立体几何知识点汇集

1、 立体几何知识点汇集（注：文科与理科要求相同）一、空间几何体1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4.会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸，线条等不作严格要求）。5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）二、点、直线、平面之间的位置关系1.理解空间

2、直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。一、投影与直观图         1平行投影         已知图形F，直线l与平面相交(如图)过F上任意一点M作直线平行于l，交平面于点，则点叫做点M在平面内关于直线l的平行投影(或象)如果图形F上的所有

3、点在平面内关于直线l的平行投影构成图形，则叫做图形F在内关于直线l的平行投影平面叫做投射面l叫做投射线         注：构成平行投影的三个要素是：投影方向、投影平面和被投射的物体当投影方向垂直于投影平面时，所得到的物体的平行投影，叫做正投影，简称为投影；当投影方向不垂直于投影平面时，所得到的物体的平行投影，叫做斜投影，于是平行投影的分类如下：               &

4、#160;  2平行投影的性质         当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：         (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；         (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；(如图1)         (3)平行

5、于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长，如图2中，；         (4)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等(如图3)；         (5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比(如图4)         事实上，如果线段AB在平面内关于直线l的平行投影是(如图4-1-6(4)，点M在AB上，且AMMB=mn，

6、则点M的平行投影在上，由平行线分线段成比例定理得：         3直观图         用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图         我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图         要画空间几何体的直观图首先要学会画水平放置的平面图形的直观图例如，

7、在桌面上放置一个正六边形，我们从空间某一点看这个六边形时，它是什么样子?如何画出它的直观图?         让我们先熟悉一下水平放置的平面图形的直观图的画法步骤：         (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴两轴交于点，且使(或135°)它们确定的平面表示水平面；         (

8、2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段；         (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半二、三视图         1正投影         正投影：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影   &#

9、160;     正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：         (1)垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；         (2)垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分         2三视图        

10、 (1)水平投射面、俯视图：一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图         (2)直立投射面、主视图：一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图         (3)侧立投射面、左视图：和直立、水平投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图     

11、    (4)三视图：将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图         3三视图的画法要求         (1)三视图的主视图、俯视图、左视图分别是人从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形         (2)一个物体

12、的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样知识讲解：一、平面         1平面         平面是一个只描述而不定义的最基本的概念，是由现实生活中(例如镜面、平静的水面等)的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性(也就是说平面没有边界)，又没有大小、宽窄、薄厚之分平面的这种性质与直线的无限延伸性是相通的 

13、;        2平面的表示         平面通常画成平行四边形由于平面的无限延展性，平行四边形只表示平面的一部分，这同画直线时，只能画一段来表示直线的道理是一样的另外，有时根据需要，也可用三角形、封闭的曲线图形等表示平面         注：立体图形的直观图中，被遮住的部分可画成虚线或不画对于作辅助线，可见部分不画成虚线被遮部分同上述处理，这是与平面几何作图的

14、一大区别         3平面的表示方法         平面通常用一个小写的希腊字母表示，如平面、平面、平面等，根据问题实际需要有时也用表示平行四边形ABCD的相对顶点的两个大写字母来表示，如平面AC，平面BD；或者用表示多边形的字母表示，如平面ABC，平面         4直线和平面都是由点构成的集合    &

15、#160;    几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集例如：点A在平面内，记作；点B不在平面内，记作直线l在平面内，记作；直线l不在平面内，记作这时点A是平面的元素，而直线l是平面的子集，因此在符号的使用上是有区别的二、平面的基本性质         平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础         公理1  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

16、，即         应用：(1)用来验证直线是否在平面内；(2)说明平面是无限延展的         公理2  如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线即         应用：(1)用来证明两个平面是相交的关系；(2)用来证明点在直线上，即证明两个平面的公共点在这两个平面的公共直线上；(3)证明点共线的

17、依据若干个点都是某两个平面的公共点，则它们都在一条直线上，即这两个平面的交线         公理3  经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面         推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面         推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面      

18、   推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面         “有且只有一个平面”即“确定一个平面”，既表示存在又表示唯一         应用：公理3是确定平面的依据，利用它可以确定平面，证明两个平面重合，三个推论的功能与公理3相同         说明：过去学过的平面几何中的定理都是在“在同一平面内”这一前提条件下的，也就是说定理

19、中所指的图形都是平面图形在立体几何中这些定理必须要满足这一前提条件才能使用，否则就可能得出错误的结论如空间中“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“有三个角是直角的四边形是矩形”等都是错误的三、空间两条直线         1空间两条直线的位置关系         空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面         若从公共点的数目方面

20、看，可以分为：         (1)只有一个公共点相交直线；         (2)         若从平面的基本性质方面看，可以分为：         (1)(2)不同在任何一个平面内异面直线       

21、;  2平行直线         同一平面内，两条不相交的直线称为平行直线         3异面直线(1)定义不同在任何一个平面内的两条直线异面直线既不相交也不平行(2)异面直线判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论根据，在运用时要掌握定理的条件四、空间直线和平面       &#

22、160; 1直线和平面的位置关系         (1)直线在平面内有无数个公共点；         (2)直线和平面相交有且只有一个公共点；         (3)直线和平面平行没有公共点         (2)(3)合并也叫直线在平面外   &#

23、160;     2线面平行的判定定理在使用时要注意“面外”、“面内”；线面垂直的判定定理在使用时要注意“面内两相交直线”   【例题】 例1 和两条异面直线都成角并且相交的直线有(  )条.· A无 · B一条 · C二条 · D其它选项都有可能详解： 应根据这两条异面直线的夹角大小不同来分类讨论，所以上述三种情况均有可能当两异面直线所成角为时，满足题意的直线没有；当两异面所成的角为，满足题意的直线有一条，当两异面所成的角小于时，满足题意的直线有两条.答案：D例2 如果一条直线与一个

24、平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(  )· A48 · B18 · C24 · D36详解： 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个选D答案：D例3 有如下三个命题：分别

25、在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为(  )· A0 · B1 · C2 · D3详解： 分别在两个平行平面内的两条直线有可能平行，故错误；垂直于同一平面的两条直线是平行直线，正确；设直线l是平面的一条斜线，直线m是一条与平面垂直的直线，当m与l相交时确定一个平面，且这平面是唯一的，则正确则正确命题的个数有两个，故选C.答案：C知识讲解：一、空间两个平面        

26、1两个平面的位置关系         (1)两平面平行没有公共点；         (2)两平面相交有一条公共直线         2两个平面平行的判定和性质是由线面平行确定面面平行的，要注意相互转化         3两个平面垂直的判定和性质也是由线面垂直确定面面垂直要注意它们

27、的转化，除此之外，还可利用二面角为直二面角来判定两个平面垂直 二、空间平行关系、垂直关系的转化         1空间平行关系的转化         2空间垂直关系的转化 ·   返回顶部    【例题】 例1 平面平面的一个充分条件是(  )· A存在一条直线 · B存在一条直线 · C存在两条平行直线 ·

28、 D存在两条异面直线详解： ABC均不一定推出.平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线”，选D.答案：D例2 已知、是不同的两个平面，直线，直线命题pa与b无公共点；命题q，则p是q的(  )· A充分而不必要条件 · B必要而不充分条件 · C充要条件 · D既不充分也不必要条件详解： 如图，a、b无公共点，但与不平行，故而，则、无公共点，所以a、b也没有公共点故所以p是q的必要而不充分条件答案：B例3 若、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是(  )· A若，则 · B若，

29、则 · C若，则 · D若，则详解： 对A，当时，只是平行于中某一直线而非所有，因而未必能平行于n；对B，只有在垂直与两面的交线才有结论成立；对C，直线和m可以是异面，对D立方体的棱就能体现这种关系.，选D.答案：D知识讲解：一、三垂线定理       在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直二、三垂线定理的逆定理       在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直&

30、#160;       注：三垂线定理及其逆定理，都是研究直线和直线的垂直关系的，在研究空间图形时，常常利用它们把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，如后面要讲的二面角的计算等此外，有些证明题中，也常常要用到它，因此要牢固掌握三垂线定理及其逆定理       三垂线定理及其逆定理是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理和性质定理，要注意它们的区别 ·   返回顶部    【例题】 例1 若为一条直

31、线，、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：其中正确的命题有(  )· A0个 · B1个 · C2个 · D3个详解： 不正确；正确；正确，所以正确的命题有2个，选C答案：C例2 关于直线与平面，有以下四个命题：若且，则；若且，则；若且，则；若且，则；其中真命题的序号是（  ）· A · B · C · D详解： 用排除法可得选D答案：D例3 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的有    

32、;    个详解： 易判断，中PMN是正三角形且AMAPAN，因此，三棱锥APMN是正三棱锥所以图中l平面MNP，由此法，还可否定AMAPAN，也易否定故正确的有共3个答案： 3$知识讲解：    一、空间角    1异面直线所成的角    (1)通过异面直线所成角的定义，把异面直线所成的角转化为平面内的线线角；    (2)利用异面直线上两点间的距离公式求出角；    (3)特殊情况可用三垂线定理及其逆定理

33、0;   2线面所成的角    (1)线面平行或线在面内，线面所成角为0°；    (2)线面垂直，线面所成角为90°；    (3)斜线和平面所成的角：0°90°过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中，射影与斜线所成角为最小斜线和平面所成角，可作出斜线在平面内的射影，转化到直角三角形中去求    3面面所成的角二面角，二面角可作出二面角的平面角进行计算或证明 ·  

34、60;返回顶部    【例题】 例1 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为(  )· A · B · C · D详解： 如图，SCO为所求的角SCO中，SC1 故选C答案：C例2 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于(  )· A · B · C · D 详解： 解法一：取面的中心为H，连结在中由余弦定理，得的余弦值为解法二：取BC中点为G，连结，再取GC中点为H，连结

35、HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，由余弦定理，可得答案：B例3 在如图所示，点是边长为1的正六边形所在平面外一点，在平面内的射影为的中点；则与面所成二面角余弦的大小为(  ) · A · B · C · D详解： 在中，所以，由于在平面上的投影垂直，所以由三垂线定理知，于是平面，特别有于是是面与面所成二面角的平面角，下面在中计算此外，在中，由得，于是在，由得，从而在中，由得于是在中，由余弦定理得 故选D【评注】题解中要注意的是：在中，但答案：D知识讲解：一、空间距离     &#

36、160;   1点点、点线、点面距离         点与点之间的距离就是两点之间线段的长点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算         2线线距离         平行线间距离，在平面几何中早已学过关于异面直线a、b的距离，常用求法有：(1)定义法，关键是确定出a、b的公垂线段；(

37、2)转化为线面距离，即转化为a与过b且平行于a的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；(3)转化为面面距离；(4)极值法         3线面、面面距离         线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化，解决这些问题的特点是：计算常常伴有论证，求解过程中一般是通过论证将所求元素转化到某个三角形或其他平面图形中，再通过解三角形或其他平面图形来获得结果即按照“一作(或找)、二证、三计算”的步骤解决问题 

38、;·   返回顶部    【例题】 例1 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为(  )· A · B · C · D详解： 显然OA、OB、OC两两垂直，如下图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，OAOBOC1，且OAOBOC，为ABC的中心，由，可得答案：B例2 若三棱锥ABCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹ABC组成的图形可能是(  )· A ·

39、; B · C · D详解： 如图，在面ABC内作射线BP，在底面BCD的射影为BE，并使PBEABP，则PFPE，即BP上任意一点到底面BCD的距离等于到棱AB的距离ABPPBEPBC（平面的斜线与它在平面内的射影所成的角是它与平面内所有直线所成角的最小角），即BP应在ABC角平分线上方故选D.评述：本题考查了线面位置关系及有关的结论，重点在于理论推导，在空间想象中考查了逻辑思维能力，要求很高，属于拔高题，体现了试题的区分度答案：D例3 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是(

40、  )· A · B · C · D详解： 两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为，所以最长为答案：C知识讲解：一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征         1棱柱         (1)定义         有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边

41、都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱         (2)分类         (3)性质         a侧面都是平行四边形         b两底面是全等多边形         c平行于

42、底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形         d长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和         2棱锥         (1)定义         有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥 &

43、#160;       正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥         (2)性质         平行于底面的截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比         (3)正棱锥性质   

44、      a各侧面都是全等的等腰三角形         b四个直角三角形(图1中的RtPOH、RtPOB、RtBOH)图1         (4)分类         由底面多边形的边数可分三棱锥、四棱锥、五棱锥        

45、 3棱台         (1)定义         棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台         正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台         (2)棱台的结构特点      

46、0;  a棱台的下底面、上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面         b棱台的侧面：棱台中除上、下底面以外的面叫棱台的侧面         c棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱         d棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高   &#

47、160;     4正多面体         定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体二、圆柱、圆锥、圆台的结构特征         1圆柱的结构特征         (1)定义       &

48、#160; 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱         (2)圆柱的轴         旋转轴叫做圆柱的轴         (3)圆柱的高         在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆柱的高  

49、60;      (4)圆柱的底面         垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面          (5)圆柱的侧面         平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面         (6)圆柱的母线

50、         无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线         (7)圆柱的表示         用表示它的轴的字母来表示如图2，可记为圆柱，其中是该圆柱的轴；和是该圆柱的底面；和都是该圆柱的母线图2         2圆锥的结构特征  

51、       (1)定义         以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥         (2)圆锥的轴         旋转轴叫做圆锥的轴         (3

52、)圆锥的高         在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆锥的高         (4)圆锥的底面         垂直于轴的边旋转所成的圆面叫做圆锥的底面         (5)圆锥的侧面       &

53、#160; 三角形的斜边绕轴旋转所形成的曲面叫做圆锥的侧面         (6)圆锥的母线         无论旋转到什么位置，斜边所在的边都叫做圆锥的母线         (7)圆锥的记法         用表示它的轴的字母来表示如图3，圆锥SO中，SA、SB、SC等都是该圆

54、锥的母线；SO是该圆锥的轴；是该圆锥的底面；平面SAB是经过轴的一个截面，简称为圆锥的轴截面图3         3圆台的结构特征(1)定义以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台(2)圆台的轴旋转轴叫做圆台的轴(3)圆台的高在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆台的高(4)圆台的底面垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面圆台有两个底面，分别叫做圆台的上底面和下底面(5)圆台的侧面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面(6)圆台的母线无论旋转到什么位置，不垂

55、直于轴的边都叫做圆台的母线(7)圆台的记法用表示轴的字母表示如图4-1-4中，圆台中，、都是圆台的母线；是该圆台的轴；和都是圆台的底面，其中是圆台的下底面，是圆台的上底面；平面是经过轴的一个截面，简称为圆台的轴截面 ·   返回顶部    【例题】 例1 如图，在棱长为2的正方体中，M、N分别是棱、的中点，则点B到平面AMN的距离为(  )· A · B · C · D详解： 由于AMN中，故，由，即，故选C答案：C例2 正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是

56、(  ) · A · B · C · D详解： 如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，则易得FG2，EG1，故EF，选C。答案：C例3 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离不可能是         (写出所有正确结论的编号).A： 3B： 4C： 5D： 6E： 7详解： 如图，B、D、A1

57、到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选B答案： B知识讲解：一、空间几何体的表面积1直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积，即；正棱锥侧面积等于它的底面周长与斜高乘积的一半，即；正棱台的侧面积等于上底面加下底面周长之和与斜高乘积的一半，即表面积=侧面积+底面积2球面面积等于它的大圆面积的四倍，即(为球的半径) ·   返回顶部    【例题】 例1 四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是(  )· A · B · C