微积分习题之无穷级数

1、 填空题1数项级数的和为 。2数项级数的和为 。注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。3设，若级数收敛，则的取值范围是。分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。4幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 。分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。5幂级数的收敛半径为 。分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为，所以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对

2、收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。6幂级数的收敛域为 。分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。7已知，且对任意，则在原点的幂级数展开式为 。分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得，故应填。8函数在处的幂级数展开式为 。分析：已知，所以。根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。9已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为 ，。10设，其中 ，则。选择题11设常数，正项级数收敛，则级数 (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与的值有关。答

3、 C分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为，所以原级数绝对收敛。12设，则级数 (A) 与都收敛。 (B) 与都发散。(C) 收敛，发散。 (D) 发散，收敛。答 C分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为 在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。13设，则下列级数中肯定收敛的是 (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。答 D分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取， ，因为 发散，所以发散。14下列命题中正确的是 (A)若，则 。(B) 若，且收敛，则收敛。(C)若，且收敛，则收敛。(D) 若，且与收敛，

4、则收敛。答 D分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。15下列命题中正确的是 (A) 若与都收敛，则收敛。(B) 若收敛，则与都收敛。(C) 若正项级数发散，则。(D) 若，且发散，则发散。答 A分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。16若级数，都发散，则 (A) 发散。 (B) 发散。(C) 发散。 (D) 发散。答 C分析：

5、取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。17设正项级数收敛，则 (A) 极限小于。 (B) 极限小于等于。(C) 若极限存在，其值小于。(D) 若极限存在，其值小于等于。答 D分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。18下列命题中正确的是 (A) 若幂级数的收敛半径为，则。(B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。(C) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。(D) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。答 D分

6、析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。19若幂级数在处条件收敛，则级数 (A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。答 B分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。20设函数，而，其中 ，则的值为 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析：是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。解答题21求级数的和。解：因

7、为，所以。22已知级数，求级数的和。解：因为 ，所以 。又因为 ，故 。23判断级数的敛散性。解：因为，且，所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛。另解：因为，所以。已知收敛，所以由比较判敛法知级数收敛。24判断级数的敛散性。解：记 ，则，且，所以根据比值判敛法，当时级数收敛，当时级数发散。当时，因为，所以此时比值判敛法失效，但由于，(因为数列单调递增趋于)所以，因而当时，级数发散。25讨论级数，的敛散性。解：因为，所以根据比值判敛法，当时，级数绝对收敛。当时，由于，所以级数发散。 当时，级数为，由级数的敛散性，当时级数发散，当时级数收敛。当时，级数为，由莱布尼

8、兹判敛法与绝对值判敛法，当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛。26已知函数满足等式，且，试讨论级数的收敛性。解：因为 ，所以 。由，得。根据泰勒公式，得所以在时与等价，且级数收敛，因此级数绝对收敛。注：本题也可先解定解问题，得到后再用泰勒公式讨论。27求下列幂级数的收敛域(1) ，(2) ，(3) 。 解： (1) 记，因为,所以收敛半径为 ，收敛区间为 。 又因为当时， 级数条件收；当时， 级数发散。故级数的收敛域为。(2) 记, 由, 得收敛半径为, 所以幂级数仅在处收敛。(3) 记, 由, 得收敛半径为, 故级数的收敛域为,。 28求幂级数的收敛域。 解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而

9、要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。因为, 所以，当, 即时，级数绝对收敛；当, 即时，级数发散。根据收敛半径的定义知级数的收敛半径为。 又，当时, , 级数发散；当时, 一般项为, 级数也发散。 故级数的收敛域为,。 注：还可以将级数变形为，再令，研究幂级数的收敛半径和收敛域，最后得到的收敛域。29求幂级数的收敛域。解：因为，且，所以，当，即时，级数绝对收敛；当时，级数发散。故幂级数的收敛区间为。 又当时，原级数的一般项分别是和，所以发散。因此级数的收敛域为。30设为一等差数列，且，求级数的收敛域。 解：记的公差为，则，所以。因此收敛半径为，又当时，级数成为，所以发散，于是级数的收敛域为。3

10、1将函数展开为处的幂级数。解：因为。所以 。32将函数在点展开为幂级数。解：因为，所以 。33将函数在点展成幂级数, 并求。解：将视为, 因此只需将展成即可。因为, 且 ，所以，于是, 。由于的幂级数的系数, 所以。34求幂级数在收敛区间,内的和函数, 并求数项级数的和。解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分, 得将上式两端对上限求导, 得, 。令, 得。求幂级数的和函数。令，则的定义域为，且。任给，由逐项积分公式得，。因此，所以，。（1） 求幂级数的和函数。令，则的定义域为，且。任给，由逐项求导公式得，。因此，。所以，。由得，。（2） 求数项级数的和。考虑幂级数，则其收敛域为。若记其和函数为，则。由于又因为，所以。故。35求级数的和。解：由于 。对上式两边求导，得 ，所以 ，此式两边再求导，得，在上式中令，有 。36 设时周期为的周期函数，且，写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和。解：根据傅里叶系数的计算公式，得，所以的傅里叶级数为。其和函数的周期为，且令，得，且 ，所以。37设级数收敛，且，证明级数绝对收敛。证： 因为，所以数列有界，即存在，使得对任意的，有，于是，又级数收敛，由比较判敛法知收敛，故级数绝对收敛。38已知且，若级数发散，证明级数收敛。证：因为，所以极限存在，其值记为。由于级数发散，根据莱布