高等代数自测题

1、第六章 线性空间自测题一、选择题 1 设M是R上全体n阶矩阵的集合，定义(A)=|A|,AM，则是M到R的一个（ ）.A单射 B满射 C双射 D既非单射也非满射2把复数域C看成R上的线性空间，这个空间的维数是（ ）.A一维 B二维 C 三维 D无限维3R是复数域，P是任一数域，则集合RP对于通常的数的加法与乘法是（ ）.AC上的线性空间 BR上的线性空间 CQ上的线性空间 D不构成线性空间4已知P2的两组基： 与，则由基、的过渡矩阵为（ ）.A B C D5全体正实数集集合R+中，加法与数乘定义为：ab=ab, k。a=ak，其中a、b R+， kR，则R+构成R上的线性空间，它的维数与基为（

2、 ）.A维数=0，没有基 B维数=1，1是基 C维数=1，2是基 D维数=2，3、5是基6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是（ ）.A B C D7. 数域P上线性空间的维数为，且中任意向量可由线性表出，则下列结论成立的是（ ）.A B C D8. 设，则（ ）.A2 B3 C4 D59. 已知在R上构成线性空间，则的基为（ ）.A B C D10. 若均为线性空间的子空间，则下列等式成立的是（ ）.A B C D11已知，下列集合中是的子空间的为（ ）. A B C D12下列集合有（ ）个是的子空间. ； ； ； ；A1 个 B2 个 C3 个 D4个13. 设

3、都是三维向量空间的基，且，则矩阵是由基到（ ）的过渡矩阵.A B C D二、判断题1设V是n维线性空间， ，且V中的每一个向量均可由它们线性表示，则. （ ）2（1，1，1），=（1，-1，1），=（-1，1，1）是三维空间R3的一组基.（ ）3若V1,V2为有限维线性空间V的子空间，则V1V2也是V的子空间. （ × ）4设是线性空间V的一组线性无关向量，则L（）=L（，） L（，）. （ ）5设V1、V2、V3是线性空间V的三个子空间，且V1V2=，V2V3=，V1V3=，则和V1+V2+V3是直和. （ × ）6. 中的子集为子空间. （ ）7. 中的子集为子空间.

4、（ × ）8. 中的子集为子空间. （ ）9. 的向量线性相关. （ × ）10. 的向量线性相关. （ ）11. 的向量的线性相关. （ × ）12. 设是线性空间的两个子空间，那么它们的和也是的一个子空间.（ ）13. 设是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的一个子空间.（）14. 设都是数域上的线性空间的有限维子空间，那么也是有限维的，并且. （ ）三、填空题 1设 -1= .2设V是三维线性空间，则V的二维子空间有 无数 个.3设有P2的一组基，则向量=（a，b）在这组基下的坐标为 .4. （1，2，3），=（3，-1，2），=（2，3，x）, 则x=

5、 5 时，、线性相关.5向量组（1，0，0），=（0，1，0），=（3，-1，0）的极大无关组是 .6. 向量空间V的基到基的过渡矩阵为 .7. 复数域作为实数域上的向量空间，则 ,它的一个基为 .复数域作为复数域上的向量空间，则 ,它的一个基为 .8. 设是向量空间的一个基，由该基到的过渡矩阵为 .9. 设与都是上的两个有限维线性空间，则 .10. 数域上任一维向量空间都与 .（不同构，同构）11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 .12. 令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则= .13. 令是数域上一切满足条件的阶矩阵所成的线性空间，则= .14. 令

6、是数域上一切阶上三角形矩阵所成的线性空间，则= .四、简答题1证明：x2+x，x2-x，x+1是线性空间Rx3的一组基，并求2x 2+7 x +3在这组基下的坐标.2. 证明：是的一个基，并求多项式与在该基下的坐标.3. 已知,，求在基下的坐标.4）_664. 已知是线性空间的一组基，求向量在基下的坐标.5设有P4的两个子空间，求的基与维数. 6设，求及.7设(1) 证明：中与可以交换的矩阵集合W是的子空间；(2) 求W的基和维数；(3) 写出W中矩阵的一般形式.8设(1)证明：全体与A可交换的矩阵组成的一子空间，记作;(2)当A=E时，求;(3)当时，求的维数与一组基.9设U与W分别 n阶对

7、称集合与n阶反对称集合构成的的子空间，证明： =UW.10已知的两个子空间，证明：11在线性空间中，求由线性方程组：所确定的的子空间的一组基和维数.12. 求齐次线性方程组解空间的一组基与维数.13. 求齐次线性方程组 解空间的一组基与维数.14. 求齐次线性方程组解空间的一组基与维数. 15设在线性空间中，有向量组， ，, ，求的一组基与维数.16. 已知向量组=(1,1,0,-1), =(1,2,3,4)，=(1,2,1,1)，=(2,4,2,2)，试求它们的生成子空间(, , , )的维数和一组基.17. 考虑中以下两组向量；，（1）证明和都是的基；（2）并求出由基到的过渡矩阵.18. 已知中的两向量组 ，