线性代数总复习

1、2008-2009-2线性代数A总复习I.试卷题型及分数分配大致：选择题20分，填空题20分，计算题54分，证明题6分II.重要例题、习题：第一章例题：P3例2；P5例4；P12例7；P13例9；P18例7（另解）；P21例13；P22例14；习题：P26：1(1), 2(2,4), 3, 4(1,2), 9.11.12第二章例题：P35例4、例5；P39例7；P40例8；P41例9；P44例10、11、12、13；习题：P54: 1(1,2,4,5), 2；7.8,10(1,3), 11（1）.14，15.16，19，22, ,23,27.第三章例题：P64例2；P65例3；P68例6；P7

2、3例10；P75例11；12.习题：P79: 1(3,4), 4(1), 5(1),6. 10(3), 13(2), 14(1.4), 17第四章例题：P84例1；P85例2；P88例5；P88例6；P93例11；P97例12；P101例16；P103例1821；P106例24.25；习题：P106: 1, 2, 4， 9, 12(2), 14.20(1), 26(2), 27, 28, 34,37.38第五章例题：P114例2；P115例3；P118120例5、例6、例7、例8、例9；P125例12；P126例13；P130例14；P131例15;例16; P133例17.习题：P134:

3、2(1), 3(1), 6(1), 12,13, 19(1), 20, 21, 22, 28(1), 31(1),33.III.基本内容第一章 行列式1.例: 计算下列各题:(1) 求逆序数 ; (2)确定行列式中项的符号, (3)计算 (=-7)，(4)计算（D=31）2. 行列式的性质及按第i行（列）展开： 注意: 3. 克莱姆法则:AX=b (1)当时，(2) AX=0有非零解 。例：当k为何值时，方程组有非零解。 k=2或-1第二章 矩阵及其运算1矩阵的简单运算及性质: 例：设，求AB,BA注意(1)一般地，ABBA, (2)AC=BC不一定有A=B. (3); (4)为对称矩阵. (

4、5)., (6) , (7) 2逆矩阵 为可逆且. 例:求的逆矩阵例：解方程：AX=B，()第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形例:化矩阵为行最简形2初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵3解矩阵方程， 特别地，当B=E时例 设,试求解方程解: 由 4求矩阵的秩 若，则 例:求矩阵的秩。第四章向量组的线性相关性1 向量的线性组合 b是的线性表示有解2向量组的线性表示(及) B能由A线性表示(B中每个向量都能由A组向量线性表示) B=AKR(A)=R(A,B)即3 A 、B两向量组等价A, B能相互线性表示R(A)=R(B)=R(A,B)4向量组线性相关

5、(线性无关)方程组有非零解(只有零解) 注意: 线性相关其中至少有一向量是其余向量的线性组合 例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，问k为和值时b,，线性向关,并用 ，线性表示b。 解：由行列式为0得k=5，令,得由， 得， 例：设线性无关,证明：,也线性无关证：令,则： 线性无关 也线性无关 结论(定理5)向量组线性相关向量组线性相关;反之,向量组线性无关向量组线性无关（2）当向量维数nm时，向量组一定线性相关；特别地：n+1个n维向量线性相关（3）若线性无关，而线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示法唯一 5向量组A的最大线性无关组A0：(1)向量组线性无

6、关，(2)A中而任意个向量 都线性相关注意：A的最大线性无关组有多个，但每个最大线性无关组所含向量个数相等 例：,求该组向量的一个最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量解,是一个最大无关组,且6齐次线性方程组:AX=0(1)当时，有唯一解：零解； (2)当时，有无穷多组解。(自由变量数为n-r)，其通解为,其中S0：一个基础解系7线性方程组有解(1)当时有唯一解; (2)当时有无穷多组解。(自由变量个数为n-r)其通解为：+ (一个特解)例：用基础解系表示如下非齐次线性方程组的通解: ()8向量空间的有关概念(1)向量集构成向量空间的条件,会判断给出的向量集是否为向量空间(2) 会判断给出的

7、向量组是否为一个基,并能由基来表示给出的向量.例：设，验证是的一个基 第五章相似矩伸和二次型一 内积、范数及正交的有关概念。1施密特正交化例：试用施密特正交化将规范正交化. (,然后单位化即可)2A为正交矩阵（即），二.方阵的特征值与特征向量1、 ，则称为A的特征值，x为A的特征向量2特征值的性质：(1)，(2)3特征向量的求法：（1） ，（2）由得非零解，则就是A的与对应的特征向量4有关性质：（1）设是A的特征值，则(1)是的特征值,(2)是的特征值（2）若互不相等，则对应的特征向量线性无关三. 相似1、 B、A相似，2、 若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式和特征值3、若A与相似，则是

8、A的n个特征值 4、A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量5、若A有n个不相等的特征值，则A与对角阵相似四.对称矩阵的对角化1、对称阵的特征值为实数2、是对称阵A的特征值，则对应的特征向量与正交3、设A对称阵，则有正交阵P，使）4、设是对称阵A的k重特征根，而恰有k个线性无关的特征向量5、对称阵对角化的一般步骤：（1） 求出A的全部特征值及重数（2） 求出与对应的个线性无关的特征向量，并将特征向量正交化单位化（3） 将这n个两两正交的单位向量构成正交矩阵P，则有例：求的特征值与特征向量, 解：=0得对，解方程，由得基础解系：.与对应的所有特征向量为对解方程，由得：，与对应的所有特

9、征向量为五.二次型: 如：写出与对应的矩阵()1标准形：2二次型，（是A的特征值）例: 已知二次型的特征值为，特征向量为，试求正交变换将二次型化为标准形解:将，正交化得:，, 然后单位化得，令，则：,作正交变换得6用配方法化二次型为标准形 例:化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵7正定二次型A为正定，()正惯性指数为n特征值全为正顺序主子式全为正历年试卷一.填空题（每小题4分，共20分）1.两个矩阵既可相加，又可相乘的充要条件是 .2.设A是n阶可逆矩阵，为A的一个特征值，则必有特征值 . （是A的伴随矩阵）.3.设齐次线性方程组AX=O（其中）有惟一解，则 时，对任意m 维列向量b,非齐次线

10、性方程组AX=b都有惟一解.4.设写出二次型的矩阵 .5.设向量矩阵，则 二.选择题（每小题4分，共20分）1.设且，则.（A）V是1维向量空间； （B）V是2维向量空间；（C）V是3维向量空间； （D）V不是向量空间.2.设A，B为n阶方阵，满足AB=O，则（A）A=B=O； （B）A+B=O；（C） （D）或3.设3阶矩阵其中均为3维列向量，且则（A）8； （B）16；（C）32； （D）40.4.设A是3阶矩阵，且，则（A）3； （B）4； （C）5； （D）6.5.设有向量组（）及（），则（A）若（）线性相关，则（）线性相关；（B）若（）线性相关，则（）线性相关；（C）若（）线性无关，

11、则（）线性无关；（D）即使（）线性无关，（）也未必线性无关.三.解答题（共56分）1.（8分）设，求及.2.（8分）设n阶方阵A满足，证明A及A+4E均可逆，并分别求出其逆矩阵.3.（6分）已知，求.4.（10分）求解非齐次线性方程组5.（10分）已知中的两个基为及求由基到基的过渡矩阵P.6.（14分）求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形.四、（4分）证明题设线性无关，令，则线性无关.历年试卷（参考答案）一、填空题（每小题4分，共20分）1. 同阶方阵. 2. 3. R（A）=R（A，b）= m . 4. 5. 二、选择题（每小题4分，共20分）1. B. 2. D 3. C 4.A 5.A三、解答题（共56分）1.（8分）解：设，解得 -2分， -4分所以 -6分 -8分2.（8分）解：由，得-2分 所以 -4分由，得-6分 所以 -83.（6分）解：,得 -2分解得 -4分 -5分所以 -6分4.（10分）解-4分与原方程组同解的方程组为 -6分与导出方程组同解的方程组为 -9