2020版高考数学二轮复习第一部分基础考点自主练透第4讲不等式与合情推理学案文新人教A版

1、，)考点7第4讲不等式与合情推理不等式的解法考法全练1 .设a>b,a,b,cCR,则下列结论正确的是()A.ac2bc2Bo错误！1C.acbcD.a2b2解析：选Co当c=0时，ac2=bc2,所以选项A错误；当b=0时，错误！无意义，所以选项B错误；因为ab,所以ac>bc包成立，所以选项C正确；当a<0时，a2<b2,所以选项D错误.故选Co2 .已知关于x的不等式(ax1)(x+1)0的解集是(一巴1)u错误！，则a=()A.2B.2C.一错误！D.错误！解析:选Bo根据一元二次不等式与其对应方程的关系知-1,-错误！是一元二次方程ax2+(a1)x-1=0的

2、两个根，所以一1x错误！=错误！，所以a=2,故选Bo3 .设x表示不超过x的最大整数(例如：5。5=5,5。5=6),则不等式x2-5x+6<0的解集为()A.(2,3)B.2,4)C.2,3D.(2,3解析：选B.不等式x25x+6<0可化为(x2)(x-3)<0,解得20x&3,即不等式x2-5x+6<0的解集为2&x&3。根据x表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2&x<4。故选Bo4.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围是()A.(-3,5)B.(2,4)C.3,

3、5D.2,4解析：选D。由x2(a+1)x+a0得(x1)(xa)0,当a=1时，不等式的解集为?，符合题意；当a1时，不等式的解集为(1，a);当a1时，不等式的解集为(a，1).要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a<4且a>-2,所以实数a的取值范围是2，4故选D。错误!解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式:利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解(3) 有函数背景的不等式：灵活利用函数的性质(单调性、奇偶性、对称性等)与

4、图象求解注意求解含参数的不等式的易错点是不清楚对参数分类讨论的标准导致求解出错/)考点2基本不等式及其应用考法全练1 .设x>0,则函数y=x+错误！一错误！的最小值为.解析：y=x+错误！一错误！=(x+1)+错误！一错误！>2错误！=错误！。当且仅当X+1=错误！,即x=0时等号成立.答案：一错误！2 .(2019高考天津卷)设x>0,y>0,x+2y=5,则错误！的最小值为.解析：错误！=错误！=错误！=2错误！+错误！.由x+2y=5得5>2错误！，即错误！0错误！，即xy<错误！，当且仅当x=2y=错误！时等号成立.2错误！+错误！>2错误！

5、=4错误！，当且仅当2错误！=错误！，即xy=3时取等号，结合xyw错误！可知，xy可以取到3,故错误！的最小值为4错误！。答案：4错误！3 .某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析：一年购买错误！次，则总运费与总存储费用之和为错误！X6+4x=4错误！>8错误！=240,当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：304 .设正数x,y满足log2(x+y+3)=log2x+log2y,则x+y的取值范围是.解析：由题意可知x+y+3=xy(x0,

6、y>0),所以x+y+3=xy0错误！错误！，即4(x+2y)+120(x+y),(x+y6)(x+y+2)>0,所以x+y>6。答案:6,+oo)5 .已知向量a=(x-1,3),b=(1,y),其中x,y都为正实数.若a±b,则错误！十错误！的最小值为.解析：因为a±b,所以a-b=x1+3y=0,即x+3y=1.又x,y为正实数，所以错误！+错误！=(x+3y)错误！=2+错误！+错误！>2+2错误！=4,当且仅当x=3y=错误！时取等号.所以错误！+错误！的最小值为4.答案：4错误！利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，

7、配凑项的系数，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值.即化为y=错误！+Bg(x)(A0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.(4) “1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值.注意运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指“正数”；

8、“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.V)考点3】简单的线性规划问题考法全练1. (一题多解)(2019高考天津卷)设变量x,y满足约束条件错误！则目标函数z=4x+y的最大值为()A。2B.3C。5D。6解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示.由z=4x+y得y=4x+乙结合图形可知当直线y=4x+z过点A时，z最大,由错误！得A(T,1),故Zmax=-4X(1)+1=5。故选C.法二：易知目标函数z=4x+y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是

9、（一1,1）,（0,2）,（1,1）,（3,-1）.当直线y=4x+z经过点（一1,1）时，z=5;当直线y=4x+z经过点（0,2）时，z=2;当直线y=4x+z经过点（1,1）时，z=3;当直线y=4x+z经过点（3,1）时，z=13.所以Zmax=5,故选C2. （2019洛阳市统考）如果点P（x,y）满足错误！，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，则|PQI的取值范围是（）A.错误！一1,错误！一1B.错误！一1,错误！+1C.而-1,5D.m-1,5解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域（如图中阴影部分所示），因为点Q所在圆的圆心为M（0,-2）,所以|PM取得最小值的

10、最优解为（一1,0）,取得最大值的最优解为（0,2）,所以|PM|的最小值为错误！，最大值为4,又圆M的半径为1,所以|PQ|的取值范围是、/51,5,故选D.3. （2019郑州市第二次质量预测）设实数x,y满足错误！，则z=错误！的取值范围为，一，、，y，解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.z=j表示平面区域内的点与坐标原点。的连线的斜率.由错误！，得错误！，即A(1,3).由错误！，得错误！，即B(-2,错误！).所以Zmax=koB=错误！=一错误！,Zmin=ko尸错误！=一3,所以2=错误！的取值范围为错误！。答案：错误！4. 已知变量x,y满足约束条件错误！记z

11、=4x+y的最大值是a,则a=.解析：变量x,y满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示.作出直线4x+y=0,平移直线，知当直线经过点A时，z取得最大值，由错误！解得错误!所以A(1,1),此时z=4X1-1=3,故a=3。答案：3错误！简单的线性规划问题的解题策略在给定约束条件的情况下，求线性目标函数的最优解，其主要解题策略为：(1)根据约束条件作出可行域.(2)根据所要求的目标函数的最值，令目标函数z=0,将所得直线平移，得到可行解,并确定最优解.(3)将取得最优解时的点的坐标确定，并求出此时的最优解.考点4合情推理考法全练5. (2019高考全国卷H)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、

12、丙三人对成绩进行预测甲:我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为()A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙解析：选A.依题意，若甲预测正确,则乙、丙均预测错误,此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确,此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A。2观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式为解析:观察等式左边的

13、式子,每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2,且正、负相问，所以等式左边的通项为(1)n+1n2。等式右边的值的符号也是正、负相问，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,.设此数列为&,则a2a1=2,a3a=3,a4一a3=4,a5a=5,，anan1=n,各式相加得ana=2+3+4+n,即an=1+2+3+n=错误！。所以第n个等式为12-22+32-42+-+(-1)n+1n2=(1)"1错误！.答案：1222+3242+(-1)n+1n2=(1)n+1错误！3.祖咂(公元56世纪)是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：“幂势既同，

14、则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆错误！+错误！=1（ab0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图），称为椭球体，课本中介绍了应用祖咂原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于.解析：椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖咂原理得出椭球的体积V=2（V圆柱一V圆锥）=2错误！=错误！冗b2a。答案：错误！冗b2a规律方法合情推

15、理的解题思路（1）在进行归纳推理时，要根据已知的部分个体，适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.（2）在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质.（3）归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性.练典型习题G提数学素养一、选择题1.用反证法证明命题：”设a,b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（）A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一

16、个也没有，直接写出命题的否定.方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根，故应选A.2.若ab0,则下列不等式错误的是()A.错误！错误！B.错误！>昔误！C.|a|>|b|D.a2b2解析：选Bo因为a<b0,所以错误！错误！，故A对，因为a<b<0,所以0<b,aab0,所以错误！错误！，故B错.因为a<b0,所以一a一b0,即|a|>|b|,所以|a|>IbI,故C对.因为ab0,所以一a一b0,所以(一a)2>(b)2,即a2>b2,故D对.3,已知集合x|错误！00,N=x|y=log3

17、(6x2+11x4)，则MAN=()Ao错误！Bo错误！C.错误！D。错误！解析：选C。因为集合M=x|错误！00=x|1<x<3,N=x|y=log3(6x2+11x-4)=x|6x2+11x-4>0=错误！.所以MinN=错误！nx|错误！x<错误！=错误！。x+y3>0,4.设x,y满足约束条件Jx-y+1>0,则z=2x+y的最小值与最大值的和为1 x<3B. 8D. 14()A.7C.13解析：选D.作出不等式组错误！表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x+y=0,平移直线2x+y=0,当直线经过点A(1,2)时，z=2x+y取得最

18、小值4,当直线经过点B(3,4),z=2x+y取得最大值10,故z的最小值与最大值的和为4+10=14.故选D.5.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；内说：我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断内必定值班的日期是(A.2日和5日B.5日和6日C.6日和11日D.2日和11日解析:选C.由题意，1至12的和为78,因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26,1、3、根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5

19、,据此可判断内必定值班的日期是6日和11日.束条件6.(2019郑州市第二次质量预测)设变量x,y满足约y02,x+y>1,x-y<l,则目标函数z=错误！错误！的最大值为()A.错误！错误！B.错误！错误！C.3D.4欲求z=该直线的纵截距u二3。故选解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z=错误！错误！，设u=3x+y,错误！错误！的最大值，等价于求u=3x+y的最小值.u=3x+y可化为y=-3x+u,纵截距为u,作出直线y=3x并平移，当直线y=3x+u经过点B(1,2)时，取得最小值Umin=3X(1)+2=1,所以z=错误！错误！的最大值Zmax=错误！错误！:

20、Co7 .设f(x)是定义在2b,3+b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)>f(3)的解集为()A3，3B2,4C1，5D0，6解析：选B。根据题意，2b+3+b=0;所以b=3;所以f(x)的定义域为6,6,在6,0上为增函数；所以f(x)在0,6上为减函数；所以由f(x1)f(3)得，f(|x-1|)>f(3);所以错误!解得20x<4;所以原不等式的解集为2,48 .已知x>1,y>1,且1gx,2,lgy成等差数列，则x+丫有()A.最小值，为20B.最小值,为200C.最大值，为20D.最大值,为200解析：选B.因为x>1,y>

21、;1,且1gx,2,1gy成等差数列，所以4=1gx+lgy,所以1g104=1g(xy),所以xy=10000,所以x+y>2错误！=200，当且仅当x=y=100时取等号，所以xy有最小值，为200.故选B.9某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时，生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为()A320千元B360千元C400千元D440千元解析：选B。设生产甲

22、产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则错误！z=2x+y,作出错误！的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x+y=0,平移该直线，当直线经过直线2x+3y=480与直线6x+y=960的交点(150,60)时，z取得最大值,为360.10.设函数 f (x) = mX mx- 1,若对于 xC 1 ,3 , f (x)一 m+ 4 包成立,则实数 m的取值范围为（）A。错误!B.错误!C。错误!D.错误!解析：选A。由题意，f（x） <-4,可得 m(x2-x+ 1) <5.因为当 xC1,3时，x2-x+ 1C1, 7所以m错误! o因为当x=3时，错误！的最小值为错误！，所

23、以若要不等式 m错误！何成立，则必须 m错误！，因此，实数m的取值范围为错误！.11.已知实数 x,y满足约束条件 错误！若2=错误！的最小值为一错误！，则正数a的值为A.错误！Co错误!B. 1D.错误!解析:选D.实数x, y满足的约束条件 错误！的可行域如图:一，y+1r1rr,人，因为z=y表小过点（x,y）与（一1,1）连线的斜率,x十1易知a>0,所以可作出可行域，可知可行域的点A与（一1,1）连线的斜率最小,由错误！解得A错误!.z=错误！的最小值为一错误！，即错误！错误！=错误！=错误！=一错误！？a=错误！。12 .已知an=错误！错误！，把数列an的各项排列成如下的三

24、角形状:记A(mn)表示第m行的第n个数，则A(11,2)=()A.错误！错误！Bo错误！错误！C.错误！错误！D。错误！错误！解析：选Do由A(mn)表示第m行的第n个数可知，A(11,2)表示第11行的第2个数，根据图形可知：每一行的最后一项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一项的项数为102=100，即为&oo,所以第11行第2项的项数为100+2=102,所以A(11,2)=2©=错误！错误！，故选Do二、填空题13 .不等式|x3|2的解集为.解析：不等式|x3|2,即一2<x3<2,解得1X5。答案：(1,5)14 .已知函数y=x+错误！(x>2)的最小值为6,则正数m的值为.m一解析：因为x>2,m>0,所以y=x2+2>2错误！+2=2错误！+2,当x=2+错误！x2时取等号，又函数y=x+错误！(x>2)的最小值为6,所以2错误！+2=6,解得m=4.答案：4x>215 .(2019洛阳尖子生第二次联考)已知x,y满足x+y<4.若目标函数z=3x+y2x-y-m<0的最大值为10,则z的最小值为.解析:作出可行域，如图中阴影部分所示.作出直线3x+y=0,并平移可知当直线过点A时，z取得最大值，为10,当直线过点B时，z取得最小值.由错误！得错误！，即A音误！，所以3X错误！