圆锥曲线题型归类总结材料

1、高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C:（x+1） 2+y2=36内切,与圆Q:（x-1） 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程'亩：小:表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由丄！，.丿分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由,'L - J j项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口

2、方向。典型例题2 2例1、已知方程二一+ =1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是m T 2 m2 2例2、k为何值时,方程的曲线:9k 5k是椭圆；是双曲线题型三：圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、 椭圆焦点三角形面积S二b2tan;双曲线焦点三角形面积S二b2cot 2 22、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、m，n,m-n,mn,m2 n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题2 2例1、椭圆x2= 1(a b 0)上一点P与两个焦点R, F2的张角/a bFi PF2工二，求证： FiPF的面积为b2 tan。例2、已知双曲线的离心率为

3、 2, Fi、'一 一， w 一 '厂.求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值 或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题2 2例1、已知R、F2是双曲线 笃爲=1 ( a 0,b 0 )的两焦点，以线段RF2为 a b边作正三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A. 4+2需B. 、3-1C.斗1D®12例2、双曲线2占=1 (a>0,b >0)的两个焦点

4、为F1、一 b为其上一点，且|PFi|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A. (1,3)B. 1,31C.(3,+ ：) D. 3,：2 2例3、椭圆G :笃与二论 b 0)的两焦点为F1(-c,0), F2CO)，椭圆上存在 a b点 M 使 F1M F2M 0.求椭圆离心率e的取值范围;2 2例4、已知双曲线 笃-笃=1(a0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直a b线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A) (1,2(B) (1,2)(C) 2, ：)(D) (2,：)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系22点在椭圆内

5、：=XIy2: 1a b22点在椭圆上二22=1a b2 2点在椭圆外二冷笃1a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:.：0：二相交厶=0=相切（需要注意二次项系数为0的情况）匚0=相离3、弦长公式：. : , :TAB = £1 + k2 Xr _ x2 = y 1 + k2（% _x2）=+ k2 ；- lalAB1 +苕”1 _ y?| =1 kl (Y1k4、圆锥曲线的中点弦问题:1、伟达定理： 2、点差法:（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M3,-1）平分,求直线AB

6、的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点，若|AB|=2 2，O为坐标原点，OC的斜率为、2/2，求椭圆的方 程。题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围;2、求轨迹方程的常用方法：(1) 直接法：直接利用条件建立；之间的关系|f -；例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线】-的距离之和等于4,求P的轨迹方 程.(2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求 曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M( m 0)(鴉，端点A、B到x

7、轴距离 之积为2m,以x轴为对称轴，过 A、O B三点作抛物线，则此抛物线方程 为(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆'I作两条切线PA PB,切点分别为A、B, / APB=60,则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线J：C的距离小于1,则点M的轨迹方程是2j22例5、一动圆与两圆。M X十=1和。N:一 + = °都外切，则动圆圆心的轨迹为 代入转移法：动点':依赖于另一动点:.1的变化而变化，并且做必)又在某已知曲线上，则可先用和的代数式表示加Jo，再将砒(I代入

8、 已知曲线得要求的轨迹方程：例6如动点P是抛物线-' ： + 1上任一点，定点为，点M分一二所成的比为2，则M的轨迹方程为（5）参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将I；均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普 通方程）。例7、过抛物线”T的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法） 一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提

9、醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简 单） 五、根据条件重转化；常有以下类型: “以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）二 OA _ OB = K1 *K2 - -1 二 OA = 0 二 x1x2 y, y2 = 0 “点在圆内、圆上、圆外问题”二“向量的数量积大于、等于、小于 0问=斜率关系（K, K 0或Ki二K2）；二“直角、锐角、钝角问题”题”-x,X2 y,y2>0； “等角、角平分、角互补问题” “共线问题”（如：AQ方 =数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、O B三点共线二直线0A与0B斜率相等）； “点、线对称问题” =坐标

10、与斜率关系； “弦长、面积问题”=转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系 数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题

11、时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函 数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决；6转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来， 即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点F 0,1 ,直线I : y = -1，P为平面上的动点，过点P作直线I的垂(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 已知圆M过定点D 0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆 M与x轴交于A、B两点，设DA =1,，DBJ，求比的最

12、大值.例2、如图半圆，AB为半圆直径，0为半圆圆心，且ODLAB, Q为线段0D的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动 点P在曲线C上运动且保持| PA+| PB的值不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程； 过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点 M N,且M在D N之间, 设匹=入，求入的取值范围.DN2 2例3、设Fi、F2分别是椭圆C : X2 y2 =1 (a b 0)的左右焦点。a b(1)设椭圆C上点到两点R、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和2焦点坐标；(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 KFi的中点B的轨迹方程;(3) 设点P是椭圆C上的任意一点，过

13、原点的直线L与椭圆相交于M，N两点, 当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN ，试探究kpM Kpn 的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为3，最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(U)若直线l : kx m与椭圆C相交于A， B两点(A B不是左右顶点)， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的 坐标.离心率例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2、2 ,为弓，P是椭圆在第一象限弧上一点，且PF Pf2=1，过P作关于直线FiP对称的两条直线PA

14、' PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；典型例题：例1、(1)解设尸0丿)，则0(益-1T QPF*'0 ,y+l)q-耐 2)=(工一1口* 厂 2).SP2(j+l) = x2 - 2(y-1)?即 a2 = 4y f所以动点.P的轨迹C的方程/二4丿-解；设圆圆心坐标为则/ = 4占.圆M的半径为|辺| =問+ 0 -窈.圆M的方程为(界十卜疔二护+ 02)1令$ = 0,则(盂/+护二屮+少2几整理得，xa-2+4i-4 = 0.由、解得，x=a_2 .不妨设 A a -2,0 , B a 2,0 , h = J(a_2)2 +

15、4，I2 = J(a+2 )2 +4 .h I2 I12 J 2a2 16I2 li I1I2, a4 64=2； I 64 =2V a64，当a式0时，由得， S +旦=2 l1+ 16=2血.1( a?詈 "8当且仅当a二-2 2时，等号成立.当a =0时，由得，山丄=2 .I2 |1故当_2.2时，11 12的最大值为2.12 ll例2、解：(1)以AB 0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角坐标系， I PA+| PB|=| QA+I QB=2 J22 +12 =2曲 > | ab=4.曲线C为以原点为中心，a、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,

16、半焦距为c,则2a=2 5 , a= . 5, c=2, b=1.2曲线C的方程为-+y2=1.5设直线I的方程为y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.5 =(20 k)2- 4X 15(1+5k2) > 0,得 k2 > 3 .由图可知 DM 5由韦达定理得*X1亠20kX221 +5k215x221 5k2将x1 = X X2代入得22400k2：(1+5k2)2215'x221 5k2(1中对X2 =X1DN x222两式相除得丸 15(5k )3(5+2)k8013(庐5k16<32315120k ,. 0 ： 2 ：, 5

17、 ： 2:，即4 :5 k23 k2 53«(1)2严DM Q解得1 一：3九 3DN3X1X2二在D N中间“ 1又当k不存在时显然入=dne（此时直线1与y轴重合）综合得：1/3 <X< 1.例3、解：（1）由于点0.3,在椭圆上，（；）2a2)2b21 得 2 a =4,2,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)2 2椭圆C的方程为 -y 143(2)设KFi的中点为B (x, y)则点K(2x 1,2 y)2 2把K的坐标代入椭圆Y 143线段KFi的中点B的轨迹方程为2 2中得空=1431 2 y2(x才专=14分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M设 M （

18、Xo,yo） N（-Xo,-y。）, p（x, y）,N关于坐标原点对称M, N,P在椭圆上,应满足椭圆方程，得2X。. Yq2 .2a b10分丄22yYoy - Yq+ _ 2 2 xXoX -Xob2a13分故：kPM Kpn的值与点P的位置无关,14分同时与直线L无关,2例4、解：（I）椭圆的标准方程为 4(5 分)(U)设 A%, yj , B(X2, y2),y 二 kx m,联立 x2 y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 7) = 0,43.=64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) . 0,即 3 4k2m2 0,则8mk3 4k2Xil_x2二24(m -3)2

19、3 4ki / 2又 y2 二(kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 mk(x-i x2) m :3(m2 _4k2) -3 4k2，因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kAD kBD ="，即 f j，222一 , c 3(m -4k )4(m -3)%y2 为X2 -2(X1 X2) 4=0,3+4k3+4k单 4 = 0,3 4k2 2.9m 16mk 4k =0 .解得:2k22g = -2k , m2，且均满足 3 4k m01、当mi - -2k时，I的方程为y =k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾;2、当m2 二2k子时，I的方程为厂k

20、:所以,直线I过定点，定点坐标为,0 1.17丿(14 分)2 2例5、解(1) 丁釘1何和2(0，一)，设 P(x0，y0)(x0 0，y0 0)则 PR =(-x°, J2-y°),PF2 =(-X0,- J2-y0), PR PF2 = £ -(2 - y：) = 12 2 2:点在曲线上，则号亡心4 _ 2从而于-(2吸円，得 y02，则点P的坐标为(1八2)(2)由(1)知PF1/x轴，直线PA PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k 0),y 、,2 二 k(x 1)则PB的直线方程为：y 、2 二 k(x1)由 x2y2得1.24设 B(Xb, yB),则 xb2 k2k2 2 .2k 22 k2同理可得Xa二k2 2 *2，则Xa - Xb22+k22 k2