重庆大学高数下期末试题二含答案

1、命题人: 组题人: 审题人: 命题时间: 教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学高等数学（工学类）课程试卷 20 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试时间: 120 分钟题 号一二三四五六七八九十总 分得 分考试提示1.严禁随身携带通讯工具等电子设备参加考试; 2.考试作弊,留校察看,毕业当年不授学位;请人代考、替他人考试、两次及以上作弊等,属严重作弊,开除学籍.一、选择题(每小题3分,共18分)1. 设向量与三轴正向夹角依次为则当时有 (A) 面 (B) 面 (C) 面 (D) 面 知识点:向量

2、与坐标的位置关系,难度等级:1.答案: (B)分析:垂直于轴,面.2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为其中为独立的任意常数,则该方程为(A) (B) (C) (D) 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2.答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解 知,方程对应的特征方程的特征根为因此对应的特征方程是于是对应的微分方程应是故应选(D).3. 设由确定.若则之间的大小顺序为 (A) (B) (C) (D)知识点:二重积分比较大小,难度等级:1.答案:(D)分析:积分区域由确定.在内,故只有符合.4设曲线是由到的上半圆周则曲线积分 (A) (B) (C) (D)知识点:对坐标

3、的曲线积分,格林公式,难度等级:2.答案:(B)分析:补充直线段则为封闭曲线在上使用格林公式可得而选B.5. 已知向量则垂直于且同时垂直于轴的单位向量 (A) (B) (C) (D) 知识点:向量垂直,单位向量,难度等级:1.答案:(C)分析:向量垂直于且同时垂直于轴,其模为.6. 设为球面则(A) (B) (C) (D)知识点:对面积的曲面积分,对称性,难度等级:2.答案:(C)分析: 由于积分曲面关于三个坐标面对称,且满足轮换,故有利用上述结论所求为故选C.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 幂级数的收敛半径为知识点:幂级数收敛半径,难度等级:1.答案:分析: 8. 由原点向平面引垂线

4、,垂足的坐标是,此平面的方程为 知识点:平面方程,难度等级:1.答案:分析:该平面的法向量为且过点则其平面的方程9. 设为椭圆其周长记为则求知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案: 10. 设区域为则知识点:二重积分的计算,对称性,难度等级:2.答案:分析:所求几何体为一圆柱体被一平面劈开剩下部分,由几何形状知其为圆柱体体积一半,可得结果.或直接由被积函数奇偶分开,及积分区域对称立得.11. 其中为抛物线上由到的一段弧.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,难度等级:2答案:解: 与积分路径无关.取为由组成的折线,则12. 设为曲面的外侧,则知识点:对坐标的曲面积分,球坐标,难度等级

5、:3.答案:分析: 由高斯公式,三、计算题(每小题6分,共24分)13. 求初值问题的解.知识点:齐次微分方程的初值问题,求解,难度等级:1.分析:所给方程为齐次微分方程,作代换化为可分离变量的微分方程.解:将方程改写为这是齐次方程.令则代入上式得这是变量分离方程,且有积分得代入初值可解得故原方程的特解为 14. 求级数的和.知识点:级数和,难度等级:3分析:利用级数之和,幂级数的逐项求导解: 又 15. 计算,其中为圆周的方向为逆时针方向.知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,取特殊路径;难度等级:3.分析:先注意积分与路径无关,后根据分母特点取特殊路径积分. 解:当时,作小圆取逆时针方

6、向,则16. 求力沿有向闭曲线所作的功,其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界,从轴正向看去,顺时针方向.知识点:变力没曲线作功,难度等级:2.分析: 曲线积分的边界已为闭,用斯克斯公式,或化为平面曲线积分用格林公式.解: 用斯托克斯公式,取为平面的下侧被所围的部分,下侧的单位法向量为力所做的功为四、解答题(每小题6分,共12分)17设其中二阶可导,由方程所确定,求知识点:方程组的二阶偏导数,难度等级:2.分析:对求二阶偏导数得但其中会包含对的二阶偏导数.两边对两次求偏导数,可求出.解: 18. 计算曲面积分其中为上半球面上侧.知识点:高斯公式,球面坐标,极坐标,难度等级3.分析: 补

7、充辅助面用高斯公式,再用球面坐标.解: 设取下侧,则与围成的区域为在面的投影区域为于是五、 证明题(每小题6分,共12分)19. 证明: 知识点:二重积分交换积分次序,难度等级:1分析: 将二次积分化为定积分,注意到被积函数不含变量先对积分,故将积分区域由型区域化为型区域计算可得证明结果证明: 积分区域为 并且又可表示为 所以 20. 设在半平面内有力构成力场,其中为常数,证明:在此力场中场力所作的功与所取路径无关.知识点:变力沿曲线作功,难度等级:1 分析: 验证积分与路径无关.证明 场力所作的功其中为力场内任一闭曲线段.可见,且在半平面内有连续偏导数,所以即场力作用与路径无关.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 已知年复利为0.05,现存 万元,第一年取出19万元,第二年取出28万元,第年取出万元,问至少为多少时,可以一直取下去？知识点:幂级数的和函数,难度等级:2解:设为用于第年提取万元的贴现值,则 故 设 则 所以万元,故万元,即至少应存入3980万元.22按照牛顿冷却定律:物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比.已知空气温度为物体在分钟内从冷却到