【高考精品】函数的奇偶性与周期性

1、第 7 讲函数的奇偶性与周期性卫銀1. (2017 北京卷)已知函数 f(x) = 3x- (3)x,则 f(x)(B)A 是偶函数，且在 R 上是增函数 B 是奇函数，且在 R 上是增函数C.是偶函数，且在 R 上是减函数 D .是奇函数，且在 R 上是减函数 価 因为函数 f(x)的定义域为 R ,1 1f(-x) = 3-x-(1)-x=(x-3x=- f(x),所以函数 f(x)是奇函数.1因为函数R 上是减函数，1所以函数 y=(3)x在 R 上是增函数.又因为 y= 3x在 R 上是增函数，1所以函数 f(x)= 3x(3)x在 R 上是增函数.2.(2014 新课标卷I)设函数

2、f(x) ,g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数, 则下列结论正确的是(C)A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数麻总因为 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以 f( x)=- f(x), g(-x)= g(x),所以 f( x)g( x)=- f(x)g(x),所以 f(x)g(x)为奇函数.|f( - x)|g( x) = |f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)为偶函数.f(-x)|g( x)| = - f(x)|g(x)|,所以 f(x)|g(x)|为

3、奇函数.|f( - x)g( x)|= |f(x)g(x)|, 所以|f(x)g(x)|为偶函数.3. (2018 华大新高考联盟教学质量测评9=x(1 + x)，则 f( 2)= (A)価 f(-1)=f(2+4)=f(2=- f(p=-2(1+2一 44. (2016 安徽皖北联考)已知偶函数 f(x)对于任意 x R 都有 f(x+ 1) = -f(x),且 f(x)在区 间0,2上是递增的，则 f( - 6.5), f(- 1), f(0)的大小关系为(A)A . f(0)f(- 6.5)f( - 1) B . f(- 6.5)f(0)f( 1)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当

4、0Wxw1 时，f(x)34C. f( 1)f( 6.5)f(0) D . f( 1)f(0)f( 6.5) 由 f(x+ 1) = f(x),得 f(x+ 2) = f(x+ 1) = f(x),故函数 f(x)是周期为 2 的函数.又 f(x)为偶函数，所以 f( 6.5) = f( 0.5) = f(0.5), f( 1)= f(1),因为 f(x)在区间0,2上是递增的，所以 f(0)f(0.5)f(1),即 f(0)f( 6.5)0，则实数 m92的取值范围为2，2.03 由 f(m 1) + f(2m 1)0? f(m 1) f(2m 1),因为 f(x)为奇函数，所以一 f(x)

5、 = f( x),所以 f(m 1)f(1 2m),又 f(x)在10,10上是减函数，10 m 1 10,所以 一 10W2m K 10, 解得m|.m 10,7. 已知函数 f(x) = n, x= 0,是奇函数.x2+ mx,x0(1)求实数 m, n 的值；若函数 f(x)在区间1, a 2上单调递增，求实数 a 的取值范围.03 (1)设 x0,f( x) = ( x)2+ 2( x) = x2 2x,又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0) = n = 0,f( x) = f(x),于是 x 1 ,结合 f(x)的图象可知有a2W1,故所求实数 a 的取值范围是(1,3.8.(20

6、16 山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)=x3 1；当一 Kx2 时,f(x + 2)= f(x 2),则 f(6) = (D)A . 2 B. 1C. 0 D. 21 1 1ICO 由题意知，当 x2 时，f(x+ 2)=f(x2),则当 x0 时，f(x+ 1) = f(x). 又当1 x 1 时，f( x)= f(x),所以 f(6) = f(1) = f( 1).又当 xv0 时，f(x) = x3 1,所以 f( 1) = 2,所以 f(6) = 2故选 D.x+ 12+ sin x,=9.设函数 f(x) =x2+1的取大值为2x+ sin x2x+

7、sin x设g(x)=仆，则咖是奇函数,因为 f(x)的最大值为 M，最小值为 m,所以 g(x)的最大值为 M 1,最小值为 m 1.所以 M 1 + m 1 = 0,所以 M + m= 2. 2x+ b10.已知定义域为R的函数 f(x)=x+r的图象关于原点对称.2 十 a(1)求 a, b 的值；若对任意的 t R，不等式 f(2t2 2t)十 f(t2 k)0 恒成立，求 k 的取值范围.佃 (1)因为 f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数，所以 f(0) = 0,b 11 2*即 =0,解得 b = 1，所以 f(x)= 二.a+ 2a+ 2x+1又 f(x)是奇函数，所以不等式 f(2t1 2 2t) + f(t2 k)0 等价于 f(2t2 2t)k t2.即对一切 t R 有 3t2 2t k0 ,1从而判别式A=4+ 12k0，解得 k 3.1所以 k 的取值范围为(一g,3)所以 1a 3.M，最小值为 m,贝 U M + m =f(x) = 1 +