无穷级数37116

1、教 学 内 容批注第十一章 无穷级数§11. 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 则由这数列构成的表达式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × ×叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项或通项. 级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数

2、列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这个级数的和, 并写成教 学 内 容批注如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ × × ×，叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a¹0, q叫做级数的公比. 解 如果q¹1, 则部分和 . 当|q|<1时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当|q|>1时, 因为, 所以此时级数发散. 如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na&#

3、174;¥, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为 a-a+a-a+ × × ×, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 教 学 内 容批注所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散.综上所述, 如果|q|<1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|³1, 则级数发散. 例2 证明级数 1+2+3+× × ×+n+× × × 是发散的. 证 此级数的部分和为 . 显然, , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数的收敛性. 解 由于 因此 , 从而 , 所以这级数收敛

4、, 它的和是1. 教 学 内 容批注 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果常数,则级数与有相同的敛散性.且若级数收敛于s, 则级数收敛于 ks., 即=.这是因为, 设与的部分和分别为sn与sn, 由于，所以可知与有相同的敛散性，这表明级数与有相同的敛散性.且当时， . 即级数收敛于ks. 性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为s±s. ， 即. 这是因为, 如果、的部分和分别为sn、sn、tn, 则教 学 内 容批注 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其

5、和不变. 应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数 （1-1)+（1-1) +× × ×收敛于零, 但级数1-1+1-1+× × ×却是发散的. 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件: 性质5 如果收敛, 则. 证 设级数的部分和为sn, 且, 则 . 应注意的问题: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 是发散的. 教 学 内 容批注 证 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一

6、方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散. §11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数: 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界. 定理2(比较审敛法)设和都是正项级数, 且un£vn (n=1, 2, × × × ). 若级数收敛, 则级数收敛; 反之, 若级数发散, 则级数发散. 教 学 内 容批注证 设级数收敛于和s, 则级数的部分和 sn=u1+u2+ × × × +un£v1+ v2+ × 

7、5; × +vn£s (n=1, 2, × × ×), 即部分和数列sn有界, 由定理1知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设矛盾. 注意：由于级数的敛散性与它的前面有限项无关，以及级数的每一项乘以不为零的常数不会影响级数的敛散性，因此，如果存在自然数N, 使当n³N时有un£kvn(k>0)成立时，比较申敛法则仍成立.例1 讨论p-级数的收敛性. 解 设p£1. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当p£1时级数发

8、散. 设p>1. 因为当 时，有，所以， ，(n=2, 3, × × ×). p-级数部分和 教 学 内 容批注 ，(n=2, 3, × × ×). 这表明有上界，因此级数当p>1时收敛. 综上所述, p-级数当p>1时收敛, 当p£1时发散.例2 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, 记, (1) 当时，则级数和级数同时收敛或同时发散. (2)当，且级数收敛时, 则级数收敛; (2)当, 且级数发散, 则

9、级数发散. 教 学 内 容批注 证明 （1）由极限的定义可知, 对, 存在自然数N, 当n>N时, 有不等式 , 即, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. （2）例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 教 学 内 容批注例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)设是正项级数且, 则（1）当r<1时级数收敛; （2）当r>1(或)时级数发散; （3）当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 解 因为, 根据

10、比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数的收敛性. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 教 学 内 容批注例7 判别级数的收敛性. 解 . 这时r=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 定理5(根值审敛法, 柯西判别法) 设为正项级数, 如果 , 则（1）当r<1时级数收敛; （2）当r>1(或)时级数发散; （3）当r =1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 例6判定级数的收敛性. 教 学 内 容批注解 因为 , 所以,

11、 根据根值审敛法知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为, 其中. 例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 定理6（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件: (1)un³un+1 (n=1, 2, 3, × × ×); (2), 则级数收敛, 且其和s£u1, 其余项rn的绝对值|rn|£un+1. 简要证明: 设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ × × × +(u2n 1-u2n), 及 s2

12、n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ × × × +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2n<u1), 所以收敛. 设s2n®s(n®¥), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥), 所以sn®s(n®¥). 从而级数是收敛的, 且sn<u1. 因为 |rn|=un+1-un+2+× × ×也是收敛的交错级数, 所以|rn|£un+1.教 学 内 容批注例9 证明级数收敛,

13、并估计和及余项. 证 这是一个交错级数. 因为此级数满足 (1)(n=1, 2,× × ×), (2), 由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s<u1=1, 余项三、绝对收敛与条件收敛: 绝对收敛与条件收敛: 若级数收敛, 则称级数绝对收敛; 若级数收敛, 而级数发散, 则称级条件收敛. 定理7 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛. 注意: 如果级数发散, 我们不能断定级数也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数发散,则我们可以断定级数必定发散. 这是因为, 此时|un|不趋向于零, 从而un也不趋向于零, 因此级数也是发散的. 教 学 内 容

14、批注例11 判别级数的收敛性. 解 因为|, 而级数是收敛的, 所以级数也收敛, 从而级数绝对收敛. 例12 判别级数的收敛性. 解: 由, 有, 可知, 因此级数发散. § 11. 3 幂级数 一、函数项级数的概念 函数项级数: 给定一个定义在区间I 上的函数列un(x), 由这函数列构成的表达式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x)+ × × ×称为定义在区间I上的(函数项)级数, 记为.教 学 内 容批注 收敛点与发散点: 对于区间I内的一定点x0, 若常数项级数收敛, 则称点x0是级数的收敛

15、点. 若常数项级数发散, 则称点x0是级数的发散点. 收敛域与发散域: 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域. 和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数s(x), s(x)称为函数项级数的和函数, 并写成这函数的定义就是级数的收敛域,部分和: 函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ × × × +un(x). 在收敛域上有或sn(x)®s(x)(n®¥) . 教 学 内 容批注 余项: 函数项级数的和函数s(x)与部分

16、和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项. 函数项级数un(x)的余项记为rn (x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收敛域上有. 例1 求下列函数项级数的收敛域：（1） （2） 二、幂级数及其收敛性 幂级数: 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn+ × × × , 其中常数a0, a1, a2, × × ×

17、; , an , × × ×叫做幂级数的系数. 注: 幂级数的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ × × × +an(x-x0)n+ × × × , 经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ × × × +antn+ × × × .教 学 内 容批注 定理1 (阿贝尔定理) 如果级数anxn当x=x0 (x0¹0)时收敛, 则适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数anx

18、n当x=x0时发散, 则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散. 提示: anxn是的简记形式. 证 先设x0是幂级数的收敛点, 即级数收敛. 根据级数收敛的必要条件, 有, 于是存在一个常数M, 使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, × × ×). 这样级数的的一般项的绝对值.因为当|x|<|x0|时, 等比级数收敛, 所以级数收敛,也就是级数anxn绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明. 倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当x=x0时应收敛,

19、 这与所设矛盾. 定理得证. 推论 如果级数不是仅在点x=0一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R存在, 使得 当|x|<R时, 幂级数绝对收敛; 当|x|>R时, 幂级数发散; 当x=R与x=-R时, 幂级数可能收敛也可能发散. 教 学 内 容批注收敛半径与收敛区间: 正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R, R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一. 规定: 若幂级数只在x=0收敛, 则规定收敛半径R=0 , 若幂级数

20、对一切x都收敛, 则规定收敛半径R=+¥, 这时收敛域为(-¥, +¥). 定理2 设幂级数系数，如果, 则这幂级数的收敛半径 简要证明: . (1)如果0<r<+¥, 则只当r|x|<1时幂级数收敛, 故. (2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的, 故R=+¥. (3)如果r=+¥, 则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0. 教 学 内 容批注例1 求幂级数的收敛半径与收敛域. 解 因为所以收敛半径为. 当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的; 当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1.

21、例2 求幂级数的收敛域. 解 因为, 所以收敛半径为R=+¥, 从而收敛域为(-¥, +¥). 例3 求幂级数的收敛半径. 解 因为 , 所以收敛半径为R=0, 即级数仅在x=0处收敛. 教 学 内 容批注 例4 求幂级数的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为.因为 当4|x|2<1即时级数收敛; 当4|x|2>1即时级数发散, 所以收敛半径为.提示: 例5 求幂级数的收敛域. 解 令t=x-1, 上述级数变为. 因为 , 所以收敛半径R=2. 教 学 内 容批注当t=2时, 级数成

22、为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原级数的收敛域为-1, 3). 三、幂级数的运算 设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛, 则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有加法: , 减法: , 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+a1bn-1+ × × × +anb0)xn+ &#

23、215; × × 性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛, 则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续. 教 学 内 容批注性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式 (xÎI ), 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R, R)内可导, 并且有逐项求导公式 (|x|<R), 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例6 求幂级数的和函数. 解 求得幂级数的收敛域为-1, 1). 设和函数为s(x

24、), 即, xÎ-1, 1). 显然s(0)=1. 在的两边求导得 对上式从0到x积分, 得 .教 学 内 容批注 所以, 当x¹0时, 有, 从而 . 由和函数在收敛域上的连续性, 综合起来得.提示: 应用公式, 即. .例7 求级数的和. 解 考虑幂级数, 此级数在-1, 1)上收敛, 设其和函数为s(x), 则. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即教 学 内 容批注 §11. 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数 要解决的问题: 给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样

25、一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 我们就说, 函数f(x)在该区间内能展开成幂级数, 或简单地说函数f(x)能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x). 泰勒多项式: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则在该邻域内f(x)近似等于 , 其中(x介于x与x0之间). 泰勒级数: 如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f¢(x), f¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × , 则当n®

26、¥时, f(x)在点x0的泰勒多项式 成为幂级数 这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? 定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n®0时的极限为零, 即 教 学 内 容批注 证明 先证必要性. 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数, 即 , 又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项

27、的和, 则在U(x0)内sn+1(x)® f(x)(n®¥). 而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再证充分性. 设Rn(x)®0(n®¥)对一切xÎU(x0)成立. 因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)®f(x), 即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛, 并且收敛于f(x). 麦克劳林级数: 在泰勒级数中取x0

28、=0, 得 , 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 展开式的唯一性: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ × × × +anxn + × × × , 那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导, 有f ¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+ × × ×+nanxn-1+ × × × , f

29、¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+ × × × + n×(n-1)anxn-2 + × × × , f ¢¢¢(x)=3!a3+ × × ×+n×(n-1)(n-2)anxn-3 + × × × , × × × × × × × × × × × × × × &

30、#215;f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) × × × 2an+1x + × × × , 于是得 a0=f(0), a1=f ¢(0), , × × ×, , × × ×.教 学 内 容批注注意: 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然

31、能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 二、函数展开成幂级数直接展开法步骤: 第一步 求出f (x)的各阶导数: f ¢(x), f ¢¢(x), × × × , f (n)(x), × × × . 第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值: f(0), f ¢(0), f ¢¢(0), × × × , f (n)( 0), × × × . 第三步 写出幂级数 , 并

32、求出收敛半径R. 第四步 考察在区间(-R, R)内时是否Rn(x)®0(n®¥). 是否为零. 如果Rn(x)®0(n®¥), 则f(x)在(-R, R)内有展开式 (-R<x<R). 例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数. 解 所给函数的各阶导数为f (n)(x)=ex(n=1, 2, × × ×), 因此f (n)(0)=1(n=1, 2, × × ×). 于是得级数 , 它的收敛半径R=+¥. 教 学 内 容批注对于任何有限的数x、x (x

33、介于0与x之间), 有 , 而, 所以, 从而有展开式 . 例2 将函数f(x)=sin x 展开成x的幂级数. 解 因为(n=1, 2, × × ×), 所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, -1, × × × (n=0, 1, 2, 3, × × ×), 于是得级数 , 它的收敛半径为R=+¥. 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有 ®0 (n ®¥). 因此得展开式 . 例3 将函数f(x)=(1+ x)m展开成x的幂级数, 其中m为

34、任意常数. 解: f(x)的各阶导数为 f ¢(x)=m(1+x)m-1, f ¢¢(x)=m(m-1)(1+x)m-2, × × × × × × × × ×, 教 学 内 容批注f (n)(x)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1)(1+x)m-n, × × × × × × × × ×, 所以 f(0)=1, f ¢(0)=m, f &

35、#162;¢(0)=m(m-1), × × ×, f (n)(0)=m(m-1)(m-2)× × ×(m-n+1), × × ×于是得幂级数 . 可以证明 间接展开法: 例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数. 解 已知 (-¥<x<+¥). 对上式两边求导得 . 例5 将函数展开成x的幂级数. 解 因为, 把x换成-x2, 得 (-1<x<1).注: 收敛半径的确定: 由-1<-x2<1得-1<x<1. 教 学 内 容批注例6 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数. 解 因为, 而是收敛的等