本章是相量法分析正弦稳态电路的继续首先介绍耦合电感

1、 本章是相量法分析正弦稳态电路的本章是相量法分析正弦稳态电路的继续。首先介绍耦合电感的电路模型、继续。首先介绍耦合电感的电路模型、含有耦合电感电路的分析；然后讨论空含有耦合电感电路的分析；然后讨论空心变压器和理想变压器的分析；最后介心变压器和理想变压器的分析；最后介绍相关工程中利用耦合电感原理制成的绍相关工程中利用耦合电感原理制成的实际设备。实际设备。 耦合电感电路耦合电感电路 第第7章章章节内容章节内容 7. 1 互感现象及耦合电感元件互感现象及耦合电感元件 7. 2 含有耦合电感的电路含有耦合电感的电路 7. 3 空心变压器空心变压器 7. 4 理想变压器理想变压器 7. 5 应用应用学习

2、要点互感、同名端、具有互感电路的计算；互感、同名端、具有互感电路的计算；空心变压器电路分析和反映阻抗；空心变压器电路分析和反映阻抗；理想变压器和折合阻抗，实际变压器的模型。理想变压器和折合阻抗，实际变压器的模型。 了解同名端的物理意义以及判断方法；充分了解同名端的物理意义以及判断方法；充分掌握两个具有互感的线圈连接在稳态正弦交流电掌握两个具有互感的线圈连接在稳态正弦交流电路中电路的电量、功率等的分析计算；掌握空心路中电路的电量、功率等的分析计算；掌握空心变压器的分析方法充分掌握理想变压器的电压、变压器的分析方法充分掌握理想变压器的电压、电流、阻抗、功率等分析计算。电流、阻抗、功率等分析计算。

3、提示7.1 互感现象及耦合电感元件互感现象及耦合电感元件7.1.1 7.1.1 耦合现象耦合现象产生感应电压产生感应电压 载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为磁耦合象称为磁耦合 .当线圈当线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当。当i1为时变电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。u11称为自感电压，称为自感电压，u21称为互感电压称为互感

4、电压。+u11+u21i1 11 21N1N2施感电流施感电流 1、相近的两个线圈一个通电、相近的两个线圈一个通电1）、 ：磁链：磁链 (magnetic linkage)，回顾一些电磁感应定律知识回顾一些电磁感应定律知识施感电流施感电流1 =N 2）、 ：磁通（磁通（ magnetic flux） I 即与电流成正比即与电流成正比 i 当线圈周围无铁磁当线圈周围无铁磁物质物质(空心线圈空心线圈)时时例：图中电流例：图中电流1产生的两种磁链产生的两种磁链+u11+u21i1 11 21N1N2自感磁链自感磁链 11 11 =N1 11互感磁链互感磁链 21 21 =N2 21两种磁链两种磁链2

5、1111 i13）、）、楞次定律楞次定律+u11+u21i1 11 21N1N2当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律：tNtutNtudd dd dddd21221211111111 。为为自自感感系系数数，单单位位亨亨称称，H)( 11111LiL ）。的的互互感感系系数数，单单位位亨亨（对对线线圈圈为为线线圈圈称称，H21 2112121MiM dddd :; dddd1212121111111tiMtutiLtu 互感电压互感电压自感电压：自感电压：+u12+u22i2 12 22N1N2同理，当线圈

6、同理，当线圈2中通电流中通电流i2时会产生磁通时会产生磁通 22， 12 。 i2为为时变时，线圈时变时，线圈2和线圈和线圈1两端分别产生感应电压两端分别产生感应电压u22 ， u12 。)( dddd dd:)( dd dddd:2222222222222212122121211212iLtiLtNtuiMtiMtNtu 自感电压自感电压互感电压互感电压可以证明可以证明：M12= M21= M。2、相近的两个线圈另一个通电、相近的两个线圈另一个通电3、相近的两个线圈同时通电、相近的两个线圈同时通电当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含

7、自感电压和互感电压包含自感电压和互感电压（1）tiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 +u12+ u22i2 12 22N1N2+u11+u21i1 11 21N1N2当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压包含自感电压和互感电压（2）注意方向注意方向tiLtiMuuutiMtiLuuudd dddd dd2212221221112111 +u12+u22i2 12 22N1N2+u11+u21i1 11 21N1N24、相近的两个线圈耦合现象的两个问题、相近的两个线圈

8、耦合现象的两个问题（1）、与自感系数类似的互感系数）、与自感系数类似的互感系数 M 有什么特点？有什么特点？（2）、与互感系数）、与互感系数 M 联系的互感电压的方向因施感电流联系的互感电压的方向因施感电流方向不同而不确定，有无方法让之明确？方向不同而不确定，有无方法让之明确？ 线圈两端的电压包含线圈两端的电压包含自感电压自感电压和和互感电压互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。7.1.2.7.1.2.同名端与耦合电感同名端与耦合电感 前面的分析得知前面的分析得知可见绕线方向的情况时可见绕线方向的情况时 线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达

9、线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与式的符号与参考方向参考方向和和线圈绕向线圈绕向有关。有关。对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。向。这在电路分析中显得很不方便。引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决这个问题。同名端同名端+u11+u21i1 11 0N1N2+u31N3 stiMutiMudd dd1313112121 同名端同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入：当两个电流分别从两个线圈的

10、对应端子流入 ，其所，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。 * 同名端标记：同名端标记： 对于两个有耦合的线圈各取一个端子，用相同的符号（如对于两个有耦合的线圈各取一个端子，用相同的符号（如用用“ ”或或“*”）标记，称这一对端子为同名端。当一对施感）标记，称这一对端子为同名端。当一对施感电流电流i1和和i2都是从同名端流入或流出各自线圈时，互感就起都是从同名端流入或流出各自线圈时，互感就起“增增强强”作用。例如，图中标记的作用。例如，图中标记的1和和2为同名端，图中是用小圆点为同名端，图中是用小圆点标出的。或者标出的。或者1

11、和和3 为同名端。为同名端。213同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。 两个耦合线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对的位两个耦合线圈的同名端可以根据它们的绕向和相对的位置来判别，也可以用实验的方法确定。置来判别，也可以用实验的方法确定。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁场相互增强。 i1122*112233* 例例.注意：注意：线圈的同名端必须两两确定。线圈的同名端必须两两确定。确定图示电路的同名端确定图示电路的同名端 同名端

12、的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi当闭合开关当闭合开关S时，时，i 增加，增加， 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。当断开当断开S时，如何判定？时，如何判定？ 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考

13、虑实有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。tiMudd121 tiMudd121 *L1L2+_u1+_u2i2Mi1i1*L1L2+_u1+_u2i2M耦合电感电路模型耦合电感电路模型由同名端及由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 i1*L1L2+_u1+_u2i2M*L1L2+_u1+_u2i2Mi1tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 时域形式时域形式： i22111jjIM

14、ILU 2212jjILIMU *j L1j L2+_j M1 U+_2 U1 I2 I在正弦交流电路中，其在正弦交流电路中，其相量形式相量形式的方程为的方程为jMZM受控源模型受控源模型注意：注意：有有三三个线圈，相互个线圈，相互两两两两之间都有磁耦合，每对耦之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端合线圈的同名端必须用不同必须用不同的符号来标记。的符号来标记。(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；(2) 互感电压的符号有两重含义。互感电压的符号有两重含义。同名端；同名端；参考方向；参考方向；互感现象的利与弊：互感现象的利与弊：利利 变压器：信号、

15、功率传递变压器：信号、功率传递弊弊 干扰干扰 , 合理布置线圈相互位置减少互感作用。合理布置线圈相互位置减少互感作用。图中，已知电流图中，已知电流,计算电压计算电压 u1 和和 u2110 Ai 2i 10cos(10 ) At13 HL 28 HL 2 HM解解 根据耦合电感的电压根据耦合电感的电压- -电流关系，有电流关系，有1211dd200sin(10 ) VddiiuLMttt 2122dd800sin(10 ) VddiiuLMttt 说明说明直流直流 电流不产生互感电压电流不产生互感电压和自感电压。和自感电压。 1i例7-1i1*L1L2+_u1+_u2i2M 已知条件同例已知条

16、件同例7-1,计算耦合线圈中的磁计算耦合线圈中的磁链链 ， ， ， ， ， .1112121222111130 WbL i解解 根据本节相关公式，计算如下根据本节相关公式，计算如下 222 280cos(10 ) WbL it12220cos(10 ) WbMit21120 WbMi11123020cos(10 ) WbL iMit22 212080cos(10 ) WbL iMit本题说明本题说明直流电流直流电流 产生自感磁链和互感磁链产生自感磁链和互感磁链 1i例7-2i1*L1L2+_u1+_u2i2M7.1.3 耦合系数耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)kk

17、 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。21defLLMk 可以证明，可以证明，k 1。采用采用M与其最大值的比值来定义耦合系数与其最大值的比值来定义耦合系数 在工程中，耦合系数是定量描述两个线圈的耦合紧疏在工程中，耦合系数是定量描述两个线圈的耦合紧疏程度的指标，它与两个线圈的结构、相互位置、周围磁介程度的指标，它与两个线圈的结构、相互位置、周围磁介质等因素有关。质等因素有关。 事实上两者的相互位置对于耦合系数影响较大。在事实上两者的相互位置对于耦合系数影响较大。在L1L2一定时，耦合系数减小或增大，会引起互感一定时，耦合系数减小或增大，会引起互感M的减小的减小或增大。或

18、增大。 全耦合全耦合: 11= 21 ， 22 = 121 , , , 2122121122121121212122222211111 k LLMLLMM iNMiNMiNLiNL互感有一个上界互感有一个上界 （可以不讲）（可以不讲）能量法证明能量法证明 耦合电感的模型（时域形式）中，首先假设所有的电耦合电感的模型（时域形式）中，首先假设所有的电流和电压均为零，因此该网络中初始存储的能量也为零。流和电压均为零，因此该网络中初始存储的能量也为零。然后，将右边然后，将右边22 开路，从零开始增大开路，从零开始增大i1，在在t=t1时增加到时增加到某个直流值某个直流值I1，在此过程中，左边输入网络的

19、能量为在此过程中，左边输入网络的能量为 1121 11 111 1001dd2tIu itL iiL I 现在使现在使i1 = I1保持不变（即电源保持连接而不是开路），保持不变（即电源保持连接而不是开路），在在t = t1时，时，i2由零逐渐增大，在由零逐渐增大，在t = t2时增大到某个定值时增大到某个定值I2。在在此过程中，右边输入的能量为此过程中，右边输入的能量为 22122 22 222201dd2tItu itL iiL I 而这段时间内，虽然而这段时间内，虽然i1不变，但是左边的电源却也不变，但是左边的电源却也给网络输入了能量，即给网络输入了能量，即 2221121 112112

20、 1212 1 20dddddttIttiu itMitMIiMI It则此时网络存储的总能量为则此时网络存储的总能量为 221 12 212 1 21122WL IL IMI I 同理，将上述的过程反过来，即先使同理，将上述的过程反过来，即先使i2从零增大到从零增大到I2，保保持持I2不变，然后让不变，然后让i1由由0增大到增大到I1。得出的能量为得出的能量为 221 12 221 1 21122WL IL IMI I（7-7） 证毕！证毕！ 由于网络的初始能量一样，而最终的状态也一样，所以两由于网络的初始能量一样，而最终的状态也一样，所以两个能量应该一样。于是得出个能量应该一样。于是得出

21、2112MMM如果取的异名端模型时，则得出的能量公式为如果取的异名端模型时，则得出的能量公式为 221 12 21 21122WL IL IMI I （7-8） 式（式（7-7）或式（）或式（7-8）中，显然式（）中，显然式（7-8）中的能量要小）中的能量要小一些。因为实际中能量输入不可能为负，所以一些。因为实际中能量输入不可能为负，所以 0212121222211IMIILIL0)(2121212122211IMIIILLILILMLL21有上界有上界例7-3 计算耦合线圈的耦合系数计算耦合线圈的耦合系数k 。解解 利用式（利用式（7-10），可得耦合系数），可得耦合系数 1 2210.41

22、3 86MkL L图中，已知电流图中，已知电流,110 Ai 2i 10cos(10 ) At13 HL 28 HL 2 HMi1*L1L2+_u1+_u2i2M 含有耦电感电路称为互感电路，对含有耦电感电路称为互感电路，对于该类型的电路分析时，涉及到运用于该类型的电路分析时，涉及到运用结结点法、回路法等方法列写电路方程点法、回路法等方法列写电路方程，也，也会用到会用到戴维南、叠加等定理戴维南、叠加等定理。本章也基。本章也基本只讨论正弦稳态电路，所以可以采用本只讨论正弦稳态电路，所以可以采用相量法分析相量法分析。 7.2 含耦合电感电路7.2.1 串/并联电路一、互感线圈的串联一、互感线圈的串

23、联1. 顺串顺串tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+2. 反串反串（逆串）（逆串）MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLL例例7-4 图所示电路中，已知图所示电路中，已知R1 = 3 ，R2

24、=5 ， =7.5 ， =12.5 ， =8 ，电压源电压源U = 50 V。试计算：试计算：（1）耦合系数）耦合系数k；（；（2）各个支路所吸收的复功率各个支路所吸收的复功率 和和 1L2LM1S2S解（解（1）耦合系数）耦合系数k为为826. 05 .125 . 78)(2121 LLMLLMk （2）根据图的电路，先求得支路的电流和阻抗，再计算支）根据图的电路，先求得支路的电流和阻抗，再计算支路的复功率。支路的阻抗分别计算得路的复功率。支路的阻抗分别计算得 46. 904. 3)5 . 0 j3()(j111MLRZ 4273. 6)5 . 4 j5()(j222MLRZ 57.2694

25、. 8)4 j8(21ZZZ)A(57.2659. 557.2694. 8050 ZUIVA)(63.15j75.93(S121 ZIVA)(63.140j25.156(S222 ZIV050 U设：设：1. 同名端在同侧同名端在同侧tiMiRtiLudddd21111 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeq同同i3 = i1 +i2 时域时域u, i的关系：的关系：二、互感线圈的并联二、互感线圈的并联tiMiRtiLudddd12222 11122221(j)j(j)jURL IMIURLIMI212eq3122MMZ ZZUZIZZZ忽略两个电感的

26、电阻忽略两个电感的电阻120RR相量的关系：相量的关系：*Mi2i1L1L2ui3+R2R12. 同名端在异侧同名端在异侧tiMiRtiLudddd21111 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeq异异i = i1 +i2 时域时域u, i的关系：的关系：tiMiRtiLudddd12222 *Mi2i1L1L2ui3+R2R1忽略两个电感的电阻忽略两个电感的电阻120RR相量的关系：相量的关系：11122221(j)j(j)jURL IMIURLIMI212eq3122MMZ ZZUZIZZZ3. 同名端在同侧与同名端在异侧并联的比较同名端在同侧与同

27、名端在异侧并联的比较 2)(21221MLLMLLLeq 异异 2)(21221MLLMLLLeq 同同合成电感的大小一目了然合成电感的大小一目了然4. 思考题：下面思考题：下面3个图的端口等效电感大小顺序是？个图的端口等效电感大小顺序是？*Mi2i1L1L2ui3+A)i2i1L1L2ui3+B)*Mi2i1L1L2ui3+C)7.2.2 去耦等效电路去耦等效电路互感消去法互感消去法1. 去耦等效去耦等效(两电感有公共端并联电路两电感有公共端并联电路)(a) 同名端接在一起同名端接在一起*j L1 3I1 I2 I13j L2j MR1R2+- U213III231III132III1113

28、2223j()jj()jURLMIMIURLMIMIj (L1-M) 3I1 I2 I13j (L2-M)j MR1R2+- U挤并分摊(b) 非非同名端接在一起同名端接在一起213III231III132IIIj (L1+M) 3I1 I2 I13j (L2+M)-j MR1R2+- U挤并挤并分摊分摊*j L1 3I1 I2 I13j L2j MR1R2+- U*11132223j ()jj ()jURLMIMIURLMIMI等效电路的特点等效电路的特点： 去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，但必须有公共端；但必须有公共端；记住下面的图形记住

29、下面的图形：*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1+M) I1 I2 I123j (L2+M)j (-M)*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1M) I1 I2 I123j (L2M)j M有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的相量分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电压除分析的的方法均适用。只需注意互感线圈上的电压除自感电压自感电压外，还应包含互感电压外，还应包含互感电压。例例 1、列写下图电路的方程。列写下图电路的方程。M12+_+_1SU2SU L1L2L3R1R2R31I2I3I7.2.3

30、 含耦合电感电路的分析含耦合电感电路的分析1I2I3IM12+_+_1SU2SU L1L2L3R1R2R3支路电流法：支路电流法：1333321111SUIRILjIMjILjIR 2333312222SUIRILjIMjILjIR 213III 完毕！完毕！M12+_+_1SU2SU L1L2L3R1R2R31I2I3IaIbI回路电流法：回路电流法：1333311 )()(SbaUILjRILjRLjR bIMj 2333322 )()(SabUILjRILjRLjR aIMj (1) 不考虑互感不考虑互感(2) 考虑互感考虑互感注意注意: 互感线圈的互感电压的的表示式及正负号。互感线圈的

31、互感电压的的表示式及正负号。含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。例例 2.列写支路电流方程。列写支路电流方程。1I2I3IM12+_+_1SU2SU* M23M31L1L2L3R1R2R3S133223131333312121111 )jj j ( )jj j ( UIRIMIMILIMIMILIRS233223131333231122222 )jj j ( )jj j ( UIRIMIMILIMIMILIR支路法：支路法：321 III12S1331332231213111 )j j( )jj ()j j( UIMLRIMMIMLRS23233

32、32232211312 )j j( )j j()jj ( UIMLRIMLRIMM整理，得整理，得321 III1I2I3IM12+_+_1SU2SU* M23M31L1L2L3R1R2R312S1b23311233a333111 )jjj j( ) jj2 j( UIMMMLRIRLMLR2Sb332322a23311233 ) jj2 j( )jjj j( UIRLMLRIMMMLRM12+_+_1SU2SU* M23M31L1L2L3R1R2R3bIaI整理得整理得:此题可先作出去耦等效电路，再列方程此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消一对一对消):M12* M23M13L1L

33、2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 +M23 M13 L2M12M23 +M13 L3+M12M23 M13 L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23。则则三三个个电电感感均均为为，；若若MLMMMMLLLL 312312321 图所示电路中，已知图所示电路中，已知R1 = 3 ，R2 =5 ， =7.5 ， =12.5 ， =8 ，电压源电压源U = 50 V。1L2LM21 112212j1, jMMUZUZ IIIMZZZ(A)33.5939. 4)069. 0 j028. 0(645 . 7 j3)069. 0 j028. 0( 8 j1

34、 1 UI两支路所吸收的复功率为两支路所吸收的复功率为 *11111.97j188.74 VASUI*2234.35j93.70 VASUI (A)1 .110994. 18 j47. 5 j96.14j112 MIZUI 例7-5*j L1 3I1 I2 I13j L2j MR1R2+- U1S2S试计算各个支路所吸收的复功率试计算各个支路所吸收的复功率 和和 解解 根据图的电路根据图的电路 ,设电压设电压 ，由式（由式（7-14）得）得 V050 U例7-7 求图求图7-9(a)中中ab端口的戴维南等效电路。已知电源端口的戴维南等效电路。已知电源频率频率 ，L1 =1 H，L2 =2 H，

35、M =1 H，R =10 ，电源电压有效值为电源电压有效值为10 V。 10 rad/s。计计算算开开路路电电压压 OCU+_ocUZiM+_+_SUocU L1L2RR+1U+2UIV010j)(j)j (ss1oc UUMRMLRMU 10j)(j)j()(j)j()(j)(j2112eqMLMRMLMRMLMLZ M L1L2RR0I+_0U求内阻：求内阻：Zi（1）加压求流：）加压求流：列回路电流方程列回路电流方程aIbI0)(1 bbaIMjIRILjRR 02)(UIMjIRILjRaab 0000,IUZZUIIeqeqb M L1L2RR（2）去耦等效：）去耦等效：RRML 1

36、ML 2M 10)()()(112jMjRMLjRMjRMLjRMLjZi 变压器是电工、电子技术等领域中变压器是电工、电子技术等领域中常用的电气设备。本书将介绍两类变压常用的电气设备。本书将介绍两类变压器，它们都可以器，它们都可以用含有互感的模型来表用含有互感的模型来表示。示。本节介绍和分析空心变压器（或称本节介绍和分析空心变压器（或称线性变压器），这种变压器通常用于高线性变压器），这种变压器通常用于高频的场合。频的场合。 7.3 空心变压器空心变压器图图7-10 空心变压器电路空心变压器电路 图图7-10所示为一个空所示为一个空心变压器的电路连接情心变压器的电路连接情况，采用相量形式，并况

37、，采用相量形式，并给出了两个回路电流。给出了两个回路电流。初级（或原边）回路初级（或原边）回路次级（或副边）回路次级（或副边）回路*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX电路模型 图中，图中，L1和和L2表示变表示变压器的初级和次级线圈的压器的初级和次级线圈的自感，自感，R1和和R2表示两组线表示两组线圈的自身电阻。圈的自身电阻。 所谓的所谓的线性变压器线性变压器，指，指的是两组线圈的周围不含有的是两组线圈的周围不含有磁性材料，或者说两个有耦磁性材料，或者说两个有耦合的线圈绕制所依靠的托架合的线圈绕制所依靠的托架为空心的情况。为空心的情况。电路分析电路分析S2111 j

38、-)j( UIMILR0)j(j2221 IZLRIM222111Sin22211S1)( )( ZMZIUZZMZUI Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXs11 12MUZ IZI22 210MZIZI 因为两个回路没有直接的导线连接，故可以因为两个回路没有直接的导线连接，故可以分为两个回路分别研究，只要考虑其间的互感影分为两个回路分别研究，只要考虑其间的互感影响即可。因此两个回路方程分别为响即可。因此两个回路方程分别为 ：1、原边单独分析、原边单独分析1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路

39、原边等效电路lllXRXRXMXRRMXRMZMZjjj)(22222222222222222222222222222 Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。副边对原边的引入阻抗。引入电阻引入电阻 2222222222XRRMRl引入电抗引入电抗 2222222222XRXMXl负号反映了付边的感性阻抗负号反映了付边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗反映到原边为一个容性阻抗11in2 , , 0ZZI 即即副副边边开开路路当当1 I+S UZ11222)(ZM原边等效电路原边等效电路*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引

40、入阻抗这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 :不论变压器的绕法如何，不论变压器的绕法如何， 恒为正恒为正 , 这表示电路电阻吸这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。收功率，它是靠原边供给的。2222222222XRRMRl 电源发出有功电源发出有功 = 电阻吸收有功电阻吸收有功 = I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边

41、；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输。消耗在付边，由互感传输。2、副边单独分析、副边单独分析1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 同样可解得：同样可解得：2 I+oc UZ22112)(ZM11Soc jZUMU 112)(ZM原边对副边的原边对副边的引入阻抗引入阻抗？副边吸收的功率：副边吸收的功率：2222222221222222RXRIMRI 2212jZIMI 22222212 XRMII 空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。副边等效电路副边等效电路副边开路时，原边

42、电流副边开路时，原边电流在副边产生的互感电压。在副边产生的互感电压。（1）电流）电流 、 ； 1i2i*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jX图图7-10s100cos(10 ) Vut 图图7-10所示电路中，所示电路中，R1 =R2 =0，L1=5 H，L2=1.2 H，M=2 H，ZL=RL=3 ，电压源电压源 。试计算：试计算：（2）原边电路的复功率及负载）原边电路的复功率及负载ZL所吸收的有功功率。所吸收的有功功率。 例7-8解：（解：（1）由图）由图7-11可得可得 50j11Z223j12ZMj20Z222()4007.84j31.373j12MZV025

43、0 sU令：令：(A)2 .675 . 3)(222111 ZMZUIs (A)126.845.66A2 .675 . 312j320jZ122M2 IZI13.5 2cos(1067.2 ) Ait25.66 2cos(10126.84 ) Ait2 I+oc UZ22112)(ZM图图7-11（2）原边电路吸收的复功率为）原边电路吸收的复功率为)VA(16.228j89.952 .675 . 37 .70*11 IUSs副边副边ZL吸收的有功功率为吸收的有功功率为: : L22Z2L3 5.6696.10 WPI R 原边消耗的原边消耗的有功功率等有功功率等于副边电阻于副边电阻元件消耗的元

44、件消耗的有功功率有功功率 2 I+oc UZ22112)(ZM图图7-11补例补例a： 已知已知 US=20 V , 原边引入阻抗原边引入阻抗 Zl=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.101010j42222jZZMZXl 8 . 9 j2 . 0102 . 02 . 010200)1010(41010104 jjjjjjZX此时负载获得的功率：此时负载获得的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：*j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX+S U10+j10 Z

45、l=10j10 补例补例b： L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o sU. , :21II求求法一法一：回路法（略）。：回路法（略）。 法二法二：空心变压器原边等效电路。：空心变压器原边等效电路。4 .1130j20j1111 LRZ 85.1808.42j2222jLRRZL 8188422 )1 .24(3 .4621 .2411.46146o2222.-jZXZMlA)9 .64(111. 09 .642 .104001156 .94144201158 .1884224

46、 .1130200115o11S1 jjjZZUIl*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL1 I+S UZ11222)(ZM2 I+oc UZ22112)(ZM又解：副边等效电路又解：副边等效电路VjjjLjRUMjIMjUSOC085.14 906 .113001151464 .1130200115146 111 85.18906 .1130213164 .113020146)(2112jjZMAjjUIOC0353. 008.42085.1485.1808.425 .182 AjjZIMjI1351. 01 .2411.461 .252 .1685.1808.429 .6

47、4111. 01462212 7.4 理想变压器nLL 21再再规规定定： 理想变压器是一种紧耦合理想变压器是一种紧耦合变压器，认为其耦合系数变压器，认为其耦合系数k等等于于1。在上一节的空心变压器。在上一节的空心变压器模型中，令电阻模型中，令电阻R1 =R2 =0，取取原边和副边的电感原边和副边的电感L1、L2趋于趋于无穷大，根据耦合系数无穷大，根据耦合系数k的定的定义，可知其互感义，可知其互感M也为无穷大。也为无穷大。*1 I2 I+2 U+1 Un : 1 n为一个正的实数。这样就得到仅有一个参数的理想变为一个正的实数。这样就得到仅有一个参数的理想变压器模型，如图压器模型，如图7-12(

48、a)所示，其中同名端的标记仍然保留，所示，其中同名端的标记仍然保留，而空心变压器的而空心变压器的5个参数个参数R1、R2、L1、L2、M均不再保留。均不再保留。当当L1 ,M, L2 ，L1/L2 比值不变比值不变 (磁导率磁导率m m ) , 则有则有理想变压器理想变压器 (ideal transformer)： 21UnU 211InI *1 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器的元件特性理想变压器的元件特性理想变压器的电路模型理想变压器的电路模型212121LLLMMLNNn 电路模型电路模型ZnIUnInUnIU22222211)( /1 (a) 阻抗变换性质阻抗变换性质 *1

49、 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z理想变压器的性质：理想变压器的性质： (b) 功率性质：功率性质： 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup 由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。能，在电路中只起传递信号和能量的作用。故不能把它看成是一个动态元件故不能把它看成是一个动态元件已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻负载电阻RL=10 。为使为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。*

50、 *n : 1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .补例补例11 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：列方程：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U补例补例2方法方法2：阻抗变换：阻抗变换V0100 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 10o112 UUnU方法方法3：戴维南等效：

51、戴维南等效1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 :ocU求求求求R0：* *1 : 101 R0R0=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100 50 V033.3350501000100oo2 U变阻抗变阻抗 求在正弦稳态条件下，图求在正弦稳态条件下，图7-13(a)所示电路的等效所示电路的等效阻抗和图阻抗和图7-13(b)所示电路的最大功率匹配条件。所示电路的最大功率匹配条件。 (a) 等效阻抗等效阻抗 (b) 最大功率匹配最大功率匹配图图7-13 例例7-9图图解解 图图7-13(a)的等效阻抗为的等效阻抗为 212in

52、L121UnUZn ZIIn 说明在副边接入的阻抗，在原边等效成一个乘以系数说明在副边接入的阻抗，在原边等效成一个乘以系数n2的阻抗。对单个的阻抗。对单个R、L、C元件，其原边等效阻抗为元件，其原边等效阻抗为n2R、n2L和和C/ n2。 Why?212Rn R 图图7-13(b)的利用图的利用图7-13(a)的结果和最大功率传的结果和最大功率传输定理，得匹配条件为输定理，得匹配条件为: : 例例7-9 图图7-14(a)所示电路中，正弦电源有效值为所示电路中，正弦电源有效值为100 V，Z1=4 j4 ，Z2=1 j1 。试计算阻抗试计算阻抗ZL为多少时，其为多少时，其消耗的功率最大，并求最

53、大功率消耗的功率最大，并求最大功率 。 (a) (b)图图7-14 例例7-10图图解解 可以先计算可以先计算ab左侧的戴维南等效电路，如图左侧的戴维南等效电路，如图7-14(b)所示。所示。 设电源电压为设电源电压为 VUs0100 V05021 socUUeq21212j2ZZZn*Leq2j2 ZZ22ocmax5031.25 W442UPR例例7-10变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。空心变压器空心变压器：电路参数：电路参数 L1、L2、M, 储能。储能。理想变压器理想变压器：电路参数：电路参数n, 不耗能、不耗

54、能、不储能、变压、变流、变阻抗，不储能、变压、变流、变阻抗，等值电路为：等值电路为：Z11Z引入引入n2Z2小结小结互感式电工仪表 1钳形电流表钳形电流表 图图7-15 互感器式钳形互感器式钳形电流表外形结构电流表外形结构 图图7-16 互感器式钳互感器式钳形电流表电路形电流表电路 互感器式钳形互感器式钳形电流表，其外形电流表，其外形结构如图结构如图7-157-15所所示。它主要由示。它主要由“穿心式穿心式”电流电流互感器和带整流互感器和带整流装置的磁电系电装置的磁电系电流表组成，如图流表组成，如图7-167-16所示。所示。7.5 应用1钳形电流表钳形电流表 图图7-15 互感器式钳形互感器

55、式钳形电流表外形结构电流表外形结构 图图7-16 互感器式钳互感器式钳形电流表电路形电流表电路 互感器式钳形电流互感器式钳形电流表，其电流互感器的铁表，其电流互感器的铁心呈钳口形，当捏紧扳心呈钳口形，当捏紧扳手时铁心可以张开，如手时铁心可以张开，如图图7-15中虚线所示，这中虚线所示，这样被测载流导线不必断样被测载流导线不必断开就可以穿过铁心张开开就可以穿过铁心张开的缺口放入钳形铁心中。的缺口放入钳形铁心中。然后松开扳手使铁心闭然后松开扳手使铁心闭合，这样通有被测电流合，这样通有被测电流的导线就成为电流互感的导线就成为电流互感器的初级绕组器的初级绕组N1。2电度表（电能表）与节电装置电度表（电

56、能表）与节电装置 图图7-17 电度表电度表 图图7-18 节电装置示意图节电装置示意图 工作原理：当用户没有负载时，可以看到，工作原理：当用户没有负载时，可以看到，VS的两端的两端无电压（电势差），所以无电压（电势差），所以VS是断开的，因此是断开的，因此L1中无电流，中无电流，没有功率损耗。当用户用电时，交流电在电流回路中可以没有功率损耗。当用户用电时，交流电在电流回路中可以顺利通行，但是会在二极管的两端产生顺利通行，但是会在二极管的两端产生2 V左右的电势差，左右的电势差，从而使从而使VS的控制极获得控制信息而导通，这样电流和电压的控制极获得控制信息而导通，这样电流和电压线圈均有电流流通，其产生的磁场推动铝盘转动，进行电线圈均有电流流通，其产生的磁场推动铝盘转动，进行电量计量，同时实现了用户没有负载而不耗电的目的。量计量，同时实现了用户没有负载而不耗电的目的。 节电装置示意图如图节电装置示意图如图7-18所示。在电压线圈所示。在电压线圈L1中串接中串接一个双向可控硅元件一个双向可控硅元件VS，VS的导通与截止由控制极电位的导通与截止由控制极电位的高低而确定，再在电流线圈的高低而确定，再在电流线圈L2回路中串联两排极性排列回路