文数书稿平面向量的数量积及平面向量应用举例

1、第27节 平面向量的数量积及平面向量应用举例一、考点考纲明确目标1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义。2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系。3、掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。4、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。二、基础再现回归课本1向量数量积的定义（1）两个向量的夹角： 已知两个非零向量，如下图所示，作，则称为向量与向量的夹角，记作.注意： 两个向量夹角的范围是； 当时, 垂直，记； 当时， 同向 ； 当时， 反向 。（2）一个向

2、量在另一个向量上的射影：如图所示， 过作于，则,叫做 向量在向量方向上的射影。ABB1注意： 向量在向量方向上的射影是 数量 ； 当为锐角时它为 正值 ；当为钝角时它为 负值 ；特别地，当时它等于 0 ；当时它等于；当时它等于。（3）向量的数量积已知两个向量和，它们的夹角为，则把叫做向量与的数量积（或内积），记作，即：=.注意： 两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关： 当时，； 当时，； 当时，.（4）向量数量积的性质： 若是单位向量，则（）； ；（可以解决有关向量垂直的问题） =；（可以进行数量积的运算，求向量的模）；（可以求两向量的夹角，同时也建立

3、了向量与三角的联系） 对任意两个向量，有，当且仅当时等号成立（5）向量数量积的运算律：给定向量和实数，有： 交换律：；=； 分配律： 。 注意：数量积的运算只适用于交换律、加乘分配律和数乘结合律，但不适合乘法结合律，即：一般地，.2平面向量数量积的坐标表示：（1）平面向量数量积的坐标表示：已知两个非零向量，则即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2）向量模的坐标表示： 设，则两点间的距离公式是； 若，则.（3）两个向量夹角的余弦公式：设是两个非零向量，是与的夹角，则有： （4）两个向量垂直与平行的充要条件：设，则：；。（5）直线的方向向量： 把与直线共线的向量称为直线的方向向量.设

4、直线方程为：，则直线的方向向量为；设直线方程为：，则直线的方向向量为.3向量的应用：（1）平面几何中的向量问题：向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来.（2）向量在物理中的应用： 由于物理学中有很多矢量，因此在其研究过程中若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果.（3）与非零向量同向的单位向量：.三、三基检测知己知彼1已知向量= (3 ,3 ) , =(x, 4) , 若，则x=（ ） A.4 B.4 C.6 D.6答案：B解析： -3x-12=0 即x=-42（04，全国）已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）.答案

5、：C解析：= 3已知向量，若，则= ( ) A、 B、 C、 D、答案：D解析：， 可得：n=34已知向量，满足，则与的夹角大小是 答案：解析：根据公式 5已知向量，满足， 与的夹角为60°，则 答案： 解析：考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：四、典例研究提升能力考点一、平面向量的数量积运算及向量的模例题1已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为，求：(1)(3a2b)·(a2b)；(2)|ab|. 解：(1) ·b|·|b|·cos3×4×()6 .9，16.(32b)&

6、#183;(2b)38·b43×98×(6)649148 .(2)|b|2·b92×(6)162512 . |b| 即时练习：已知（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，作，求的面积。解：（1）（2）（3）计算的夹角的正弦，再用面积公式求值.由(1)知规律总结：1向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b|a|·|b|cos来计算，二是利用a·bxxyy来计算； 2利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|aa·a； (2)|a±b|(a±b)

7、a±2a·bb考点二、平面向量之间的夹角问题例二、已知单位向量与的夹角为，且，求：（1）；（2）与的夹角。解：因为是夹角为的单位向量，所以.又易求得 综上,知 即时练习：（2007广东文）已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0) (1)若，求的值；(2)若，求sinA的值解: (1) 由 得 (2) .规律总结：已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为 ，则： 当时，； 当时，； 当时，.考点三、平面向量间的平行与垂直及其应用例三：已知向量（）.向量，且.() 求向量；() 若,，求.解：（）， ，即 又 由联立方程解得， （）即， ， 又，

8、 ， 即时练习：求过点，且平行于向量的直线方程。 解：设点是所求直线上的任意一点，则., ,即 .规律总结：1.证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件： a babxyxy0(b0).2.证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件： aba·b0x1x2y1y20.五、想一想 议一议 改一改（易错、易漏题的改正） 在中,则的值为 ( )A 20 B C D 解： .=。即答案：A想一想：上面的做法对不对？如果不对，请写出正确的做法。上面的做法是错误的，正确答案如下：解: 向量间的夹角是共始点由题意可知,故=.答案: B六、高考真题开拓视野1（2009浙江卷文）已知向

9、量，若向量满足，则 （ ）A B C D 答案：解析：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有2（2010辽宁文数）（8）平面上三点不共线，设,则的面积等于（ ）（A） （B） （C） （D）答案：C.解析： 3（2009辽宁卷）平面向量a与b的夹角为， 则（ ） （A） (B) (C) 4 (D)12答案：B解析：由已知|a|2,|a2b|2a24a·b4b244×2×1×cos60°412 七、强化训练当堂巩固1若向量，则实数的值为（ ）（A） （B）（C）2 （D）6答案：D解析：所以m =62若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为（ ）

10、A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500答案：C解析： 可得： 3已知向量a = (2,1)， a·b = 10，a + b = ，则b =（） （A） （B） （C）5 （D）25答案：C解析：由知（a+b）2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选C。4已知向量 答案：解析：， 即5已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 。答案：3解析： 考查数量积的运算。 6 已知平面向量=61. （1）求的大小；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求ABC的面积.解：（1）原式展开得： w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 八、课后练习题组一平面

11、向量的数量积运算及向量的模1（2010安徽文数）设向量,则下列结论中正确的是（ ）(A) (B)(C) (D)与垂直答案：.D解析：，所以与垂直.2（2010天津文数）如图，在ABC中，则=（）（A） （B） （C） （D）答案：D解析： 3设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（）（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1答案：C 解析：由16，得|BC|4 4而24（2010江西）已知向量，满足， 与的夹角为60°，则 答案： 解析：考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：5设向量，其中求：（1）若，求的值；（2）求面积的最大值解：依题意得， 所以， 所以因为，所以 （2）由，得 所以， 所以当时，的面积取得最大值 题组二平面向量之间的夹角问题6若且,则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：且 7已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD 答案：C解析：因为由条件得8已知求：（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，作，求的面积解：（1）（2）（3）计算的夹角的正弦，再用面积公式求值.由(1)知题组三平面向量间的平行与垂直及其应用9.已知，向量与垂直，则实数的值为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：A解析：向量（31，2），（1,2），因为两个向量垂直，故有（31，2）×