选修22—— 综合法和分析法

1、22直接证明与间接证明22.1综合法和分析法1问题导航(1)什么是综合法，什么是分析法？两种证明方法的特点是什么？(2)综合法的推理过程是什么？(3)综合法与分析法有什么区别和联系？2例题导读通过P85例1的学习，应学会利用综合法证明数学问题的思路和方法及推理步骤通过P87例2和P88例3的学习，学会分析法证明数学问题的思路、方法和推理模式1综合法定义推证过程特点利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)顺推证法或由因导果法2.分析法定义推证过程特点从要证

2、明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件()(3)分析法就是从结论推向已知()(4)所有证明的数学问题均可使用分析法证明()答案：(1)×(2)(3)×(4)×2综合法是()A执果索因的逆推证法B由因导果的顺推证法C因果分别互推的两头凑法D原命题的证明方法答案：B3要证明<(a0)可选择的方法有多种

3、，其中最合理的是()A综合法B类比法C分析法D归纳法答案：C4命题“函数f(x)xxln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)xxln x求导，得f(x)ln x，当x(0，1)时，f(x)ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了_的证明方法解析：本命题的证明，利用已知条件和导数与函数单调性的关系证得了结论，应用了综合法的证明方法答案：综合法1综合法是一种直接证明的方法，是由已知推出正确结论的推理过程它的基本思路是“由因导果”，由“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后推出待证的问题其逐步推理，实际

4、上是寻找“已知”的必要条件，综合法又叫顺推证法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法2分析法是数学中常用的一种直接证明方法它是从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理，简单地说，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”3综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，是解决数学问题的常用的思维方法一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述因此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程4综合法、分析法的区别综合法分析法推理方向顺推，由因导果逆推，执果索因解题思路探路较难，易生枝

5、节容易探路，利于思考表述形式形式简洁，条理清晰叙述烦琐，易出错思路的侧重点侧重于已知条件提供的信息侧重于结论提供的信息综合法(1)在锐角三角形中，求证：sin Asin Bsin C>cos Acos Bcos C.证明在锐角三角形中，AB>，A>B.0<B<A<，又在内正弦函数是单调递增函数，sin A>sincos B，即sin A>cos B同理sin B>cos C，sin C>cos A由，得sin Asin Bsin C>cos Acos Bcos C.(2)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC平面ABCD，

6、PC2，在四边形ABCD中，BC90°，AB4，CD1，点M在PB上，且PB4PM，PB与平面ABC成30°角求证：CM平面PAD；平面PAB平面PAD.证明以C为原点，以CD、CB、CP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)由PBC30°，|PC|2，得|BC|2，|PB|4，不难得到D(1，0，0)，B(0，2，0)，A(4，2，0)，P(0，0，2)，M.设xy，则x，y.，共面CM平面 PAD，CM平面PAD.作BEPA于点E(图略)，E(2，1)，(2，1)·0，BEDA.又BEPA，BE平面PAD，平面PAB平面PAD.利用综

7、合法证明数学问题的三个步骤仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取1(1)求证：当xR时，x2>3x3.证明：x2(3x3)x23x3，又xR，0，>0，即x2(3x3)>0，x2>3x3.(2)设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)其中m为

8、常数，且m3.求证：an是等比数列；若数列an的公比qf(m)，数列bn满足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求证：为等差数列证明：由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3.两式相减，得(3m)an12man，m3，an是等比数列(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.b1a11，qf(m)，当nN且n2时，bnf(bn1)·，bnbn13bn3bn1，.是首项为1，公差为的等差数列分析法若a>0，求证：<.证明要证<，只需证()2<()2，即证2a32<2a32，只需证2<2，只需证<，只需证a

9、23a<a23a2，只需证0<2，因为0<2显然成立，所以<成立分析法证明数学问题的范围、方法、技巧2(1)已知，均为锐角，且，(1tan )(1tan )2，求证：.证明：要证，由于，均为锐角，所以只需证tan()1，即证1，只需证tan tan tan tan 1，(1tan )(1tan )2，tan tan tan ·tan 1成立，得证(2)已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明：要证(ab)1(bc)13(abc)1，只需证，即证3，也就是证1.只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a

10、2acb2，需证b2c2a22ac·cos 60°，需证B60°.A、B、C成等差数列，B60°，(ab)1(bc)13(abc)1.综合法与分析法的综合应用设f(x)ax2bxc(a0)，若函数f(x1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数证明法一：要证f为偶函数，只需证明其图象的对称轴为y轴，即只需证0，只需证ab.由已知，得抛物线f(x1)的对称轴x1与抛物线f(x)的对称轴x关于y轴对称，1.于是得ab.f为偶函数法二：记F(x)f，欲证F(x)为偶函数，只需证F(x)F(x)，即只需证ff，由已知，函数f(x1)与f(x)的图象关于y

11、轴对称，而函数f(x)与f(x)的图象也是关于y轴对称的，f(x)f(x1)ffff，f为偶函数一方面从问题的已知条件出发，经逻辑推演导出中途结果，另一方面从问题的结论出发，回溯到中途，即导出同一个中途结果，从而沟通思路使问题得到解决3(1)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglg>lg alg blg c.证明：要证lglglg>lg alg blg c，只需证lg>lg(abc)，只需证··>abc.因为>0，>0，>0，且上述三式中的等号不全成立，所以··>abc.因此lglglg>lg

12、 alg blg c.(2)在某两个正数x，y之间插入一个数a，使x，a，y成等差数列，插入两数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：(a1)2(b1)(c1)证明：由已知得x，y，即xy，从而2a.要证(a1)2(b1)(c1)，只需证a1成立只需证a1即可也就是证2abc.而2a，则只需证bc成立即可，即证b3c3(bc)(b2bcc2)(bc)bc，即证b2c2bcbc，即证(bc)20成立，上式显然成立，(a1)2(b1)(c1)规范解答综合法在几何证明中的应用(本题满分12分)如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD为菱形，OA平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的

13、中点，求证：(1)平面BDO平面ACO；(2)EF平面OCD.证明(1)因为OA平面ABCD，BD平面ABCD，所以OABD.2分因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又OAACA，所以BD平面ACO.4分又因为BD平面BDO，所以平面BDO平面ACO.6分(2)取OD的中点M，连接EM，CM，则MEAD，MEAD.7分因为ABCD是菱形，所以ADBC，ADBC，因为F为BC的中点，8分所以CFAD，CFAD，所以MECF，MECF，10分所以四边形EFCM是平行四边形，所以EFMC.又因为EF平面OCD，MC平面OCD.所以EF平面OCD.12分规范与警示(1)在处易忽略“菱形”这一条件的运

14、用导致无法证明面面垂直在处往往不能正确的构造出平行四边形导致无法得到线线平行，最后导致第(2)问结论无法证出(2)几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行同时证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明1关于综合法和分析法的说法错误的是()A综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B综合法又叫顺推证法或由因导果法C综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：选C.由综合法、分析法的定

15、义可知，C错误2在ABC中，tan A·tan B>1，则ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选A.tan A·tan B>1，tan A>0，tan B>0，A、B为锐角，又tan(AB)<0，AB>，C<，ABC是锐角三角形，故选A.3已知函数f(x)ax2bxc的图象过点(1，3)和(1，1)，若0<c<1，则实数a的取值范围是_解析：将x1，y3和x1，y1代入yax2bxc中，得b1，ac2，又0<c<1，0<2a<1，1<a<2.答案：(1，2)

16、4设a>0，b>0，证明.证明：要证，只需证ab2，即证ab20，只需证()20，上式显然成立，故成立A.基础达标1命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明过程为：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”，其应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D类比法解析：选B.从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路2欲证成立，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2解析：选C.A中，<0，<0，平方后不等价；B、D与A情况一样；只有C项，<<

17、()2<()2.3函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0，1，则ba的最小值为()A2B1C.D.解析：选D.由函数f(x)|log3x|在区间a，b上的值域为0，1，则a，1b3；或a1，b3，故ba的最小值为，故选D.4已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面M，b平面N，MNc.有下列命题：若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有平面M平面N.其中正确的是()A BC D解析：选B.由线线平行、线线垂直的判定和性质，可知只有正确5已知函数f(x)，a，b(0，)，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCB

18、CA DCBA解析：选A.a>0，b>0，.1，.又f(x)为减函数，ff()f，故选A.6在不等边三角形中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件是a2_b2c2(填“>”“<”“”或“”)答案：>7若抛物线y4x2上的点P到直线y4x5的距离最短，则点P的坐标为_解析：设点P在直线y4xm上，将y4xm代入y4x2，得4x24xm0，令0，得m1.4x24x10，x，y1.答案：8正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点集形成一条曲线，这条曲线的长度为_解析：这条曲线在面ADD1A1上的一

19、段是以A为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心，为半径，为圆心角的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为：3(··).答案：9ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B<.证明：由条件得，即b.又cos B，cos B.a，b，c均为正数，a2c22ac，(ac)24ac，(a2c2)(ac)24a2c22ac·4ac4a2c24a2c2>0，即cos B>0，又0<B<，B<.10已知x>0，y>0，求证：(x2y2)>(x3y3).证明：要证明(x2y2

20、)>(x3y3)，只需证(x2y2)3>(x3y3)2，即证x63x4y23x2y4y6>x62x3y3y6，即证3x4y23x2y4>2x3y3.x>0，y>0，x2y2>0，即证3x23y2>2xy，3x23y2>x2y22xy，3x23y2>2xy成立，故(x2y2)>(x3y3).B.能力提升1若2m4n<2，则点(m，n)必在()A直线xy1的右上方B直线xy1的左下方C直线x2y1的右上方D直线x2y1的左下方解析：选D.由均值不等式得2m4n22，2<2，m2n<1，故选D.2过x2y210x内一

21、点(5，3)有n条弦，它们的长度构成等差数列，最小弦长为数列首项a1，最大弦长为数列的末项an，若公差d，则n的取值范围是()A4 B5，7C(7，) D(0，)解析：选B.A(5，3)，圆心O(5，0)，最短弦为垂直OA的弦，a18，最长弦为直径，an10，公差d，5n7.3函数ya1x(a>0且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10(m·n>0)上，则的最小值为_解析：由函数ya1x(a>0且a1)恒过定点A(1，1)，点A在直线mxny10上，mn10，即mn1.又m·n>0，m>0，n>0.(mn)222224(当且仅当

22、mn时取等号)答案：44设a>b>0，m>0，用分析法证明<成立的充分条件是_解析：a>b>0，m>0.要证<成立，只需证·a(am)<·a(am)成立即可即证abbm<abam成立，只需证bm<am成立，即证(ba)m<0成立即可，由已知可知上式显然成立答案：(ba)m<05如图所示，过抛物线y22px(p>0)的顶点任作两条互相垂直的弦OA、OB，求证：AB过x轴上的一个定点证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，OAOB，1，yyxx，y2px1，y2px2，4p2x1x2(x1x2)2，x1x24p2.设直线AB与x轴的交点为M(m，0)，设直线A