等腰三角形性质定理

1、 教师日期学生课程编号课型专题课题等腰三角形的性质定理教学目标通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法教学重点重点：等腰三角形的性质与判定。 难点：比较复杂图形、题目的推理证明教学安排版块时长1等腰三角形的性质30分钟2等腰三角形的判定30分钟3例题讲解40分钟4随堂练习20分钟等腰三角形 等腰三角形的性质定理知识点一：等腰三角形、腰、底边在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其

2、中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，A是顶角，B、C是底角知识点二：三角形按边分类 不等边三角形三角形 底边与腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形）知识点三：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2、这两个性质证明如下： 在ABC中，AB=AC，如图所示 作底边BC的高AD，则有 RtABDRtACD B=C，1=2BD=CD 于是性质

3、1、性质2均得证3、说明：（1）等腰三角形的性质1用符号表示为：AB=AC，B=C； 性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据（2）性质2实质包含三条性质，符号表示为： AB=AC，ADBC，1=2， BD=CD； 或 AB=AC，BD=CD，l=2， ADBC 性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等 （3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴一、 规律方法指导1 等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知

4、条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。2 常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。二、 难点分析1、 对于“等腰三角形的三线合一”一定要注意是底边上的高线、中线和顶角平分线，其他的高、中线、角平分线不满足三线合一。2、 分类讨论是等腰三角形问题中常用的思想方法，在已知等腰三角形的边和角的情况下求其他三角形的边或角，要对已知的边和角进行讨论，分类的标准一般是根据边是腰还是底来分类。类型一：与度数有关的计算1如图，在ABC中，D

5、在BC上，且AB=AC=BD，1=30°，求2的度数。思路点拨: 解该题的关键是要找到2和1之间的关系，显然2=1+C，只要再找出C与2的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2与B之间有什么关系，变成ABD的角之间的关系，问题就容易的多了。解析：AB=AC B =C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+B 2+3+B=180° B=180°22 2=1+180°22 32=1+180° 1=30° 2=70°总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式1】如图，D、E在ABC的边BC上

6、，且BE=BA，CD=CA，若BAC=122°，求DAE的度数。【变式2】在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，BAD=30°，求EDC的度数。类型二：等腰三角形中的分类讨论2当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。（2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。思路点拨: 由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。解析：（1）因为8+810，10+108

7、，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。（2）当腰长为3时，因为3+37，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+73，所以此时能构成三角形，因此三角形的周长为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为17cm。总结升华：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形 举一反三：【变式1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数【变式2】当高的位置关系不确定时，必须分类讨论等腰三角

8、形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数。【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论 在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为45°，求B的度数。【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，求腰长。类型三：等腰三角形的性质定理与全等三角形的应用3.如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，ABC=AED，点F是CD的中点求证：AFCD思路点拨: 要证明AFCD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=

9、AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论解析：连接AC、AD 在ABC和AED中， AB=AE（已知） ABC=AED（已知） BC=ED（已知）ABCAED（SAS）AC=AD（全等三角形的对应边相等）又ACD中AF是CD边的中线（已知）AFCD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）【变式1】如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，求证：DBE是等腰三角形课后作业一、填空：1、等腰三角形的的两边长为4cm和9cm，则该等腰三角形的周长为_cm。2、等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为_。3、等

10、腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为_。4、已知BD是等腰ABC的角平分线，如果A=80°，那么ADB等于_。5、如图，在等腰RtOAA1中，OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰RtOA1A2，以OA2为直角边作等腰RtOA2A3，则OA4的长度为_。6、如图，在ABC中，ABAC，BAC120°，D是BC的中点，DEAC.  则AB : AE_。7、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O，AD与BC交于点P，BE与CD

11、交于点Q，连结PQ以下五个结论：AD=BE； PQAE； AP=BQ；DE=DP；AOB=60°.恒成立的有_（把你认为正确的序号都填上）。 第6题图 第7题图二、选择题1. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形2. 将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）图1A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个3. 如图2，C、E和B、D、F分别在GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18

12、°，则GEF的度数是（ ）A80° B90° C100° D108° 图2 图34. 如图3，已知AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A3B4C5D65. 在ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是（   ）A、如果AD是中线，那么ADBC，BAD=DAC B、如果BD是高，那么BD是角平分线 C、如果AD是高，那么BAD=DAC、BD=DC D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线三、解答题1、等腰三角形的周长为12，且其各边长均为整数，求各边长。2、（1）等腰三角形的一个角为50°，求另外两个角的度数。 （2）等腰三角形的一个外角为100°，求该等腰三角形的顶角。3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分，求该等腰三角形的各边长。4、 如图2所示，ABC和BDE都是等边三角形。求证：AECD。 5、如图，等腰ABC中，AB=AC，DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求A的度数6、“有两边相等的两个直