微分中值定理及其应用

1、第五章微分中值定理及其应用§ 1微分中值定理引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。这样一来，类似于求已知曲线 上点的切线问题已获完美解决。但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样 计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。另一方面，我们注意到：（1 ）函数与其导数是两个不同的的函数；（2 ）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间 建立起一一联系一一搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单

2、调性、极值、凹凸性质）方面的应用。一 费马定理定义1 （极值）若函数f在区间X上有定义，X。，X。若存在X。的邻域O（x0,.），使得对于任意的x O（Xo,、），有f X d -f X），则称f在点Xo取得极大值，称点X。为极大值点。若存在X。的邻域O（x。，、）， 使得对于任意的xU（x。），有f（X。）空f（X），则称f在点X。取得极小值，称点X。为极小值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。极值存在的必要条件一一费马定理费马定理 若函数在点X。的邻域内有定义，且在点 X。可导。若X。为f的极值点，则比有f （x°）=0。几何意义：可导极值点的切线平行于

3、X轴。由费马定理可知，可导极值点是稳定点，反之不然。如f（x）=x3,点x=0是稳定点，但不是极值点。二中值定理Lagrange定理 若函数f满足以下条件：（1）f在la, b】上连续；（2）f在a, b ）内可导。则在 a, b内 至少存在一点，使得f （ J = f （b） 一 f （a）。b-a特别地，当f（a）=f（b）时，有如下Rolle定理：Rolle定理 若f满足如下条件：（1）f x在la,b】上连续；（2） g x在a, b ）内可导；（3）f（a）二f （b）， 则存在三ia, b，使得f （）二。如把曲线弧 AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理：Cauchy定理 若函

4、数f x，g x满足如下条件：（1）（ 1） f x在a, b 1上连续；（2）g x在a, b内可导；(3) g x -0。 在存在© e ( 1) f(x)在a,b上连续；(2) g(x)在(a, b)内可导。使得f ( ) f (b)- f (a)=og ( ) g(b)-g(a)说明(1) 几何意义：Rolle :在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线(在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线)；Lagrang :可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线；Cauchy :视为曲线的参数；u=f(x)，v=g(x)，x a,b，则以v为横坐标，u为

5、纵坐标可得曲线上有一点，该处 切线与曲线端点连线平行。(2) 三个定理关系如下：Rolle«±匕W Lagrang 竺Cauchy(3) 三个定理中的条件都是充分但非必要。以Rolle定理为例，三个条件缺一不可。1)不可导，不一定存在；2)不连续，不一定存在；3) f(a) =f(b)，不一定存在。“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有f ( J = 0的情形发生。如y=sgnx，x：=-1,1不满足Rolle定理的任何条件，但存在无限多个：八=(-1,1)，使得f)=0。( 4) Lagra ng定理中涉及的公式：f ()二f (b) - f

6、 (a)称之为“中值公 b-a式”。这个定理也称为微分基本定理。中值公式有不同形式：(i) f(b)-f(a)= f ( ) (b-a) ,(a,b) ； (ii)f(b)-f(a)= f (a (b-a)"(b-a), 0< 二 <1 ； (iii) f(a+h)-f(a)= f (a h)h , 0<二<1.此处，中值公式对 a<b, a>b均成立。此时 在a, b之间；(ii)、(iii)的好处在于无论 a, b如何变化，二(0,1)易于控制。三中值定理的一些推论1、 Rolle定理的推论：若f在捲，X2上连续，在(论，X2)内可导，f (x

7、j = f(X2)= 0，则存在：(捲出), 使得f)=0 (简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点)。2、Lagrang定理的推论：推论若函数f在区间I上可导，且f (x) = 0, x I，则f为I上的一个常量函数。几何意义：斜率处处为 0的曲线一定是平行于 x轴的直线。推论 若函数f和g均在I上可导，且f (x) =g (x) , x I，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C,使得f(x) =g(x) V。例:设 f 引a,b,在a b 连续可微，在(a,b)二阶可微，且 f (a) = f (b)= f"(a)=0 ,证明：f"(x)=0 在(

8、a,b)中至少有一个根。例：设f (x) = x4 -2x2 x，证明f (x)于(0, 2)中至少有一根。例：证明：当a>b>0时，LlB ：|门2 :色辿。a b b例：证明：| sinx_sin y 凶 x_y|, -x, y R。§ 2.泰勒公式一利用导数作近似计算1 近似计算前已描述，如果y =f(x)在x0点可微，则当x很小时，有f(x0 ：x) ： f (x0) f (x0). x，亦即，当x Xo时有f(x) ： f(xo) f (Xo)(X-X。)(用导数作近似计算公式)。注：导数作近似计算公式常用于：直接计算f x比较困难，而在x点附近一点X。处的函数

9、值f(x0)的导数f(X。)却都比较容易求得。60例：求sin Z二的近似值。例：计算.4.01的近似值。把 f (x) ：“ f (x0) f(x()(x-x0)用于具体函数，可得：sinx：“x，tanx、x，ln(1xpx，ex: V x。2 误差估计实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值。要知道这些数据的准确程度，就必须估计这些数据的近 似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计。一般地，如果一个量 A的近似值为a,那么:. =|A-a|叫作绝对误差，而/a叫作相对误差。一般地，对函数 y二f x，若x是由测量得到的，如果由 x计算y时，x有误差x，则y有绝对误差f (x) x和相

10、对误差例：测得一球体的直径为 42cm，测量工具的精度为 0.01cm，试求此直径计算球体积时所起的误差。 二泰勒公式不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来 很大的方便。一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个 函数本身得出我们所需要的多项式呢？前面讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式;f(X)二 f(X°) f (X°)(X -X0)O(X -X。)即在Xo附近，用一次多项式 Pi(X)二f(X。) f(X°)(XX。)

11、逼近函数f(X)时，其误差为0(X-Xo)。然而，在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求 误差为o(x-Xo)n)，其中n为多项式次数。为此，有如下的n次多项式：Pn(x) =a° ai(x -Xo) III an(x Xo)n易见：Xo的取ao二Pn(xo) , ai二, a2二日皿，a Pn (Xo)(多项式的系数由其各阶导数在 1!2!n!值唯一确定)。定理 若f(x)在x =Xo点有直到n 1阶连续导数，那么：Xo)+川+(X-Xo)n+1l(X-Xo：T， 1!n!(n +1)!其中在Xo与X之间。这就是泰勒公式。余项称为拉格朗

12、日余项。注：带有皮亚诺余项的泰勒公式f x0)f (n)(x)nnf(X)=f(X°)丄(X-Xo)丄(X-Xo)O(X-X。)1!n!o(x -Xo)n)的余项称为皮亚诺余项。常见的麦克劳林公式2nxX Xne = 1 xo( x )2!n!sin x35X X=x3!5!IN (-1)mJ2m4X(2m -1)!o(x2m)242mXXm x2m 1cosx =1(T)o(x )2!4!(2m)!23nln(1 x) =x -1)n4 o(xn)23n(1 X)'iX 宁 *.川.：(T)川(：- n 1) n!o(xn)h x X2Xn o(xn)(2)带Lagrang

13、e型余项的麦克劳林公式2n71Z x；川:話Xn1x R - (0,1)52mxm 1 xm COS T1 X 2m -1sin x 二 x(-1)(一1)x5!(2m-1)!(2m+1)!3!x R,二（0,1）2,xcosx =1 一2!4!4-(-1)m_m1 COX 严(2m)!(2m 2)! (0,1)2xln(1 x) = x -233n二(_1)池(_1)3nxn1n(n 1)(1 rx)n 1"(0,1)(1 八，x i川"n!x-1，八(0,1)1n卅rr1 x x2 川 xn 亠x：1，/(0,1)例:例:例:写出 f (x)二 e 2 的 Maclau

14、rin 公式， 求In x在x = 3处的Taylor公式。x_2, cosx -e2limx_0并求 f(98)(0)与 f (100)(0)。例:（1）计算e的值，使其误差不超过10;（2）证明e为无理数。§ 3函数的升降、凸性与极值一函数的上升与下降定理1设f（x）在区间la, b 1上可导，则f（x）在la, b 上递增（减）二f （x） _ 0（空0）.注（1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间。例： 设f （x） =X3 x，试讨论函数f的单调区间。（2） 从实现充分性的证明中发现，若f（X） 0（ :： 0）= f（X2） f （X1）（f（X2）

15、： f（X1），即f严格递 增（减），从而有如下推论：推论 设函数f在区间la,b 1连续，在a,b可微，若（x） 0（： 0）且不变号，则f在I a, b上严格递 增（减）。（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件。例：证明等式：当x = 0时，ex 1 x3X例：证明：当x 0时，sinxx 例：已知f(x)f(x)=O，证明：f(x)=O至多只有一个根。sin x例：证明方程：x0只有一个根x = 0。2二函数的极大值和极小值函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个重要特征。Fermat定理告诉我们：若函数 f在点X。可导，且X。为f的极值点，贝U f

16、(沧)=0，即可导函数f在点 Xo有极值的话，必有 f(X。)=0。进一步的问题是：如果 y二f x在点X。不可导，它有没有可能在 X。点取 得极值呢？回答是肯定的，例如 y=x，在x=0不可导，但在x = 0有极小值。定理2若X。是f x的极值点，那么f(X。)=0或f x在点X。不可导。把这两类点称为“极值可疑点”或“可疑极值点”。如何来判定一个极值可疑点且又是真正的极值点呢？定理2 (极值判别法之一)设f(X)点X。连在续，在 X。- X。和X。，X。亠门内可导，那么(1) 若当 x(X。-、,X。)时，f (x) : 0 ； 当 x(x°,x。、)时，f (x)0 ,则 X。

17、为极小点；(2) 若当 x (X。-X。)时，f (x)0 ；当 x (x°,x。r)时，f (x。)：:： 0，则 X。为极大点；(3) 若f (X)在(X。-X。)和(x°,x。，)内不等号，则点X。不是极值点。若f是二阶可导函数，则有如下判别极值的方法：定理3(极值判别法之二)设f(X。)=0 , (1)若(X。)：0，则fx0是极大值；(2)若f(X。)0 ,则f x0是极小值。例：求f (x) =(2x-5)3 x2的单调区间、极值点和极值。2 432例：求f(x) =x的极值点与极值。x例：试求函数y = f (x) = x4(x-1)3的极值。三函数的最大值与

18、最小值若f (x)在la,b 1连续，则f(x)在la,b 1上一定有最大、最小值。这为求连续函数的最大、小值提供了理论保证，问题是如何求出最大、小值呢？函数在La, b 1上最大(小)值可能在x = a或b取得，也可能在 a, b 内取到，若在a, b内取得，则最大(小)值点一定是极大(小)值点。于是，为求f在a,bl 上的最大(小) 值，可按以下步骤进行：(1)求出y、f (x) =0在a, b内的点，和y = f x在a, b内不可导的点，并求出相应的函数值；(2)计算 fa , f b ；(3)把上述函数值作比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值。321 5例：求函数f(x)彳2x

19、_9x 12x|在-,上的最大值与最小值。例：剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒，问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容 积最大？四函数的凸性引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的。为了更深入和较精确地掌握 函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系。什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性。如函数y二、亍所表示的曲线是向上凸的，而 y =X2所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的。或更 准确地说：从几何上看，若 y= f(x)的图形在区间I上是下凸的，那么连接曲

20、线上任意两点所得的弦在曲线的 上方；若y= f(x)的图形在区间I上是上凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方。从而有以下 定义：定义1 设函数f (x)在la, b 1连续，若对la, b 1上任意两点x1、x2和任意实数-(0,1)总有 f ( X十(1 九)冷声k f (x片(1九f x ,)则称f为【a, b上的下凸函数。反之，如果总有 f ( * (1-%)x2) _ f (x1) ( ') f (x2)，则称 f 为 l 上的上凸函数。定义2设曲线y二f x在点(xg, f(x。)的一边为上凸，一边为下凸，则称(X。，f(x。)为曲线的拐点。注：右(X。，f (x

21、。)是曲线y = f x的一个拐点，y = f x在点x。的导数不一定存在，如y 在x = 0的 情形。定理4 (凸函数与二阶导数的关系 )设f x在a,b二阶可导，则(1) 若在a, b内f” x ： 0 ,则f x在a, b为上凸；(2) 若在a, b内f” x0,则f x在a, b为下凸。定理5 (拐点必要条件)若(x。，f(x。)为拐点，则要么(1) f (x0H0 ;要么(2) f在x0点不可导。3、应用x2例：(1)讨论函数f (x)2的下凸和上凸区间，并求拐点。1 +xa b c例：证明不等式(abc) 3- aabbcc，其中a, b, c均为正数。§ 4平面曲线的曲

22、率什么是曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长s有关，并且-一 - A<P-_ 一曲率与成正比，与.is成反比。即一般曲线的弯曲程度可用k，其中k :曲线段AB的平均变化率;AS 曲线段AB上切线方向变化的角度； s:曲线段AB的弧长。定义1称极限K = lim limB# As2 氐s为曲线在A点的曲率。1称为曲线在A点的曲率半径。K二、弧长的微分(1) 若弧的方程为y = fx a_x_b ， f'x 在 la, b 1 连续，则 ds=1 f '2(x)dx ；(2) 若弧的方程为x 二 t , yt小，则(3) 若

23、弧的方程为r -:- - -，则ds 二 ds 二 I2一 '2 d 丁。三曲率的计算设曲线的方程为y=f xjia_x_b ，y = y(x)二阶可微，则在点x处的曲率rctgy，斤以誉晋二d J者dx，又因为妇科dx，所以1 y23/21 2 例：求yx2在任一点的曲率。2过点(x, f x 且与y =y(x)在该点有相同的一阶及二阶导数的圆(x-a)2 (y-b)2二R2称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。1 2例：求y x在点(o,o)的曲率和曲率半径。2§ 5.待定型0一及 待定型0 :1什么是不定式极限在求极限时，若分子和分母的极限都趋于0，

24、则把这种类型的极限称为“ -”型的不定式极限。00O0除了兰型不等式极限外，还有许多类型的不等式极限，如：(i) 一型；(ii)型；(iii) 0 :型;0DO0qQ(iv) 0°型；(v) 1 :型；(Vi) 0型等，其中最基本的是型和二型，其它类型都可化成这两种基0QO本类型来解决。2、0不定式极限的计算(洛必达法则)0定理1若函数fx和g x满足：(i)limf (x) lim g(x) = 0 ； (2)在点x0的某空心邻域内两者X內都可导，且g (x)"；f (x)(3) limA ,则f g(x)limf(x)= lim f (X)=A。X Mg(x)x 此 g

25、 (x)注 (1 )将X； X0改为Xr Xo ；x。，=,-二，：时，上述结论都对；(2) lim f-(x)是分子，分母分别 f g"(x)求导时极限和lim( f (x) 不同，更不能认为是(lim f(X)。Xf g (x)Xf g(x)1 -cosx 例：lim2。X Q X3、二型极限(洛必达法则)QO定理2(1) lim f (x)lim g(x) - ：- ；(2)在点x0的某空心邻域内两者都可导，且X旳g (x) = 0 ； (3)lim f (x)二 A，则x X0 g (x)lim 血二 limx >x)g(x) x %f (x) g (x)注(1 )将X r x0改为X X。，X。1, ：,：，：时，上述结论都对;(2)如果，g , f , g”满足条件，则可再次使用该法则。 例：lim ln。x厂：xxe例：lim 5。J和x50O0L'Hospital法则应注意的一些问题(1)、不