泛函分析基础 刘培德 科学出社

1、课后习题1解答：当时，不满足正定性，在下不是度量空间， 当时，满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故在下不是度量空间， 当时，满足正定性，对称性和三角不等式，故在下是度量空间， 若令，仅当时，满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时在下是赋范空间。2证明：Part 1：是度量空间，且当且仅当，当且仅当，满足正定性；，满足对称性；满足三角不等式，综上是度量空间。Part2：由是度量空间，且当且仅当，当且仅当，满足正定性；，满足对称性；满足三角不等式，综上是度量空间。4证明：设，先证必要性，即当收敛于时，依坐标收敛于。设在中收敛于，即由，故对，即依坐标收敛于；充分性，设依坐标收敛于，即任意

2、， 收敛于综上所述，在中收敛于等价于依坐标收敛于。5(1)证明：设是线性空间中任意的凸集族，则任取，及，则由是凸集，是凸集，即任意多个凸集之交是凸集。(2)证明：任取，及，则，由于是凸集，故也是凸集。(3)设是凸集，任取及，由于，是凸集，即，故凸集经平移后得到的集合也是凸集。(4)仅证，暂不证明。任取，及，若，由是凸集，若，则存在，由是凸集，由若,则存在，由是凸集，由综上当是凸集时，也是凸集。(5) 在一般度量下，两凸子集和的并集不是的凸集。6 (1) 证明：任取则存在由是线性映射，对任意，由是凸集，是凸集。(2) 证明：任取则存在由是线性映射，对任意，由是凸集，是凸集。(3)由P29线性算子

3、是一一的当且仅当，故只需证当且仅当对中每个线性无关集，是中的线性无关集。必要性：由，及的某个线性无关集，假如不是中的线性无关集，则存在中的线性无关序列， 线性相关，即存在不全为零的，由是线性算子，因，这与是线性无关序列矛盾，故假设不成立；充分性，假若，则存在，此时是中线性无关集，是中线性相关集，这与中每个线性无关集的像是中线性无关集矛盾，故假设不成立，得证。7(1)证明：左，右任取左，则有以下几种情况若，则右；若，则中存在收敛于，中存在收敛于，故，且收敛于，故右；若，则中存在收敛于，故，且收敛于，故右；若，证法同上，易得右综上，左右得证。(2) 是开集是开集证明：任取，则，由于是开集，故存在，

4、故，即也是开集任取，则，由于是开集，故存在，故，即是开集，得证。或证： 是开集任取，存在 任取，存在是开集是闭集是闭集证明：是闭集任取点列，且，则 任取点列，且，则是闭集(3)证明：不妨设是开集，由(2)知也是开集，由于任意开集的并集仍然是开集，故是开集。(4)证明：由由，得证。8(1)证明：任一集合，若，由空集既开且闭，故是开集若，则有，是开集由上知任一集合是开集，故的补集是开集，由的补集是开集知是闭集综上，任一集合既是开集也是闭集。(2) 若，则当时，故对当时，由，故13证明：由内积空间中具有平行四边形公式故再由，故18 完备度量空间的每个闭子空间是完备子空间。证明：设是一个完备度量空间，

5、是它的任一闭子空间。任取的一个Cauchy列，由，也是的Cauchy列，由完备，故由是闭集，故，完备。度量空间的每个完备子空间是闭子空间。证明：设是一个度量空间，是它的任一完备子空间，往证是闭集。任取的一个点列，且由于完备，故，是闭集。19证明：不妨设是的可数无穷Hamel基，令，则是的单位可数无穷Hamel基，令，则是的Cauchy列(显然易证)，(由Hamel基的定义)，故不完备。20证明：是有界集，是收敛级数。21(1)X具有Baire性质(2)X中可数多个无处稠密闭集之并其内点是空集(3)X中每个非空开集是第二纲的(4)X中每个第一纲集合的余集在X中稠密注： E在X中稠密若 E在X中无

6、处稠密指若E是第一纲集指E可以写成至多可数多个无处稠密集的并。X具有Baire性质指若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密。命题：无处稠密闭集的补集是稠密开集。稠密开集的补集是无处稠密闭集。证明：开集和闭集互为补集是显然的。是X中的无处稠密闭集是X中的稠密开集证明：设是X中可数个无处稠密闭集族，则是X中可数个稠密开集族，由(1)知它是可数个稠密开集之交，由Baire性质它在X中稠密，即。反证法，假设X中存在一个非空开集A不是第二纲集，是第一纲集，则存在X中至多可数稠密集，无处稠密即，显然是X的无处稠密闭集，由(2)知， 而由A是非空开集知，这与前面的结论矛盾，故假设不成立。设A是X的任一第一纲集，则由(3)即A的补集在X中稠密。设是X的可数个稠密开集，则是开集，它的补集是闭集，即是X的无处稠密集，是X的第一纲集，由(4)知它的余集在X中稠密，即在X中稠密。证毕。24证明：已知连续Y中任一闭(开)集的原像是X中的闭(开)集。 故只需证Y中任一闭集的原像是X中的闭集每个必要性：是Y中的闭