自然数幂求和公式的存在与规律探讨

1、本科毕业论文自然数幂求和公式的存在与规律探讨SUM FORMULA OF POWER OF NATURAL NUMBER'S EXISTENCE AND REGULARITY学院（部）： 理学院 专业班级： 08-2数学与应用数学 学生姓名： 张兴刚 指导教师： 范自强 2012年 6 月 1 日自然数幂求和公式的存在与规律探讨摘要 自然数幂求和是一个古老的数学问题，本文从线性空间入手，提出关于多项式的自然线性空间的概念，利用了线性空间的简单性质，证明了任意正整数的自然数幂求和公式的存在和简单规律；归纳出自然数幂求和公式中一条精彩的结论，系数定理，一劳永逸的解决并揭示了自然数幂求和问题

2、的内涵；本文亦从线性空间的角度，提出自由空间概念，为自然数幂求和问题带来了一种新的视角。关键字：自然数幂求和、自然线性空间、多项式、系数定理、自由线性空间Sum formula of power of natural number 's existence and regularityAbstract Natural number power sum is an ancient mathematical problems, this article from the linear space sets out, put forward on polynomial natural lin

3、ear space, linear space of the simple nature, it is proved that for any positive integer sum formula of power of natural number exists, and the simple rule; summarize sum formula of power of natural number in a wonderful conclusion coefficient theorem, put things right once and for all solutions and

4、 reveals the natural number power sum problem connotation; this paper also from linear spatial angle, put forward the concept of free space, is a natural number power sum problem brought a new perspective.Keywords: natural number power sum, natural linear space, polynomial coefficient theorem, free

5、linear space目录一、自然数幂求和公式的存在性11自然线性空间12基本初等公式13自然数幂求和公式的存在性证明2二、自然数幂求和公式的系数定理31系数规律的研究与猜想32系数定理的证明52.1系数定理的归纳证明522系数定理的几条重要推论63系数定理的运用73.1系数定理求和73.2常见的自然数幂求和公式8三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究91自由线性空间92自由向量的性质93、自由向量的运用113.1求和113.2自然数幂求和公式12四、自然数幂求和公式的VB编码13参考文献：17一、自然数幂求和公式的存在性1自然线性空间定义：由一切形如（mN,i，）的多项式作为元素构成的线

6、性空间，称为自然线性空间,记作G.2基本初等公式首先我们由二项式定理以及复合求和的性质，得一下推论：则有：化简得，基本初等公式： 3自然数幂求和公式的存在性证明猜想：，且为m+1次多项式。下面我们从自然线性空间出发，利用数学归纳法证明自然数幂求和公式的存在。证明：1) 已知当k=0时， ,且为k+1次多项式.2) 若km时，,且为k+1次多项式，由基本初等公式得： 则 显然 为m+1次多项式，为m+2次多项式， 则 ,且为m+2次多项式.3）、 由1），2）可知，且为m+1次多项式.存在性定理： ，且为m+1次多项式。定义：由存在性定理，我们称m次自然数幂求和公式中，的系数为m级p次系数，记为

7、。则自然数幂求和表达式为： 二、自然数幂求和公式的系数定理1系数规律的研究与猜想由基本初等公式自然数幂求和表达式 将自然数幂求和表达式代入基本初等公式，两边同时取的系数，可得推论一： 推论二：由 推论二 ，令p=m+1,则 ，化简得；令p=m,则，化简得；令p=m-1,则，化简得；令p=m-2,则化简得；令p=m-3,则，；由以上结果可以看出 由以上结论，系数猜想.2系数定理的证明2.1系数定理的归纳证明以下利用数学归纳法，结合推论证明系数猜想证明：对于任意的，定义间距r=m+1-p, 1) 当间距r=0时，p=m+1, ,满足.2) 若当间距满足时，即，总有， 由推论，令r=k+1,即p=m

8、-k，有则由推论二得:代入得化简得 即间距r=k+1时，仍然有.3）、由1），2）综上分析，可知总有，.故得出 自然数幂求和系数定理 22系数定理的几条重要推论由系数定理得 即：推论三对于推论二，令p=1得推论四由自然数幂求和表达式令n=1，则得推论五 推论四、推论五可以作为计算机编程的依据。3系数定理的运用3.1系数定理求和由知，=1根据系数定理，推论五，则则则则3.2常见的自然数幂求和公式下面是部分自然数幂求和公式=三、自由线性空间与自然数幂求和规律的研究1自由线性空间 定义:由形如的多项式构成的线性空间称为自由线性空间，其中的元素称为自由向量。我们规定：当n<m时，。2自由向量的性

9、质下面我们来研究下自由向量的各种性质：性质一： 证明：性质二：证明：由自由向量的定义得 性质三：证明：由性质二得所以 3、自由向量的运用3.1求和下面我们利用自由向量求解自然数幂求和 3.2自然数幂求和公式=四、自然数幂求和公式的VB编码代码如下：Private Sub Command1_Click()Dim m As Integer, k As IntegerDim a, b, c, d As Doublem = Val(Text1.Text)For k = m + 1 To 1 Step -1 a = f(m, k) / he(f(m, k), jc(m + 1) b = jc(m + 1

10、) / he(f(m, k), jc(m + 1)Text3 = "+"If k > m And a / b = 1 ThenText2.Text = "n" & kElseIf k > m And a / b <> 1 ThenText2.Text = "1/" & m + 1 & "n" & k ElseIf a * b = 0 Then Text2.Text = Text2.Text ElseIf a * b < 0 Then Text4 = -A

11、bs(a) & "/" & Abs(b) & "n" Text2.Text = Text2.Text & Text4 & k ElseIf b = 1 Then Text2.Text = Text2.Text & Text3 & "n" & k ElseText4 = a & "/" & b & "n" & k Text2.Text = Text2.Text & Text3 & Tex

12、t4 End If Next kEnd SubFunction jc(n As Integer) As DoubleIf n = 0 Then jc = 1 Else jc = n * jc(n - 1) End If End Function Function zhs(m As Integer, n As Integer) As Doublezhs = jc(m) / (jc(n) * jc(m - n) End FunctionFunction g(n As Integer) As DoubleDim k As IntegerDim s As DoubleIf n = 0 Then g =

13、 1 Else For k = o To n - 1 Step 1s = s + jc(n) / jc(k + 1) * zhs(n + 1, k) * g(k)Next kg = jc(n + 1) - sEnd If End Function Function f(m As Integer, n As Integer) As Double f = jc(m) / jc(m - n + 2) * zhs(m + 1, n) * g(m - n + 1) End Function Function hef(m, n As Double) As Double Dim r, t As Double

14、 If m < n Then t = a: a = b: b = t End If r = m Mod n Do While r <> 0 m = n n = r r = m Mod n Loop hef = n End FunctionFunction he(a, b As Double) As Double If hef(a, b) = 0 Then he = 1 Else he = hef(a, b) End If End FunctionPrivate Sub Command2_Click()Text1.Text = ""Text2.Text = ""End Sub参考文献：1赵树原.线性代数M.北京：中国人民大学出版社，19982屠伯埙.线性代数方法导引M.上海：复旦大学出版社，19863白述伟.高等代数选讲M.哈尔滨：黑龙江教育出版社，20004王正文.高等代数分析与