第二讲平面向量

1、第二讲 平面向量复习要点1向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=-=记=(x1,y1)，=(x1,y2)则+=(x1+x2,y1+y2)-=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积·=|cos<,>记=(x1,y1), =(x2,y2)则·=x1x2+y1y22重要定理、公式（1）

2、向量共线定理：如果有一个实数使那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数，使。（2）平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数1，2，满足=1+2。*（3）两个向量平行 ：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则 x1y2-x2y1=0*（4）两个向量垂直：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0（5）线段定比分点公式: 设, 则设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）,则1. 向量加法运算及其几何意义一、选择题1若C是线段AB的中点，则 （ ）ABCD以上均不正确2已知正方形ABCD

3、边长为1，则的模等于 A0B3 C D （ ）3在四边形ABCD中，则四边形是 （ ） A矩形 B菱形C正方形D平行四边形4向量化简后等于 （ ）ABCD5、为非零向量，且，则 （ ）A与方向相同 BC D与方向相反6设，而是一非零向量，则下列各结论：；，其中正确的是 （ ）A B C D二、填空题7化简（= 。8在矩形ABCD中，若，则_。9已知，AOB=60，则_。10当非零向量和满足条件 时，使得平分和间的夹角。三、解答题11一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60方向行驶3 km，求汽车的位移。12O是平行四边形ABCD外一点，求证：。2向量减法运算及其几何意义一、选择题1化简所得结果

4、是 （ ）ABCD 2在ABC中，则的值为 （ ）A0B1CD23设和的长度均为6，夹角为 120，则等于 （ ）A36 B12 C6 D4下面四个式子中不能化简成的是 （ ）ABCD 5在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则 等于 （ ）ABCD6已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD二、填空题7在平行四边形ABCD中，则，。8在=“向北走20km”，=“向西走15km”，则=_，与的夹角的余弦值=_。9如图，D、E、F分别是ABC边AB、BC、CA上的中点，则等式：其中正确的题号是_10已知、是非零向量，指出下列等式成立的条件：成立的条件是_；成立

5、的条件是_；成立的条件是 _；成立的条件是_。三、解答题11如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，证明：。12已知长度相等的三个非零向量、满足，求每两个向量之间的夹角。3. 向量数乘运算及其几何意义一选择题1化简的结果是 （ ）ABCD2已知，则下列命题正确的是 （ ）A BC D3下列各式计算正确的有（ ）(1)(7)6a=-42a (2)7(a+b)8b=7a+15b (3)a2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,则abA1个 B2个 C3个 D4个4已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设，则= ABCD （ ）5若化简 （ ）A

6、 B C D 以上都不对6已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（ ） A B C D 二、填空题7已知、是实数，、是向量，对于命题： 若，则若，则其中正确命题为_8计算：（1）=_；（2）=_9已知向量，且，则=_10若向量、满足，、为已知向量，则=_； =_三、解答题11已知，是两个不共线的向量，若与是共线向量，求实数的值12如图，在ABC中，G是ABC的重心，证明：专题一 平面向量的数量积及坐标表示*教学目的：1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂

7、直的条件.*教学重点：平面向量的数量积定义*教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用*讲解概念：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0°q180°C特别注意的是三角形中向量的夹角2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0.×探究：

8、两个向量的数量积与向量同实数积的区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c但

9、是a×b = b×c a = c 如右图：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q

10、为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq 2° ab Û a×b = 0 “重点！”3° 当a与b同向时，a×b = |a|b|；当a与b反向时，a×b = -|a|b|. 特别的a×a =

11、|a|2或 重点！4° cosq = 重点！ 5° |a×b| |a|b|6.数量积的坐标表示：向量的模（模长公式） 设，则有或平面内两点间的距离公式设，则两向量垂直的坐标表示的判断条件 设，则两向量的夹角的坐标表示公式 设非零向量，为与的夹角，则7.平面向量数量积的运算律 交换律： × = × 数乘结合律：()× =(×) = ×() 分配律：( + )× = × + ×三、讲解范例：例1 判断正误（易错点）·00；0·；·；若0，则对任一非零有

12、3;；·，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（·）（·）；与是两个单位向量，则总结：实数中的好多结论在向量中是不成立的。如：若，则或； 若，且，则；若，则； ； 若，则练习：1.下列命题中真命题是（ ）(A) (B) (C) (D) 2.下面给出的关系式中正确的个数是（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33.下列说法中正确的序号是（ ）一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；两个非零向量平行，则他们所在直线平行；零向量不能作为基底中的向量；两个单位向量的数量积等于零。(A) (B) (C) (D)4.判断下列各题是否正确（1）若，则对任意向量

13、，有 （2）若，则对任意非零量，有（3）若，且，则 （4）若，则或 （5）对任意向量有 （6）若，且，则 例2（易错点）已知ABC中，°，求·.总结：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例3 （数量积公式的应用）已知，当，与的夹角是60°时，分别求·.总结：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0°，180°，因此，当时，有0°或180°两种可能.例4（数量积的坐标表示的应用、模长公式的应用、向量夹角公式）已知，求，与的夹角.练习：1.若，则 2.若，且，则实数 3.若，则与垂直的单位向量

14、的坐标是 4.已知向量，且，则的坐标是_例5（投影的概念）若，求在方向上的投影例6（数量积的性质的应用）若， 求的夹角练习：1.若,且,则向量与向量的夹角为 ( ) A. B. C. D. 2.已知,夹角为,则 .例7（模与数量积的关系）已知向量求 （1）的值； （2）与的夹角练习：1.已知向量满足,且的夹角为,求.2.已知,求向量与向量的夹角.3.已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.4.已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )A. B. C. D. 5.已知的夹角为, ,则 等于( )A 5 B. 4 C. 3 D. 1例8平面向量数量积的综合应用1.已知向量.(1) 若 ; (2)求

15、的最大值 .2已知，=3，和的夹角为，求当向量与的夹角为锐角时，的取值范围专题二 平面向量的坐标运算、线段的定比分点例1 平面内有三个已知点A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，求 ， ， ， ，2 ， 3 例2 用坐标法证明 0【说明】 这个证明过程完全是三个点坐标的计算，无需考虑三个点A，B，C是共线还是不共线的位置关系同时，对这个结论的更一般形式，即几个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：例3 已知M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且 ，求y的值例4 已知ABC的三个顶点的坐标为A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，边AB，B

16、C，CA的中点分别为D，E，F，且ABC的重心为G，求：例5 如图522，在ABC中，D，E，F分别为AB，例6 如图523，在ABC中，D，E，F分别为边BC，例7 如图524，在ABC中，D为边BC上的点，且 =k ，E为DA上一点，且 =l ，延长BE交AC于F，求F分有向线段 的比专题三 平面向量的应用举例一、选择题1已知A、B、C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则点P与ABC的位置关系是 （ ） A、点P在ABC内部 B、点P在ABC外部C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上2已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则ABC的形状为 （ ） A、正三角形

17、B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则的值为（ ） A、300 B、600 C、900 D、12004某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 （ ） A、v-a B、a-v C、v+a D、v二、填空题5一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。6两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4），Sb=（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a的位移 ；（2）求S在Sa方向上的投影