正弦定理和余弦定理地应用

1、第三章 三角函数、解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0°<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东：(2)南偏西：1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，

2、其范围为.()(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.()(4)方位角大小的范围是，方向角大小的范围是.()答案：(1)(2)×(3)×(4)×2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC50 m，ABC105°，BCA45°.可以计算出A，B两点的距离为()A50 mB50 mC25 m D. m解析：选A由题意知CAB180°ABCBCA30°，由正弦定理得，所以AB50(m)3.要测量底部不

3、能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD120°，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 m B20 mC20 m D40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x24022×40x×cos 120°，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.4若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且ACBC，则点A在点B的_方向上解析：如图所示，ACB90

4、76;，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°.点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°利用正弦、余弦定理解决高度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力.考查频率一般，试题难度中等.典题领悟(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为

5、_m.思维路径(结论)求CD放在ACD中求解在RtACD中知DAC(关键点)需再知AC在ACM中，易知两角与一边，用正弦定理可解得解析：在ACM中，MCA60°15°45°，AMC180°60°120°，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600×600.答案：600解题师说求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一

6、个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题冲关演练(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BDC60°，BCD75°，CD40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE1 m，则发射塔高AB()A(201)mB(201)mC20 m D(401) m解析：选A如图，过点E作EFAB，垂足为F，则EFBC，BFCE1，AEF30°.在BCD中，由正弦定理得，BC20.所以EF

7、20，在RtAFE中，AFEF·tanAEF20×20，所以ABAFBF201 (m)测量距离问题是解三角形实际应用中的考查内容之一，题型主要是选择题、填空题，难度一般.,常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达.题点全练角度(一)两点都不可到达1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD

8、 km，ADBCDB30°，ACD60°，ACB45°，则A，B两点间的距离为_km.解析：ADCADBCDB60°，ACD60°，DAC60°，ACDC (km)在BCD中，DBC45°，由正弦定理，得BC·sinBDC·sin 30°.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcos 45°2×××.AB(km)A，B两点间的距离为 km.答案：角度(二)两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先

9、选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60°，则A，B两点的距离为_m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcosACB，AB2400260022×400×600cos 60°280 000.AB200 (m)即A，B两点间的距离为200 m.答案：200 角度(三)两点间可视但有一点不可到达3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点

10、作为观测点，现测得PAB90°，PAQPBAPBQ60°，则P，Q两点间的距离为_ m.解析：由已知，得QABPABPAQ30°.又PBAPBQ60°，AQB30°，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APAB·tan 60°900，故PQ900，P，Q两点间的距离为900 m.答案：900题“根”探求1测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长

11、度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键2求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理冲关演练1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120°，则A，C两地间的距离为()A10 kmB10 kmC10 km D10 km解析：选D由余弦定理可得：AC2AB2CB22AB×CB×cos 120°1022022×10×

12、20×700.AC10(km)2一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km解析：选B作出示意图如图所示，依题意有AB15×460，DAC60°，CBM15°，MAB30°，AMB45°.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30.利用正弦、余弦定理解决角度问题是高考考查的一个方面.以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力，试题难度中等.

13、典题领悟游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则sinBAC等于_解析：依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB1 040 m，BC500 m，所以，解得AC1 260 m.在ABC中，由余弦定理得，cosBAC，所以sinBAC .答案：解题师说1注意解决测量角度问题的3事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义

14、(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点2掌握解三角形应用题的4步骤冲关演练在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时

15、后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120°.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120°，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，所以sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)A级基础小题练熟练快1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10°B北偏西10°C南偏东80° D南偏西80°解析：选D由条

16、件及题图可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选Ctan 15°tan(60°45°)2，BC60tan 60°60tan 15°120(1)(m)3.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的

17、南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高CD为()A24 m B12 mC12 m D36 m解析：选C设塔高CDx m，则ADx m，DBx m.又由题意得ADB90°60°150°，在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22·x2cos 150°，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m.4一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测

18、得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：选A作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，在RtBCD中，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.5一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东7

19、0°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10 海里B10 海里C20 海里 D20 海里解析：选A画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)6.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 kmB8 kmC9 km D6 km解析：选A在ACD中，由余弦定理得：cos D.在ABC中，由余弦定理得：cos B.因为BD180

20、°，所以cos Bcos D0，即0，解得AC7.7海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是_ n mile.解析：如图，在ABC中，AB10，A60°，B75°，C180°60°75°45°，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：58.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到

21、达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为_n mile/min.解析：由已知得ACB45°，B60°，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(n mile/min)答案：9.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是_km.解析：如题图，由题意知AB24×6，在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105&#

22、176;，ASB45°，由正弦定理知，BS3(km)答案：310如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.解析：由题意，在ABC中，BAC30°，ABC180°75°105°，故ACB45°.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBC·tan 30°300×100 (m)答案：100B级中档题

23、目练通抓牢1某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：选C作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC60°30°30°，B120°，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即这时船与灯塔的距离是5 km.2地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余

24、角，则两塔的高度分别为()A50 m,100 m B40 m,90 mC40 m,50 m D30 m,40 m解析：选B设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan ，tan，根据三角函数的倍角公式有.因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为，由tan ，tan，得.联立解得H90，h40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此

25、人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为()A50 m B50 mC50 m D50 m解析：选B设该扇形的半径为r，连接CO.由题意，得CD150(m)，OD100(m)，CDO60°，在CDO中，由余弦定理得，CD2OD22CD·OD·cos 60°OC2，即150210022×150×100×r2，解得r50.4.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15°，沿山坡前进50

26、 m到达B处，又测得DBC45°，根据以上数据可得cos _.解析：由DAC15°，DBC45°，可得DBA135°，ADB30°.在ABD中，根据正弦定理可得，即，所以BD100sin 15°100×sin(45°30°)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBCD1.所以cos cos(BCD90°)sinBCD1.答案：15.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30

27、76;，45°，且BAC135°.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以BAD60°，CAD45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC，所以(14v)2(100)220022×100×200×cos 135°，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.66.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(22)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛 C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求CA