幅会聚球面波的波动方程及复振幅 （ 与与的方向相反）的方向相反）波动方程：波动方程： 复振幅：复振幅： kr01, ,cosau x y z ttkrr0, ,jkraU x y zern电光源不在坐标原点电光源不在坐标原点设：点光源相对坐标原点的坐标为设：点光源相对坐标原点的坐标为 ，任意任意 点相对点光源的距离为点相对点

15、光源的距离为波动方程：波动方程： 复振幅：复振幅： 000,xy zp222000rxxyyzz0,cosau r ttk rr 0jk raU rer2，2 光场中任一平面的复振幅光场中任一平面的复振幅221 平面波光场中任一平面的复振幅平面波光场中任一平面的复振幅1物平面的复振幅物平面的复振幅选定光轴沿选定光轴沿 轴，物平面与轴，物平面与 面平行，并面平行，并设物平面与设物平面与 平面的坐标原点的距离平面的坐标原点的距离为为 ，平面波复振幅为：平面波复振幅为： zxyxy1z0, ,jk rU x y zu e12coscoscos0jxyzu e122coscoscos0jzjxyu e

16、e其中：其中： 为一个复常数，为一个复常数， 复振幅为：复振幅为： 12cos0jzu e22cos1coscoscoscos0,jk xyU x yU e2空间周期性讨论空间周期性讨论 （1）波矢在平面传播的平面波特点）波矢在平面传播的平面波特点n 平面上的等相位线是一族垂直轴的平行平面上的等相位线是一族垂直轴的平行线族；线族；n相位沿图中箭头的方向线性增长；相位沿图中箭头的方向线性增长；由于相位差为的各点光振动是相同的，故由于相位差为的各点光振动是相同的，故在平面上复振幅呈周期分布。在平面上复振幅呈周期分布。 （2）空间周期的表达式）空间周期的表达式 * 若波矢若波矢 在在 平面内，则有：

17、平面内，则有： 方方向余弦向余弦 * 位相线族方程：位相线族方程： 常量，即常量，即 常量常量kxycos0coskxx *对应对应 的两条平行线，其两个波振面的相的两条平行线，其两个波振面的相位差位差 *相位差为的相位差为的 两平行线间沿两平行线间沿 方向的距离方向的距离为为 x2xcosxk 方向上的空间周期方向上的空间周期 方向上的空间频率方向上的空间频率 可取正值，也可取负值。可取正值，也可取负值。xx2coscosxTk1xxfTxf讨论：1.当 ， 为锐角，沿 正方向位相逐渐落后；2.当 ， 为钝角，沿正方相位相逐渐向前。同时，在 方向上， 等位相线是一组平行 轴的平行线组，即复振

18、幅沿 方向没有变化，其空间周期； 0 xfx0 xfyyyyT沿 方向的空间频率 y01yyTf结论：（1）沿 平面直线传播的单色平面波其方向余弦为：（2）空间频率为；（3）光场复振幅为： xz0 ,cos0 ,cosxfjxeUyxU20,3空间沿任意 方向传播：（1）沿 平面传播的方向余弦为：（2）等位线是斜线，相位依次相差 ；（3）等相线方程为： 常数 当坐标原点的初相位=0时，以 为间隔的等相线方程为： k1xyzcos,cos2coscosyx2coscoscosny（4）平面上沿 方向与沿 方向的复振幅都是周期性变化的，其空间周期分别为：（5）空间频率分别为： （6） 光场的复振幅

19、为： xycosxTcosyTcos1xxTfcos1yyTf1xyzyfxfjyxeUxyU20223 球面波光场中任意平面上的复振幅1任意平面的复振幅分布假设条件：坐标原点与球面波中心重合 轴与所考察的平面垂直 该球面波离球心单位距离处的振 幅为所考察平面上的复振幅为： 其中 z0ark jerazyxU01,2122zyxr2.近轴条件下的任意平面的球面波的复振幅（1）近轴条件： 即：成像区域在距离轴不大的范围内（2）振幅部分的分析 当满足近轴条件时， 2221yxz221222122121221812111zyxzyxzzyxzr因为对于球面波而言其振幅为 当满足近轴条件 时，可有振幅

20、为：rayxU0,11222zzyx10,zayxU（3）相位部分的分析 一般来说 （光波远小于所考察问题的空间线度）在近轴条件下，相位因子可近似为： （4）满足近轴条件下的任意球面波复振幅表达式 r12212zyxzr1221210,zyxjkjkzeezayxU（5）特点： 振幅是与 成反比的常量（不随 的变化而变化） 相位包含两部分，一部分是与 有关的常相位因子 ，另一部分相位在面上呈现二次型分布； 等相线的轨迹方程 常量即以坐标原点为中心的一组同心圆1zyx,1zxy22yx（6）一般情况下的分析 当观察面为 平面，球面中心与坐标原点不重合时，设球面波中心坐标为 时，其复振幅为： 其中

21、： 是点光源强度和 决定的复常数。oxy000,zyx0202020,zyyxxjkeUyxU0U0z当 时，光传播方向与 正方向相同，表示由点光源 发出的发散球面波的复振幅；当 时，光传播方向与 正方向相反，表示由点光源 发出的会聚球面波的复振幅。00zz000,zyx00zz000,zyx 2.3 二维傅立叶变换 231 概述 设 表示物场分布函数，在测量过程中描述物场分布有两种方式：一种为用复振幅描述，常将此定义为“相干照明”；另一种用强度描述，用强度定义“非相干照明”yxg,2.3.2相干照明1.相干照明的傅立叶正变换设： ， 则 2.相干照明的傅立叶反变换 yxffGyxg, dxd

22、yeyxgffGyfxfjyxyx2, yxyfxfjyxdfdfeffGyxgyx2,2.2.3非相干照明1.厄米函数 设 为实函数，其傅立叶变换为 ，当 ，则称为厄米函数。2证明：略yxg,yxffG,yxyxffGffG,3实函数 的傅立叶变换由 则当 为实函数时，有频谱函数的模为偶函数 频谱函数的辐角为奇函数 而反变换为： 在非相干照明时， 表示实函数下的光强分布。yxg,yfxfjyxyxyxeffGffG,yxyxffGffG,yxg,yxyxffGffG,yxyxffff, 00,2cos,2,yxyxyxyxdfdfffyfxfffGyxgyxg,说明：(1)与相干照明不同，在

23、非相干照明中， 只能取正值，负频空间对光强无意义；在付氏变换中。正频 指数基元的幅值与负频 指数基元的幅值相等；相当于方向对称 和的两个平行光；yxff ,yxff ,yxff,yxff,（3） 。即零频占有的能量大于其它频率分量占有的能量。（4）公式的含义yxffGG,0 , 02.4 线性系统和线性空不变系统2.4.1 引言光学系统： 由光学元件组成的，能够将光学物场分布转换成像场分布的数学模型。考虑二维空间函数，其描述有两种形式：一种是将物场的复振幅 转换成像场的复振幅 ；一种是将物场的光强转换成像场的光强表示符号：yxU,yxU,yxg,2.4.2线性系统定义：若某种系统满足如下关系：

24、 则此系统为线性系统。 yxscyxtcyxscyxtc,21212.说明：（1） 为复常数（2） 及 为实函数或复函数，考虑物、像场各点振动是相干的，则它们表示物场的复振幅分布，而 及 表示像场复振幅分布；若物、像场各点振动是不相干的，则它们分别表示物、像场的光强分布21,ccyxt,yxs,yxt,yxs,（3）任何一个物场分布函数都可以表示为无穷多个点基元函数 函数的加权的线性叠加，并可有卷积表示：（4）无穷多个单位冲激函数的叠加作用系统后的结果为单位脉冲响应 ，将无穷多个单位脉冲响应进行叠加即得像场分布函数 ddyxgyxg111111,22yxh ddyxhgyxg,2212222.

25、4.3空不变系统1定义： 若某光学系统，其物函数为 对应产生的像函数为 ，那么当物函数为 时，其空不变系统必须满足 ， 为常数（或放大倍数）111, yxg222, yxg01011,yyxxg02022,MyyMxxgM2.线性空不变系统的脉冲响应设：物平面的单位冲激函数为 ，并位于坐标原点，其脉冲响应（像函数）为 ，当物平面的单位脉冲函数为 时，其脉冲响应为 ，即线性叠加后的像平面为 当 时， yx,yxh,11, yxMyMxh22, ddMyMxhgyxg221222,1M ddyxhgyxg221222,3.线性空不变系统的频域分析设 ， ，由付氏变换的卷积性质有： yxffGyxg

26、,1111yxffGyxg,2222yxffHyxh,22yxyxyxffHffGffG,12说明：（1）称 为系统函数，由它解决系统成像的质量问题； (2)系统的等晕性对光学系统而言，物平面上的一个点光源可以用 函数来描述，通过成像系统后得到一个分布函数 ，而 的函数形式（对空不变系统）将不随 函数的空间位置而变，称此为系统的等晕性。yxffH,hh(3)等晕区等晕区严格的说，绝对的空不变系统是不存在的，严格的说，绝对的空不变系统是不存在的，一般而言，像差的大小与物点位置有关，一般而言，像差的大小与物点位置有关，但对绝大多数光学系统而言，像差随物点但对绝大多数光学系统而言，像差随物点的变化较

27、慢，所以对于整个视场如果不能的变化较慢，所以对于整个视场如果不能满足绝对空不变系统的条件，则可将视场满足绝对空不变系统的条件，则可将视场分解为几个区域，在每个区域内使空不变分解为几个区域，在每个区域内使空不变特性近似成立。这样如此划分的子区域被特性近似成立。这样如此划分的子区域被称之为称之为“等晕区等晕区”，而每个等晕区都有各，而每个等晕区都有各自的脉冲响应自的脉冲响应h菲涅耳衍射菲涅耳衍射 夫琅和费衍射和傅立叶夫琅和费衍射和傅立叶变换变换4.1 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射菲涅耳衍射和夫琅和费衍射4.1.1衍射光场的分类衍射光场的分类按近似条件可分为两类。按近似条件可分为两类。一类一类 菲涅耳近

28、似条件下的近场衍射；菲涅耳近似条件下的近场衍射；一类一类 夫琅和费近似条件下的远场衍射。夫琅和费近似条件下的远场衍射。4.1.2光强分布的三种情况光强分布的三种情况 设在无限大的不透明屏上有一个小圆孔，设在无限大的不透明屏上有一个小圆孔，以单色平行光垂直照明，随观察屏的光强以单色平行光垂直照明，随观察屏的光强分布的不同，可大至分为三个阶段：分布的不同，可大至分为三个阶段：n第一阶段：忽略衍射过程的几何投影区，第一阶段：忽略衍射过程的几何投影区，此阶段为光的直线传播；此阶段为光的直线传播；n第二阶段：当观察屏与衍射屏有一段距离第二阶段：当观察屏与衍射屏有一段距离后，观察屏的光强分布与圆孔的直接几

29、何后，观察屏的光强分布与圆孔的直接几何投影发生偏离，衍射花样随两个屏的距离投影发生偏离，衍射花样随两个屏的距离变化，中心的图形出现明、暗交替变化，变化，中心的图形出现明、暗交替变化，此阶段为近场衍射区域；此阶段为近场衍射区域；n第三阶段：当两个屏之间距离足够大，观第三阶段：当两个屏之间距离足够大，观察屏出现是不变的衍射花样，中央是圆形察屏出现是不变的衍射花样，中央是圆形明区，常称之为明区，常称之为“爱里斑爱里斑”图样，此阶段图样，此阶段为为“远场远场”衍射。衍射。4.1.3菲涅耳近似菲涅耳近似1.脉冲响应脉冲响应设无穷大不透明屏上有一孔径为设无穷大不透明屏上有一孔径为 ，其坐标，其坐标为为 ，

30、并设观察屏上的坐标是并设观察屏上的坐标是 ，且衍射屏与，且衍射屏与观察屏间距离为观察屏间距离为11,x y, x yz根据瑞利根据瑞利索末菲衍射公式可有观察屏上索末菲衍射公式可有观察屏上的光场复振幅分布：的光场复振幅分布：其中：其中： 是衍射屏后的复振幅；是衍射屏后的复振幅； 而而 为脉冲响应为脉冲响应 0111111, ,U x yUx y h x y x y dx dy 011,Ux y11, ,h x y x y其中：其中： 是观察屏是观察屏 的点到衍射屏的点到衍射屏 的的点的矢径点的矢径 与与 面元面元 外法线的夹外法线的夹角。角。111, ,cosjkreh x y x yn rjr

31、 22211rzxxyyn r , x y11,x yr11,x yds说明：（说明：（1）近似条件下的脉冲响应）近似条件下的脉冲响应 近似条件：近似条件：其中：其中： 为孔径为孔径 上的最大距离；上的最大距离； 为观为观察范围的线度察范围的线度 脉冲响应：脉冲响应： zabzab111, ,jkrh x y x yej z倾角因子的分析：倾角因子的分析： 按近似条件，其脉冲响应中的倾角因按近似条件，其脉冲响应中的倾角因子子 ，由三角函数的取值，由三角函数的取值有有 ，则，则当夹角当夹角 ，精度可高于，精度可高于95%cos n r 10coscos180.9511 1n r 10结论：当满足

32、夹角取值结论：当满足夹角取值 时，振幅部分时，振幅部分中的中的 可代替可代替 ，而对相位部分而对相位部分 很小，其很小，其 很大，所以很大，所以 不大的误差也会使相位远大于不大的误差也会使相位远大于 ，所以，所以不能用不能用 来代替来代替 。10zrkr2rz考虑相位因子：将考虑相位因子：将 做牛顿二项式展开做牛顿二项式展开 起起 ，则上式的展开式为：，则上式的展开式为：（45） 2121212121 zyyzxxzyyxxzrr1cosrn 332121221218211zyyxxzyyxxzr4.菲涅耳近似菲涅耳近似 当衍射孔径和观察范围确定后，只要当衍射孔径和观察范围确定后，只要 足够大

33、即满足足够大即满足 ，对相位，对相位因子就可以将高阶小项忽略掉。由此可得因子就可以将高阶小项忽略掉。由此可得菲涅耳近似条件即：菲涅耳近似条件即： 这个近似的关键在于：用二次曲面替代这个近似的关键在于：用二次曲面替代了球面的惠更斯子波。了球面的惠更斯子波。zzbza,zyyxxzr22121脉冲函数为脉冲函数为 zyyxxzr221215菲涅耳衍射的复振幅表达式（菲涅耳近场菲涅耳衍射的复振幅表达式（菲涅耳近场衍射公式）衍射公式） 1111110,;,dydxyxyxhyxUyxU 1121102121,dydxeyxUzjezyyxxjkjkz6菲涅耳衍射区域菲涅耳衍射区域 定量描述什么样的区域

34、为近场区域。定量描述什么样的区域为近场区域。仍然以关心相位因子的近似作为讨论问题仍然以关心相位因子的近似作为讨论问题的前提。的前提。(1)菲涅耳衍射的条件菲涅耳衍射的条件充分条件：令充分条件：令 32212182zyyxx其中其中 允许取观察范围内的任何值；允许取观察范围内的任何值； 可以起孔径内的任何值。可以起孔径内的任何值。 若使菲涅耳近似条件成立，若使菲涅耳近似条件成立， 仍远小仍远小于于 ，即，即（47） yx,11, yx228232max2121zyyxx2max2121381yyxxz必要条件必要条件 下列近似等式成立下列近似等式成立 11821103221212121,dydx

35、eeyxUzyyxxjkzyyxxjk 1121102121,dydxeyxUzyyxxjk 4.1.4夫琅和费近似夫琅和费近似1.夫琅和费近似夫琅和费近似当进一步增大当进一步增大 使菲涅耳衍射的复振幅表达使菲涅耳衍射的复振幅表达式中相位因子与式中相位因子与 无关，对相位因子无关，对相位因子的的影响也可忽略，即满足近似式影响也可忽略，即满足近似式 (4-9)zyx,zyyxxyxjkzyyxxjkee222211222121即对于即对于 一切可能最大值中满足下列一切可能最大值中满足下列条件条件 即即 此式为夫琅和费近似此式为夫琅和费近似2121yx222max2121zyxmax212121y

36、xz2.夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式 11211021122,1,dydxeyxUeejzyxUyyxxzjzyxjkjkz3.说明说明（1）夫琅和费近似下）夫琅和费近似下 的取值范围的取值范围 菲涅耳近似下菲涅耳近似下 的取值范围的取值范围max212121yxz2max212181yyxxzzz（2）在计算衍射问题中，精度不同，要求）在计算衍射问题中，精度不同，要求 的取值范围不同，一般说来，常用的取值范围不同，一般说来，常用 来来估算估算 的取值范围。的取值范围。（3）两类衍射的关系）两类衍射的关系 满足夫琅和费近似，就一定满足菲涅耳近满足夫琅和费近似，就一定满足菲涅耳近似。似。z1

37、0z4.2 夫琅和费衍射夫琅和费衍射4.2.1夫琅和费近似范围夫琅和费近似范围但一般情况下，但一般情况下， max212121yxzz4.2.2夫琅和费衍射公式与傅立叶变换夫琅和费衍射公式与傅立叶变换1.傅立叶变换式傅立叶变换式夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式dxdyeyxgffGyfxfjyxyx 2,结论：结论：(1)积分是衍射屏后复振幅积分是衍射屏后复振幅 的傅立叶的傅立叶变换；变换；(2)若单位振幅的平面波垂直照明到衍射屏上，若单位振幅的平面波垂直照明到衍射屏上，则这个积分就是孔径函数（或衍射屏的透则这个积分就是孔径函数（或衍射屏的透过率函数）的傅立叶变换。过率函数）的傅立叶变换。(3

38、)二者关系二者关系 110, yxU1102,22yxUFezjeyxUzyxjkjkz2.说明说明 （1）空频之间的变换关系）空频之间的变换关系 ， （2）若用衍射屏的透过率函数来描述衍射）若用衍射屏的透过率函数来描述衍射花样，按夫琅和费衍射的条件，则入射光花样，按夫琅和费衍射的条件，则入射光必须是平行光，即光源、观察屏均距离衍必须是平行光，即光源、观察屏均距离衍射屏为无穷远射屏为无穷远.若只要求观察面上的光场若只要求观察面上的光场分布，只需满足观察屏距离衍射屏足够远分布，只需满足观察屏距离衍射屏足够远即可。即可。 zxfxzyfy（3）衍射花样实质就是观察屏上的强度分布，）衍射花样实质就是

39、观察屏上的强度分布，而强度分布是由而强度分布是由 所决定的。所决定的。（4）满足夫琅和费的观察屏，可以看成是衍）满足夫琅和费的观察屏，可以看成是衍射屏后复振幅分布射屏后复振幅分布 所对应的频谱所对应的频谱面面 观察屏观察屏 频谱面频谱面 二者构成一对付氏变换对二者构成一对付氏变换对110, yxUF110, yxU3.计算步骤计算步骤第第1步：根据照明光场的分布和衍射屏透过率步：根据照明光场的分布和衍射屏透过率特性写出特性写出第第2步：求步：求第第3步：将步：将 的变换关系代入的变换关系代入观察屏复振幅表达式中得观察屏复振幅表达式中得 110, yxU110, yxUFzyfzxfyx,4.2

40、.3 几种典型的夫琅和费衍射几种典型的夫琅和费衍射1.矩形孔的夫琅和费衍射矩形孔的夫琅和费衍射设矩形孔的边长分别为设矩形孔的边长分别为 ，并取单位振，并取单位振幅的平行光垂直照明，幅的平行光垂直照明，衍射屏后表面的复振幅为衍射屏后表面的复振幅为 ，衍射屏，衍射屏的透过率函数为的透过率函数为 yxLL ,110, yxU11, yxt显然显然 将此代入夫琅和费衍射公式中，将此代入夫琅和费衍射公式中，yxLyrecLxrecyxtyxU1111110,1102,22yxUFezjeyxUzyxjkjkz确定确定 将变换关系式代入将变换关系式代入 可有可有 yyxxyxyxfLfLsicLLLyre

41、cLxrecFyxUF,;,11110zyfzxfyx,zyLsiczxLsicLLezjeyxUyxyxzyxjkjkz222,进一步得到衍射花样的强度分布进一步得到衍射花样的强度分布 zyLsiczxLsiczLLyxUyxUyxIyxyx22222,结果分析：结果分析：（1）在）在 处，处， 取最大值为取最大值为 ；（2） 与距离与距离 的平方成反比，与孔的平方成反比，与孔径面积平方成正比；径面积平方成正比；（3）第一个零值点为）第一个零值点为 轴：轴： ， 轴：轴： 0 yxI222max0 , 0zLLIIyxyxI,zxxLzxyLzyy(4) 轴上中央最大值的宽度为：轴上中央最大

42、值的宽度为： 轴上中央最大值的宽度为：轴上中央最大值的宽度为： (5)衍射花样具有周期性，衍射花样具有周期性， 方向的空间周期为：方向的空间周期为： 方向的空间周期为：方向的空间周期为： xxLz2yyLz2xyxLzyLz2.园孔夫琅和费衍射园孔夫琅和费衍射采用极坐标，衍射屏的坐标为采用极坐标，衍射屏的坐标为 ，观察，观察屏的坐标为屏的坐标为 ，园孔直径为，园孔直径为 。取单位振幅的平面波垂直照射取单位振幅的平面波垂直照射衍射屏后表面的复振幅为衍射屏后表面的复振幅为衍射屏的透过率函数为衍射屏的透过率函数为11,r, rl 10rU 1rt显然显然 由夫琅和费衍射公式由夫琅和费衍射公式 lrc

43、irlrcirrtrU1111022 zrzrjkjkzrUFezjeyxU1022,由可分离变量的付氏变换，对其园对称函数由可分离变量的付氏变换，对其园对称函数可做付可做付贝变换贝变换 此处此处 ，所以，所以 aGaargBr021la2aaJllGllrcirB222212120212212llJl将将 代入得：代入得：zr 2122222kzrjkjkzzlrzlrJlezjerUzklrzklrJzjkleezrjkjkz22281222衍射花样的强度分布：衍射花样的强度分布： 2122228zklrzklrJzklrUrUrI结果分析：结果分析：(1)此强度分布又称：爱里图样。中央亮

44、斑为此强度分布又称：爱里图样。中央亮斑为 “爱里斑爱里斑”，其半径为，其半径为(2) 在整个在整个 面上，爱里图样分布呈现园对面上，爱里图样分布呈现园对称称。lzr22. 1xy3.正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射正弦型振幅光栅的夫琅和费衍射(1)问题的提出：问题的提出：(a)作为光波的复振幅包括振幅和相位两部分，作为光波的复振幅包括振幅和相位两部分，这两部分的分布都会产生衍射。作为衍射这两部分的分布都会产生衍射。作为衍射屏除了可以反映对光振动的幅值变化，同屏除了可以反映对光振动的幅值变化，同时光场中光程的不同，也可使衍射屏表现时光场中光程的不同，也可使衍射屏表现出对光波的相位延迟。出对光波的相位

45、延迟。(b)由前面所讨论的衍射物，都是无限大不透由前面所讨论的衍射物，都是无限大不透明屏上开有不同形状，作为屏的复振幅透明屏上开有不同形状，作为屏的复振幅透过率函数都具有过率函数都具有 ， 但衍射屏的情况并非都取如上形状，那么但衍射屏的情况并非都取如上形状，那么如果形状不同，透过率函数会有何不同，如果形状不同，透过率函数会有何不同，从而导致衍射花样回发生怎样的变化。从而导致衍射花样回发生怎样的变化。01,11yxt(c)由于衍射屏的特点。一般而言由于衍射屏的特点。一般而言 是是一复函数，其模表示振幅的透过率，取值一复函数，其模表示振幅的透过率，取值为为1（全透明）和零（不透明）之间，其（全透明

46、）和零（不透明）之间，其辐角可以取任何值辐角可以取任何值11, yxt(2)正弦型振幅光栅的复振幅透过率函数正弦型振幅光栅的复振幅透过率函数 其中：其中： 表示边长为表示边长为 的正方的正方形孔径；形孔径； 表示光栅的空间频率；表示光栅的空间频率；lyreclxrecxfmyxt1110112sin221,lyreclxrec11l0f02sin221,1011xfmyxt其它（孔外）lylx1100孔内孔内（3）夫琅和费复振幅分布）夫琅和费复振幅分布采用单位振幅的平面波垂直照明采用单位振幅的平面波垂直照明 ，此时光栅后表面的复振幅为此时光栅后表面的复振幅为光栅透过率函数为则有光栅透过率函数为

47、则有 则有则有1m110, yxU11, yxt10110112sin221,xfmyxUyxt夫琅和费衍射的复振幅分布为：夫琅和费衍射的复振幅分布为：而而112,22yxtFezjeyxUzyxjkjkzlyreclxrecFxfmFyxtF1110112sin221,yxyxyxyxflsicflsicjmfffjmfffjmff,4,4,4,2100将变换式代入：将变换式代入： 可得复振幅：可得复振幅：zyfzxfyx,zfxzlsicjmzfxzlsicjmzlxsiczlysiceezjlyxUzyxjkjkz0022222,22（4）衍射花样的强度分布）衍射花样的强度分布zfxzl

48、sicjmzfxzlsicjmzlxsiczlysiczlyxI00222222,zfxzlsicjmzfxzlsicjmzlxsic0022结果分析：结果分析：（a）中央最大值宽度均为）中央最大值宽度均为 ；（b）其后各次极大值的宽度均为）其后各次极大值的宽度均为 ；（c）抽样函数分别向）抽样函数分别向 轴正向和负向移动轴正向和负向移动距离为距离为lz2lzxzf0（d）当）当 时，两个抽样函数的时，两个抽样函数的乘积为小量，可忽略。则强度分布中两个乘积为小量，可忽略。则强度分布中两个抽样函数的交叉项不存在。此时两个抽样抽样函数的交叉项不存在。此时两个抽样函数最大值的间隔比抽样函数中央最大值

49、函数最大值的间隔比抽样函数中央最大值的宽度大得多。的宽度大得多。（e）光栅常数）光栅常数 正弦光栅的空间周期正弦光栅的空间周期lzzf2001f（5）正弦光栅（振幅型）的色散和分辨本领）正弦光栅（振幅型）的色散和分辨本领 线色散线色散 对于正弦型光栅只有对于正弦型光栅只有 级分量（与矩形级分量（与矩形光栅不同）光栅不同）由正弦型光栅的强度分布可知所有波长的由正弦型光栅的强度分布可知所有波长的零级分量的极大值都位于零级分量的极大值都位于 处，故零处，故零级分量的色散级分量的色散=0，分辨本领，分辨本领=0。而正一级。而正一级极大值的位置由方程极大值的位置由方程 确定确定 则线色散为：则线色散为：

50、 ddx1, 0 0 x00zfxzfx0zfddx0 分辨本领分辨本领设若设若 和和 是满足瑞利判据是满足瑞利判据恰好恰好分开的两个波长，则它们的最大值分开的两个波长，则它们的最大值位置对应为位置对应为 和和 由一级极大值方程可有的方程由一级极大值方程可有的方程 111xlzx11zfx101对应对应 的方程为：的方程为： 两式相减两式相减 分辨本领：分辨本领： 其中其中 为光栅总条数。为光栅总条数。 正弦光栅的分辨本领由总条数决定，与正弦光栅的分辨本领由总条数决定，与 无关。无关。lzx1111011zflzx11lf0lf0z4.正弦型相位光栅的夫琅和费衍射正弦型相位光栅的夫琅和费衍射（

51、1）光栅透过率函数）光栅透过率函数 相位型正弦光栅是透明的，对入射光波其相位型正弦光栅是透明的，对入射光波其衍射屏保持振幅不衰减，衍射是由相位延衍射屏保持振幅不衰减，衍射是由相位延迟引起的；该光栅迟引起的；该光栅lyreclxreceyxtxfmj112sin21110,1m2.透过率函数的付氏变换透过率函数的付氏变换采用单位振幅的平面波垂直照明，则衍射采用单位振幅的平面波垂直照明，则衍射屏后表面的复振幅为屏后表面的复振幅为其中：其中： 是是 阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数110, yxU101022sin2111102,xqfjqqxfmjemJeyxtyxUqJq 对此式取付氏变换对

52、此式取付氏变换lyreclxrecFeFyxtFyxUFxfmj112sin21111010,yqxyxqlfsiclfsiclfqffmJ20,2qxqyqfflsicmJlfsicI022夫琅和费衍射的复振幅夫琅和费衍射的复振幅夫琅和费衍射花样的强度分布夫琅和费衍射花样的强度分布 考虑近似条件考虑近似条件 时时qqzyxjkjkzzqfxzlsicmJzlysiceezjlyxU0222,22lf20zqfxzlsicmJzlysiczlyxIqq022222,结果分析：结果分析：（1）第）第 级与第级与第 级分量最大值之间距级分量最大值之间距离为离为 ；（2）每个分量中央最大值的宽度为；

53、）每个分量中央最大值的宽度为；（3）相位延迟可以大于）相位延迟可以大于 弧度，所以弧度，所以（4）相位型各级极大值衰减很小，且根据的）相位型各级极大值衰减很小，且根据的取值决定了相位型光栅有取值决定了相位型光栅有q1qzf0lz2211m2, 1, 0（5）每一级分量的最大值大小由）每一级分量的最大值大小由 决定，不同的值，其不同决定，不同的值，其不同（6）零级色散）零级色散=0，分辨本领，分辨本领=0。22mJq22mJq4。3 菲涅耳衍射菲涅耳衍射431 菲涅耳衍射公式的两种形式菲涅耳衍射公式的两种形式1121102121,dydxeyxUzjeyxUzyyxxjkjkz zyxjkjkz

54、eyxUzje211022, 菲涅尔衍射的实质就是从菲涅尔衍射的实质就是从 到到是一种线性空不变的变换。是一种线性空不变的变换。当完全是几何投影（直线传播）时，衍射当完全是几何投影（直线传播）时，衍射屏上的复振幅屏上的复振幅 与观察屏上的复振与观察屏上的复振幅幅 完全相等；完全相等；110, yxUyxU,110, yxUyxU, 当衍射发生时，衍射屏上每个小面元的当衍射发生时，衍射屏上每个小面元的复振幅复振幅 按脉冲响应按脉冲响应 的形式扩展，而观察屏上每一点的形式扩展，而观察屏上每一点 的的复振幅复振幅 是所有是所有 扩展后在扩展后在该点引起的复振幅的相干叠加（即可表示该点引起的复振幅的相

55、干叠加（即可表示为空域的卷积）；为空域的卷积）；11110,dydxyxUyxh,yx,yxU,110, yxU 若将菲涅耳看成是一种变换时，则需引入系若将菲涅耳看成是一种变换时，则需引入系统函数统函数由于脉冲响应为由于脉冲响应为 所以所以zyyxxjkjkzezjeyyxxh2112121,yxhFyyxxhFffHyxyx,01111zyxjkjkzezjeF22222yxffzjjkzee系统函数是系统函数是 的点扩展函数的点扩展函数 的付氏变换的付氏变换011 yxyxh, 11221102111122,dydxeeyxUezjeyxUyyxxzjzyxjkzyxjkjkzzyxjkz

56、yxjkjkzeyxUFezje21102212122,第二种形式：第二种形式： 菲涅耳衍射是菲涅耳衍射是的傅立叶变换。的傅立叶变换。由于由于 中包含中包含 的二次相的二次相位因子，在一定条件下，它可与位因子，在一定条件下，它可与 相相消，则此时菲涅耳衍射就成为衍射屏透过消，则此时菲涅耳衍射就成为衍射屏透过率函数率函数 的傅立叶变换，这种情况的傅立叶变换，这种情况下，菲涅耳衍射的计算会变得十分简单。下，菲涅耳衍射的计算会变得十分简单。zyxjkeyxU21102121,110, yxU11, yxzyxjke2212111, yxt4.3.2会聚光照射下的菲涅耳衍射会聚光照射下的菲涅耳衍射1衍

57、射屏的复振幅衍射屏的复振幅采用会聚球面波照明衍射屏，设衍射屏的复采用会聚球面波照明衍射屏，设衍射屏的复振幅透过率函数为振幅透过率函数为 ，并设观察，并设观察屏与屏与衍射屏平行且照明会聚球面波的中心通过衍射屏平行且照明会聚球面波的中心通过观察屏，该中心的坐标观察屏，该中心的坐标 用表示。用表示。110, yxU11, yxtYX,在近轴条件下，衍射屏上的复振幅为在近轴条件下，衍射屏上的复振幅为 其中：其中： 为观察屏到衍射屏间的距离；为观察屏到衍射屏间的距离； 为照明光源强度确定的常量。为照明光源强度确定的常量。zYyXxjkezayxU201102121,z0a2观察屏的复振幅分布观察屏的复振

58、幅分布令：令： 同时令同时令则观察屏的复振幅为：则观察屏的复振幅为： 112112220112222,dydxeyxteezjeayxUzYxyzXxxjzYXjkzyxjkjkz20zjeaCjkzyxffTyxt,11yxzYXjkzyxjkzYXjkzyxjkffTeeCyxtFeeCyxU,22112222222222其中其中 zxfxzyfyzYyzXxTeeCyxUzYXjkzyxjk,2222223.说明说明（1）该式表示观察屏在）该式表示观察屏在 方向发生位移方向发生位移 的复振幅表达式的复振幅表达式（2）与）与 有关的相位因子有关的相位因子 对强度分布无影响；同时对已确定的会

59、聚对强度分布无影响；同时对已确定的会聚球面波它也只是常相位因子，故对相位分球面波它也只是常相位因子，故对相位分布也无影响；布也无影响；yx,YX,YX,zYXjke222（3）结论）结论 以会聚球面波照明衍射屏，在通过会聚中以会聚球面波照明衍射屏，在通过会聚中心的平面上观察菲涅耳衍射花样，它与以心的平面上观察菲涅耳衍射花样，它与以平行光垂直照明该衍射屏时的夫琅和费衍平行光垂直照明该衍射屏时的夫琅和费衍射一样，只是中心不在原点，而在会聚球射一样，只是中心不在原点，而在会聚球面波的球心。面波的球心。第五章第五章 透镜的傅立叶变换透镜的傅立叶变换概述概述 夫琅和费衍射分布是平行光照射下的衍射夫琅和费

60、衍射分布是平行光照射下的衍射屏透过率函数屏透过率函数 的傅立叶变换；的傅立叶变换； 菲涅耳衍射分布是以会聚球面波照明，在菲涅耳衍射分布是以会聚球面波照明，在通过球心的观察屏上的复振幅分布也是通过球心的观察屏上的复振幅分布也是 的傅立叶变换。的傅立叶变换。 透镜是光学系统中最基本的元件，本章解透镜是光学系统中最基本的元件，本章解决透镜在什么条件下能实现傅立叶变换及决透镜在什么条件下能实现傅立叶变换及透镜傅立叶变换的性质。透镜傅立叶变换的性质。11, yxt11, yxt5.1 光波通过薄透镜后相位变化光波通过薄透镜后相位变化5.1.1 基本概念基本概念1描述透镜的物理量描述透镜的物理量 设透镜是