圆锥曲线动点问题

1、圆锥曲线动点题X221、(12分)设F1、F2分别是椭圆 亠y =1的左、右焦点.4) I(I)若P是该椭圆上的一个动点，求 PF,卩F2的最大值和最小值；(H)设过定点 M(0,2)的直线I与椭圆交于不同的两点 A、B，且/ AOB为锐角(其中0为坐标原点)，求直线I的斜率k的取值范围2、( 12分)如题(21)图，倾斜角为a的直线经过抛物线 y2 =8x的焦点F,且与抛物线交于 A、B两点。题(20)图(I)求抛物线的焦点 F的坐标及准线I的方程；(H)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2 a为定值，并求此定值。3. 、(本小题满分12分).

2、如图，直线y=1x与抛物线y=1x2 4交于A B两点，线段AB的垂直平分线与直2 8线y= 5交于Q点.(1)求点Q的坐标； 当P为抛物线上位于线段 AB下方(含A、B)的动点时，求 OPQ面积的最大值4如图A(m, 3m)和B(n, - 3n)两点分别在射线 OS、OT上移动，且OA OB - -1 ,2-H >O为坐标原点，动点 P满足OP = OA OB (1)求m n的值； (2)求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？I(3)若直线I过点E(2, 0)交(2)中曲线C于M、N两点，且ME二3EN，求I的方程.5如图，M是抛物线上=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于

3、A、B两点，且 MA = MB . (1) 若M为定点，证明：直线 EF的斜率为定值；(2)若M为动点，且.EMF =90，求 EMF的重心G的轨迹.F6已知片(-2,0)丁2(2,0),点P满足IPRI-IPF2戶2，记点P的轨迹为E.(1) 求轨迹E的方程；(2) 若直线I过点Fa且与轨迹E交于P、Q两点.(i )无论直线I绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点 M (m,0)，使MPL MQ恒成立，求实数 m的值.(ii )过P、Q作直线x=的垂线PA QB垂足分别为 A B,记？ =|PA|+|QB|，求入的取值范围.2' IAB|答案1、解:(I)解法.易知 a=2,b=1,c

4、= 3所以 R - 3,0 E 3,0，设 P x,y，则T )_x21PFi PF2 =(却3 -x, _y ),(寸3 _x, _y ) = x2 + y2 _3 =x2 +1_3 = n(3x2 _8)因为1-2,2 1,故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1 PF2有最小值-2I )当% = 2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF2有最大值1解法二：易知 a =2,b =1,c = 3，所以 R - 3,0 ,F23,0，设 P x, y，则PF1cos F1PF2=2+巧)+y2 +(x-%3 ) +y2-12=x2 y2 -3 (以下同解法一)(n)显然直线 x = 0不满足

5、题设条件,可设直线 l:y = kx-2,A My ,B,y = kx -2联立 x22 ，消去y，整理得:4 yk2 14x2 4kx 3 = 0.丄4k3- N x2,x1 x2 :k2 +-k2 +_44由心=(4k 2 4 "k +1 卜3 =4k2 3 >0 得：k< 或 kV 4丿2又 00 ： A0B : 90° = cos A0B 0= OA OB 0- OA OB 二 x1x2 y1y20<3> -2又 y"二 2 kx2 2 二 k2x1x2 2k x1 x2 4 二3k2-8k2-k2 14 二1 k2144k23k2

6、14k2 10，即 k2 : 4故由、得_2:：: k ： - 3 或 3 :：: k :：: 22 22、（ I）解：设抛物线的标准方程为y2=2px，则2p=8，从而p =4.因此焦点F（P,0）的坐标为（2， 0）2又准线方程的一般式为x =-P 。2从而所求准线I的方程为x=_2 。1O(H)解法一：如图作 ACL l , BDL l，垂足为 C D,则由抛物线的定义知I F牛| FC，| FB=| BD记A、B的横坐标分别为 XxXz，则I FA| =| AC = xx + = FA | cos a +巴 +卫=| FA | cos a +4 解得 | FA |=4,2221 -co

7、sa4类似地有 | FB |=4 | FB |cosa，解得 | FB |4。1 + cosa记直线m与AB的交点为E,则| FA | | FB |11444 cosa 才(|FA|-|FB|)2 所22 1cosa 1 cosasi n2a|FE UFA| |AEFA|FP 匸旦二ocosa sin a故 |FP | _|FP |cos2a4 -2sin2 a2(1 -cos2a)2sin asin a解法二：设A(xA, yA) , B(xB , yB)，直线AB的斜率为k=tan a ,则直线方程为y=k(x-2)。将此式代入 y2 =8x,得 k2x2 =4(k2 2)x 4k2 =0

8、，故 xA - xBk(k22)k2。记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则Xa +xb2(k2 +2)XE-k24yE =k(XE -2)：k故直线m的方程为y22k 4k2令y=0,得P的横坐标Xp22kZ 4 故I FP |=xp _2 =4(k q+D k4sin 2 a从而 | FP | FP | cos2a =4 (1 -cos2a) sin2 a1y= xy= x 483.【解】(1)解方程组24 -2sin a=8为定值。sinX= 4, x2=8y1= 2, y从而AB的中点为M(2,1).1y 1= (x 2).2即 A( 4, 2),B(8,4),1由kAB= 1 ,

9、直线AB的垂直平分线方程2令 y= 5,得 x=5, Q(5, 5) 直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,1 x2 4).81 2 .x + x 48it点P到直线0Q的距离d=一 |x2 +8x_32<28J215OQ =5 2,2 .t P为抛物线上位于线段 AB下方的点,且P不在直线OQ上, 4W x<4 3 4 或 4 3 4<xW 8.t函数y=x2+8x 32在区间4,8上单调递增,.当x=8时， OPQ的面积取到最大值 30.、-(1)由已知得(4、解:OA OB = (m, 3m) (n,叩3n) - -2mn_ 1"2，mn(2)设P点坐标为(x

10、, y) ( x 0)(x, y) =(m, 3m) (n,x = m n,<消去m, n可得y = 3(m -n)2 y-3n) =(m n,又因mn二：，二P点的轨迹方程为x2 - $ 1 (x 0).它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为 2，焦距为4的双曲线3 =1的右支.(3)设直线I的方程为x =ty 2，将其代入C的方程得3(ty 2)2y2=3即 (3t21)y2 12ty 9 =0,易知(3t2 -1)=0 (否则，直线I的斜率为- 3，它与渐近线平行，不符合题意)又=144t2 -36(3t2 -1) = 36(t2 1) 0,设 M (xyJ'N/

11、y)，则 y?29 彳3t 13t 1t I与C的两个交点 M , N在y轴的右侧2x =(ty1 2)(ty2 2) =t2"力 y?) 42=t29 - 2t _1*2t4=-3t2=40,3t2 -13t2 -13t2 -1.3t2Tv0,即卩0彳2<：1，又由+x2 >0同理可得 。廿马,3312 - Xf = 3(2 - x?) (-%=3y2由 ME =3EN 得(2-为，一yj =3(2 - x2, y2),由丫宀“小+力“一注得y26t3t2 -1由 y2 =(-3丫2)丫2 - -3y|3t29-1得船323t -12消去y2得（31）2一2考虑几何求法

12、!3t2 -1解之得：t2=15，满足：3.故所求直线I存在，其方程为:15x _ y _2 5=0或15x目一2衬5二0 .5、思路分析：（1）由直线MF（或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）解：（1）法一：设M （y；, y0），直线ME的斜率为k（ k 0），则直线MF的斜率为k，方程为y - y0 = k（x - y0）.由一"，消 x得 ky2_y %(1也)“, y =x解得yF1 - ky0kXF2 ,k1 -kyo 1 kyo

13、壮一壯Xe _Xfkk2 2(1ky。) _(1 ky。)k2k22k-4ky°k22 yo（定值）.F(x2,y2),所以直线EF的斜率为定值.法二：设定点 M（x°,y°）, E（X1,yJ、輛=x0,由:0 得(y。 yd® yj一为，即 kMM =X1yo1y1；同理MA 二MB，k|ME = _kMF ,yo1y1y° y2 'yr y2=-2y° .1（定值）.1捲-X2y； - y|% y22y°所以，kEF 一八 -八力-(2)当/EMF =90 时,MAB = 45 ,所以 k =1,直线 ME的方

14、程为 y - y0 = k(x - y0)r2由 H 得 E(1_y0)2,1_y0)同理可得 F(1 y。)2, -(1 y。).设重心G (x,消去参数y0得6、解:X=XmXeXf3XmXeXfy =2 (x 2).2732 2 2y°(1-y。)(1 y。)2=2 3y°yo(1 - yo) - (1yo)yo(1 )由 iPFj-IPF?卜2计吋2| 知，点P的轨迹E是以Fi、F2为焦点的双曲线右支，由c =2,2a =2,. b2 =3，故轨迹E的方程为x2= 1(X_1).(2)当直线I的斜率存在时，设直线方程为y = k(x - 2), P(xi, yj,

15、Q(X2 $2)，与双曲线方程联立消y 得(k2 -3)x2 - 4k2x 4k2 3 = 0，2k -3=0.: - 04k cX1X2 = 2 0k -324k +3X1 x 2 0k -3解得k2 >3(i ) MP MQ =(为-m)(x2 -m) y1y22=(为-m)(x2 -m) k (为-2)(x2 -2)2 2 2=(k1)x2-(2km)(x-i x2) m(k21)(4k23) 4k2(2k2 m)2k2 -3k2 -32= 3-(4m 5)k2.k2 -3MP _ MQ, MP MQ =0，故得 3(1 - m2) k2 (m2 - 4m - 5) = 0对任意的k23恒成立,r 21；m，解得 m1.m 4m 5 =0.当 m= 1 时，MPL MQ当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立, 综上，当m= 1时，MPL MQ1(ii ) ； a = 1, c =2,.直线x是双曲线的右准线，2111由双曲线定义得：|PA| IPF2I|PF2|,|QB|IQF2I ,e22方法一：2| AB| 2M力|1 k2 lx? -X1 |1 k2111亠 2|k(X2-xJ|2|k