《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案（基础知识+高频考点+解题训练）函数模型及其应用（含解析）

1、第十节函数模型及其应用知识能否忆起1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种增长型函数模型的图象与性质函数yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与

2、y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而不同小题能否全取1(教材习题改编)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()Af(x)>g(x)>h(x)Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x)Df(x)>h(x)>g(x)答案：选B由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)2一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()解析：选B

3、由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.3生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A36万件B18万件C22万件 D9万件解析：选B利润L(x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值4一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<xm)的函数，其关系式yf(x)可写成_解析：依题意有ya(1p%)x(0<xm)答案：ya(1p%)x(0<xm)5.有一

4、批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m，宽为 m，则Sx·(x2200x)当x100时，Smax2 500 m2.答案：2 500 m2 1.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义 以上过程

5、用框图表示如下： 2解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件一次函数与二次函数模型典题导入例1为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不

6、亏损？自主解答设该单位每月获利为S，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损由题悟法1在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解2有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决3在解决一次函数、二次函数的应用问题时

7、，一定要注意定义域以题试法1(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF，设CDx，CFy，则AF40y.AFEACB，即.y40x.剩下的残料面积为S×60×40x·yx240x1 200(x30)2600.0<x<60，当x30时，S取得最小值为600，这时y20.在边长60 cm的直角边CB上截CD30 cm，在边长为40 cm的直角边AC上截CF20 cm时，能使所剩残料最少分段

8、函数模型典题导入例2(2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？自主解答(1)当0<x500时，f(x)0.05xx2x，当x>500时，f(x)0.05×500×500212x，故f(x)(2)当0<x500时，f(

9、x)x(x475)2，故当x475时，f(x)max.当x>500时，f(x)12x<12<，故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大由题悟法1很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值以题试法2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元某月甲、乙两户共交水费y

10、元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x4，且5x>4时，y4×1.83x×1.83(5x4)20.4x4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y2×4×1.83×(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增，当x时，yf<2

11、6.4；当x时，yf<26.4；当x时，令24x9.626.4，解得x1.5.所以甲户用水量为5x5×1.57.5吨，付费S14×1.83.5×317.70元；乙户用水量为3x4.5吨，付费S24×1.80.5×38.70元指数函数模型典题导入例3(2012·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(

12、3)今后最多还能砍伐多少年？自主解答(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)则a(1x)10a，即(1x)10，解得x1.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年由题悟法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型yN(1p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型ya(1x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应

13、求解以题试法3某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为_万元解析：设年增长率为x，则有×(1x)21 690,1x，因此2013年预计经营总收入为×1 300(万元)答案：1 3001设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象

14、为()解析：选D注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2(2012·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A4,8B6,10C4%,8% D6%,100%解析：选A根据题意得，要使附加税不少于128万元，需×160×R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4,83由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8 100元的计算机经过15年

15、的价格应降为()A2 000元 B2 400元C2 800元 D3 000元解析：选B设经过3个5年，产品价格为y元，则y8 100×32 400.4(2013·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元C30元 D.元解析：选A依题意可设sA(t)20kt，sB(t)mt，又sA(100)sB(100)，100k20100m，得km0.2.于是sA(150)sB(150)20150k150m20

16、150×(0.2)10，即两种方式电话费相差10元5某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy50×2x Dy100log2x100解析：选C根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型6(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑

17、其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况解析：选B设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(110%)na×1.1n×0.9na×(1.1×0.9)n0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损7(2012·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：如果不超过200元，则不予优惠；如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予

18、9折优惠；如果超过500元，其中500元按第条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为_解析：依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)当f(x)168时，由168÷0.9187<200，故此时x168；当f(x)423时，由423÷0.9470(200,500，故此时x470.所以两次共购得价值为470168638元的商品，又500×0.9(638500)×0.7546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元答

19、案：546.6元8(2012·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为_解析：设长为a cm，宽为b cm，则ab600，则中间文字部分的面积S(a21)(b2)606(2a3b)6062486，当且仅当2a3b，即a30，b20时，S最大486.答案：30 cm,20 cm9某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份

20、至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_解析：七月份的销售额为500(1x%)，八月份的销售额为500(1x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 8605002 500(1x%)500(1x%)2，根据题意有3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，即25(1x%)25(1x%)266，令t1x%，则25t225t660，解得t或者t(舍去)，故1x%，解得x20.答案：2010(2012·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)

21、随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.请分析函数y2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因解：对于函数模型yf(x)2，当x10,1 000时，f(x)为增函数，f(x)maxf(1 000)22<9，所以f(x)9恒成立但当x10时，f(10)2>，即f(x)不恒成立故函数模型y2不符合公司要求11高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为

22、x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1x)元/台，月销售量为a(1x2)台，则ya(1x2)6 000(1x)4 500即y1 500a(4x3x24x1)(0<x<1)(2)由(1)知y1 500a(12x22x4)，令y0，得6x2x20，解得x或x(舍去)当0<x<时，y>0；当<x<1时，y<0.故当x时，y取得最大值此时销售价为6 000×9 000(元)故笔记本电脑

23、的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大12.如图，已知矩形油画的长为a，宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画设壁画的左右两边金箔的宽为x，上下两边金箔的宽为y，壁画的总面积为S.(1)用x，y，a，b表示S；(2)若S为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x，y的值解：(1)由题意可得S2bx2ay4xyab，其中x>0，y>0.(2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy的最大值因为a，b，x，y均大于0，所以2bx2ay2，从而S44xyab，当且仅当bxay时等

24、号成立令t，则t>0，上述不等式可化为4t24·tabS0，解得t.因为t>0，所以0t，从而xy.由得所以当x，y时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为abS2.1某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.01101.104 6)()A90万m2 B87万m2C85万m2 D80万m2解析：选B由题意86.6(万m2)87(万m2)2.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象可能是图中的_解析：当h0时，v0可排除、；由于鱼缸中间粗两头细，当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢答案：3(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车