D8_3二重积分在几何上的应用

1、整理ppt1第三节一、体积一、体积 和平面图形的面积和平面图形的面积二、曲面的面积二、曲面的面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分在几何上的应用 第八章 整理ppt21. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt3一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx

2、 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt41:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 解解: 曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xoy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D ),(000zyx在点Drrrdd2例例1. 求曲面rr dd10320机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt5xoyza2例例2.

3、 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt6MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yx

4、fyxfAyx(称为面积元素)则Mnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt7故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt8xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt9例例3. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 整理ppt10例例4. 计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐标方程. (见书 P202)方法方法1 利用球坐