双曲线的几何性质

1、双曲线的几何性质双曲线的几何性质oyxF1F2A1A2B2B1复习复习1 1 椭圆的图像与性质椭圆的图像与性质标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(12222babyaxaxabyb对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点A1,A2,B1,B210ace(-c,0)(c,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、 （c，0）) 0, 0( 12222babyax1F2F 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 1222

2、2babxay1F2F222bac复习复习2 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 类比椭圆几何性质的研究方法，我类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线的标准方程们根据双曲线的标准方程得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？性质？)0, 0( 12222babyax问题问题1 1：1、范围、范围axaxaxax, 12222?xyo(-x,y)(-x,-y)(x,y)(x,-y)-aa 2、对称性、对称性 关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲

3、线的又叫做双曲线的中心中心。3、顶点、顶点xyo1B2B1A2A（2 2）如图，线段）如图，线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长为，它的长为2a,2a,a a叫做实半轴长；线段叫做实半轴长；线段B B1 1B B2 2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长，它的长为为2b,b2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长. .（3 3）实轴与虚轴等长的双曲线）实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线。等轴双曲线。（1 1）令）令y=0y=0，得，得x=x=a,a,则双曲线与则双曲线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为 A A1 1( (- -a,0),Aa,0)

4、,A2 2(a,0)(a,0)，我们把这两个点叫，我们把这两个点叫双曲线的顶点双曲线的顶点; ;令令x=0,x=0,得得y y2 2=-b=-b2 2, ,这个方程没有实数根，说明双曲线与这个方程没有实数根，说明双曲线与y y轴没有交点，但我们也把轴没有交点，但我们也把B B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)画在画在y y轴上。轴上。M(x,y)4、渐近线、渐近线1A2A1B2BQxyoxaby xaby ab 可以看出，双曲线可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线的各支向外延伸时，与直线逐渐接近，我们把这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的叫做双曲线

5、的渐近线渐近线。12222byaxxaby双曲线与渐近线无限接近，双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。但永不相交。5、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴e焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答12222bxayxbay双曲线标准方程：双曲线标准方程：双曲线性质：双曲线性质：1.范围：范围：2.对称性：对称性：3.顶点：顶

6、点：4.渐近线方程：渐近线方程：5.离心率：离心率：ya或或y-a关于坐标轴和原点对称关于坐标轴和原点对称A1(0 ，-a), A2(0 , a)A1A2为实轴，为实轴，B1B2为虚轴为虚轴1ace)0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线xyoRyax,对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点)0 ,( ae1,Rxay ,对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点),0(ae1,e越大，张口开阔越大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭e越大，张口开阔越

7、大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭xabyxbay(c,0) (-c,0)(0,c) (0,-c)双曲线的几何性质双曲线的几何性质 二二解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长虚半轴长虚半轴长半焦距半焦距焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程: 求求双曲线双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。14416922 xy1342222 xyxy34内容回顾内容回顾 45ace4a3b53422c巩固练习巩固练习 1.1.中心在原点，实轴长为中心在原点，实轴长为

8、1010，虚轴长为，虚轴长为6 6的双曲线的标准的双曲线的标准方程为（方程为（ ）A.192522yxC.16410022yxB.192522yx192522xy或或D.16410022yx16410022xy或或BA.xy32B.xy94C.xy23D.xy49C2.2.双曲线双曲线 的渐近线方程为（的渐近线方程为（ ）19422yx3.3.双曲线双曲线 的虚轴长是实轴长的的虚轴长是实轴长的2 2倍，倍，则则m m的值为的值为122 ymx41例例1: 1: 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为绕其虚轴旋转所成的曲

9、面，它的最小半径为12m12m，上口半径为上口半径为13m13m，下口半径为，下口半径为25m25m，高为，高为55m55m，试选，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程择适当的坐标系，求出此双曲线的方程. .ox xy yAxyoC1O2OB解：如图建立直角坐标系解：如图建立直角坐标系xoy,使最小圆的直径在使最小圆的直径在x轴上，轴上，圆心与原点重合圆心与原点重合.设双曲线方程为设双曲线方程为22221(0,0)xyabab令点令点C的坐标为的坐标为(13,y),则点则点B的坐标为的坐标为(25,y-55)，因为，因为点点B,C在双曲线上，所以在双曲线上，所以2222222225(55)1

10、1213112ybyb得得219275181500bb25b 2211 4 46 2 5xy-=双曲线方程为双曲线方程为 与双曲线与双曲线221916xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线221164xy有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 例例2:求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：例题讲解例题讲解 法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：法二：222221,2012(30)xymmm设求得舍去1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应的双曲线的应用用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线