材料力学高教第二版范钦珊习题答案要点

1、材料力学_高教第二版_范钦珊_第6章习题答案第6章 杆件横截面的位移分析61 直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1求C、D二截面的铅垂位移；Fl2令FP1 = 0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长Dl=P2，写出E的表达式。EA习题6-1图(a) (F)l(F)l解：（1）uC=uA+NAB2AB+NBC2BCddEsEs44 =0+ uD=uC+1501032000+1001033000200102334362=2.947mm(FN)CDlCDdEc4=2.947+1001025004105103362=5.286mm（2

2、）FP2lFlF(l-l1)=Dl=DlAC+DlCD=P21+P2EAEsAEcAh1-h1=+EEsEclEcEs令h=1lEch+(1-h)EsrA0xFPE=62 承受自重和集中载荷作用的柱如图所示，其横截面积沿高度方向按A(x)=A0e材料的比重。试作下列量的变化曲线： 1轴力FNx(x)； 2应力sx(x)； 3位移u(x)。 解：（1）x=0，(FN变化，其中r为+dFN)+rA(x)dx-FN=0rA0xFPdFN=-rA(x)dx=-A0redxFN(x)-FPdFN=-A0rexrA0xFPdxrA0xrA0x习题6-2图(a)FN(x)=-FP-(FPeFP-FP)=-F

3、Pe=-FPA0FPrA0x（2）s(x)=FN(x)-FPe=rA0xA(x)A0eFPFP 89 rA0x（3）du=FN(x)dx=-EA(x)FPeEA0eFPrA0FPdx=-xFPdx EA0FPxFlF+C，当u|x=l=0。C=P，则u(x)=P(l-x) EA0EA0EA063 图示连接件由两片宽20mm、厚6mm的铜片与一片同样宽厚的钢片在B处连接而成。已知钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ec = 105GPa，钢片与铜片之间的摩擦忽略不计。试求E和B处的位移。F习题6-3图(a) (b) 3(FN)ABlAB12100.3103解：uB=uA+=0+=0.2

4、857mm EcAc105103206 u=-(FN)BElBE241030.9103uE=uB+=0.2857+=1.186mm EsAs20010320664 长为1.2m、横截面面积为1.1010-3m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为kNEs = 200Gpa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。Am EkN(a) 习题6-4图 (b)-FPlAB 解：uA-uB=（其中uA = 0） EaAa uB=601031.2103701031.1010-

5、3106=0.935mmFPlBC601032.1103=0.935+=4.50mm 钢杆uC=uB+EsAs322001015465 变截面圆锥杆下端B处固定，上端A处承受外力偶矩T作用，如图所示，试证明A端扭转角表达式为7Tl jA=12Gr4解：Mx = TjBA=l0Mxdx=4G2r(x)32l02Tdx-2Tl17Tl= =44x43rx312GrG(1+)r(1+)ll0l习题6-5图66 试比较图示二梁的受力、内力（弯矩）、变形和位移，总结从中所得到的结论。(a) 解：wmax=(b) wmaxFPl3 48EIFllFl(P)(P)()3lFPl3=+= 3EI23EI24E

6、I 90 两者弯矩相同，挠曲线曲率相同，但（b）梁的最大挠度比（a）梁要大，即不相等。(a) (b) 习题6-6图wmax(b) wmax wmax(a-1) (b-1)M(a-2) (b-2)67 对于图a、b、c、d所示的坐标系，小挠度微分方程可写成d2w/dx2=-M/EI形式有以下四种。试判断哪一种是正确的。（A）图b和c；（B）图b和a；（C）图b和d；（D）图c和d。正确答案是 D 。习题6-7图68 图示悬臂梁在BC二处承受大小相等、方向相反的一对力偶，其数值为M0。试分析判断下列挠度曲线中哪一种是正确的。正确答案是 D 。习题6-8图D1(A) (B) C1A 1(a) (C)

7、 (D) fmaxd2wM(x) 解： 作2=对应的弯矩图 EIdx而截面A：wA = 0，qA=0 AB和CD为直线挠曲线BC段为上凹的曲线（见图a所示）。 69 图示简支梁承受一对大小相等、方向相反的力偶，其数值为M0。试分析判断四种挠度曲线中哪一种是正确的。正确答案是。 习题91 图 6-9(A) (B) (C) (D)610 图示外伸梁受集中力和集中力偶作用，挠度曲线有四种形状。试分析判断其中哪一种是正确的。l 习题6-10图(a) (b) (c) (d)2dwM(x) 解：作2=对应的弯矩图。 EIdxMd2w AB段0，即20，挠曲线为直线。 EIdxMd2w0，即20，挠曲线为下

8、凹的曲线。 EIdx正确答案是611 简支梁承受间断性分布载荷，如图所示。试用奇导函数写出其小挠度微分方程，并确定其中点挠度。x习题6-11图l5ql+qll22=3ql 解：采用左手系：MA=0，FRE=4l4定初参数qE，wA=w|x=4l=0 BCD段3qlqqq4(4l)3-(4l-l)4+(4l-2l)4-(4l-3l)4=0 EIqE(4l)+3!4!4!4! EIqE=-w(x)=21ql3 1621ql3qlqqq1-x+3-4+4-4 EI1682424245ql4wC=w|x=2l=-（） 3EI612 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并用奇异函数表示

9、其挠度曲线方程。d2M dx2 92 习题6-12图解：（1）作弯矩图（a），确定d2wdx2图，画出挠曲线形状，由边界，中间铰和连续，以及AB上凹，BD下凹可画出图示挠曲线图（b）。（2）求支座反力：FRA = FP（），MA = FPl（顺），FRC = 2FP（）AB段：(w0)B=1FPl2FPl33FPl（） l-l=EI2!3!3EIFPl3由连续条件：(w1)B=(w0)B=（） 3EI由w1|x=l=(w1)C=0，定初参数EI(q1)B。F1FPl3(EI+EI(q1)Bl-Pl3)=0 EI3EI3!FPl2EI(q1)B=- 6AB段挠曲线方程（原点在点A）：w0(x)=

10、1FPl2FP3x-x（0xl） EI26FPl3FPl2FF-x-Px3+P3 6633613 变截面悬臂梁受力如图所示。试用奇异函数写出其挠度方程，并说明积分常数如何确定（不作具体运算）。 MA习题6-13图解：将阶梯梁化为等直截面梁（图a） MA 支反力FRA = FP（），MA = 2FPl（逆）挠度方程，积分常数由固定端的挠度和转角均为零确定。2FPl2FP3FPlFPl123w(x)=0+0-x+x-+2EI2!3!2!3! FFlF1 =-FPlx2+Px3-P2+P32EI6261 BD段挠曲线方程（原点在点B）：w1(x)=EI614试用叠加法求下列各梁中截面A的挠度和截面B

11、的转角。图中q、l、EI等为已知。(a) 习题6-14图qB)2(b)93 (a-1) (a-2) (a-3)(w)3=(qB)3l)1(wA)1=(qB)1l)2(b-1) (b-1) (b-3)31l(ql2)()3q(l)=ql（逆） + 解：（1）qB=(qB)1+(qB)2=(qB)1+(qA)2=-6EIEI12EIl4ql2l2qll312l2()()ql()q()7ql48222222-+= （2）wA=(wA)1+(wA)2=-（） 2EI3EI2EI384EI8EIql(2l)(ql)(2l)2ql3+=- （3）qB=(qB)1+(qB)3=-（顺）3EI16EI12EI

12、ql2(2l)ql4(ql)(2l)25ql42l-+l=-（4）wA=(wA)1+(wA)2+(wA)3=-（）3EI8EI16EI24EI615 结构受力简图如图所示，D、E二处为刚结点。各杆的弯曲刚度均为EI，且F、l、EI等均为已知。试用叠加法求加力点C处的挠度和支承B处的转角，并大致画出AB部分的挠度曲线形状。)Pw) (a) (b)(c)FP )(w)=(q)l习题6-15图(f) (e) (d)解：（1）qB的转角3C14C2D2FPllFP(2l)FPl22+=-qB=(qB)3+(B)4=-（顺） 16EI6EI6EI（2）C处挠度（垂直位移）2wC=(wC)1+(qD)2l

13、+(wE)3+(E)4lFl (P)l333Fl(Fl)lF(2l)5Fl-l=-P（） =-P-Pl-P(g)3EIEI48EI3EI3EI616 由两根横截面均为aa正方形的所组成的简单结构，受力如图所示。已知a = 51mm。FP = 2.20kN，E = 200GPa。试用叠加法求点E的挠度。ww)1E习题6-16图BFPwE)22.201000=4.4kN 5004.4103(1200)3=2.81mm (wE)1=2wB=24(51)4820010312 解：FRB=(wE)2=(2.21031000)500(51)4332001012wE=(wE)1+(wE)2=12.57mm

14、1000+2.2103(1000)3(51)4332001012=9.76mm617 结构简图如图所示，其中ABC为刚架，杆BC上承受均布载荷q，B处为刚结点，各杆的弯曲刚度均为EI，BD为拉杆，拉压刚度为EA。q、l、EI、EA等均为已知。用叠加法试求：1截面C的铅垂位移；2在什么情形下可以忽略拉杆变形对截面C铅垂位移的影响，什么情形下则不能。Dlql 解：1MA=0，FRD= 2wC)1=Dl 2wC=(wC)1+(wC)2+(wC)3=Dl+(qB)2l+(wC)3qllql2lql4-l- =- EA3EI8EI2 (a)ql46I =-(7+2)24EIAl)2 当Al2I时，可忽略

15、拉杆变形。ql习题6-17图) (b) (c)618 结构受力与支承如图所示，各杆具有相同的EI，B、C、D三处为刚结点。F、l、EI等均为已知。用叠加法试求E处的水平位移（略去轴力影响）。FP 习题6-18图 (a) (b)解：MA=0，得FRE = 0 C3RE Fx=0，得FRA = FPAB杆没横力，所以该杆不弯曲，所以略去其轴力变形并利用对称性。l(FPl)3FPl5FPl32 uE=2（） l+=EI3EI3EI619 已知长度为l的等截面直梁的挠度方程q0xw(x)=(3x4-10l2x2+7l4) 360EIl 95 试求：1梁的中间截面上的弯矩；2最大弯矩（绝对值）；3分布载

16、荷的变化规律；4梁的支承状况。qx 解：w(x)=-0(3x4-10l2x2+7l4) 360EIl （1）M(x)=EId2wq0x3q0lxdx2=-6l+6q(l)3ql00l M(l()q22)=-6l+6=0l16 （2）FdMq0x2q0lQ(x)=dx=-2l+6令F = 0，-q022l+qQ0l6=0，=33lM=M(33l)=-q06l(3l)3+q0l6(3l)=3q0l2max27（3）q(x)=dFQ=-q0dxlx（）（4）M|q0l3qllx=0=0，M|x=l=-6l+06=0 两支座无集中力偶F=F|=0+q0l=q0lRlQx=0（） 662FRr=FQ|x

17、=l=-q0l2l+q0l6=-q0l（）3最后得载荷，支座如图（a）。620 已知长度为l的等截面直梁的挠度方程为w(x)=q0x48EI(2x3-3lx2+l3)试求：1梁内绝对值最大的弯矩和剪力值；2端点x = 0和x = l处的支承状况。 解：（1）M(x)=-EId2wq13x23dx2=-EI0EI(2x2-8xl)=-q0(2-8xl)FdM3Q(x)=dx=-q0(-8l)令 F 得=3Q(x)=08lM31323l39q0l2max=M(8l)=-q02(8l)-8(8l)=128(F35Q)max=FQ|x=l=-q0(l-8l)=8ql（2）M|x=0=0，FQ|3x=0

18、=8q0l 左端可动铰支座。M|q20l5x=l=-8，FQ|x=l=-8ql 右端固定。621 已知刚度为EI的简支梁的挠度方程为w(x)=q0x(l3-2lx2+x324EI)据此推知的弯矩图有四种答案。试分析哪一种是正确的。正确答案是 A 。习题6-21图 96 习题6-19解图 习题6-20解图(c)(d) (a)(b)622 具有微小初曲率的悬臂梁，如图所示，梁的EI为已知。若欲使载荷FP沿梁移动时，加力点始终保持相同的高度，试求梁预先应弯成怎样的曲线。（提示：可近似应用直梁的公式计算微弯梁的挠度。）FPx3解：当FP在x位置的挠度w(x)=- 3EIFPx3预先弯成曲线y=y(x)

19、，使y(x)=-w(x)=，则力FP始终能保持相同高度。 3EI习题6-22图623 重为W的直梁放置在水平刚性平面上，受力后未提起部分仍与平面密合，梁的EI为已知。试求提起部分的长度a。（提示：应用截面A处的变形条件。） w 解：B处弯矩为零W12MB=a-qa=0 32W1W2a-a=0 32l 2 a0，得a=l 习题6-23图 (a) 3624 图示等截面直杆两端固定，承受轴向载荷。试分析下列轴力图中哪一个是正确的。正确答案是。 解：由于对称 uC = 0 uC=uA+DlAC=0 DlAC=0lX2-(FP-X)l=0EAEA2 X=FP（拉） F 3作轴力图（利用对称）。P 2F

20、F 习题6-24图 FP FP33 625 图示超静定结构中，若杆1、2的伸长量分别为Dl1和Dl2，且AB为刚性梁，则求解超静定问题的变形协调方程有下列四种答案。试判断哪一种是正确的。 （A）Dl1sinb=2Dl2sina；（B）Dl1sina=2Dl2sinb；（C）Dl1cosb=2Dl2cosa；（D）Dl1cosa=2Dl2cosb。正确答案是解：由刚性梁 uC = 0，uD = 0 97 习题6-25图1杆：0vC+sin(360-a)vD=Dl1（伸长） 2杆：sinbvC+0vD=-Dl2（缩短） 刚梁：2vC-vD=0 整理 avD=Dl10vC-sinbvC+0vD=-D

21、l2 sin2v-v=0DCvC、vD 非全零解应满足：0-sinaDl1sinb-Dl2=0(a)2-10展开变形协调方程：Dl1sinb=2Dl2sina626 等截面直杆两端固定，无外力及初始应力作用。当温度升高时，关于杆内任意横截面上任意点的正应力和正应变有如下论述，试判断哪一种是正确的。 （A）s0，e0； （B）s0，e=0； （C）s=0，e=0；（D）s=0，e0。正确答案是 习题6-26图du解：各点的轴向位移 u=-us+ue=0，e=0dx627 钢杆BE和CD具有相同的直径d = 16mm，二者均可在刚性杆ABC中自由滑动，且在端部都有螺距h = 2.5mm的单道螺纹，

22、故可用螺母将两杆与刚性杆ABC连成一体。当螺母拧至使杆ABC处于铅垂位置时，杆BE和CD中均未产生应力。已知弹性模量E = 200GPa。试求当螺母C再拧紧一圈时，杆CD横截面上的正应力以及刚体ABC上点C的位移。 解：平衡方程MA=0，150N1 = 250N2 （1）h-Dl2Dl1=2501502.5-Dl2Dl1即 =2515FN13000103=0.0746FN1 物理方程Dl1=3220010164F1032000=0.0497FN2 Dl2=N23220010164（3）、（4）代入（2）4.973FN1+1.988FN2=100 协调方程9.7310=48.40MPa（拉）21

23、64uC=h-Dl2=2.5-0.04979.73=2.016mm3（2） （3）习题6-27图（4） （5）联立（5）、（1）得FN2 = 9.73kN（拉）、FN1 = 16.22kN（拉） CD杆正应力s=628 铜芯与铝壳组成的结构如图所示，轴向载荷通过两端刚性板加在结构上。已知结构总长减少了0.24mm。试求：1所加轴向载荷的大小； 2铜芯横截面上的正应力。 解：设铜芯与铝壳之间无内压0.24轴向应变e=810-4300FP=810-410510325210-3+810-470103(602-252)10-3=172.1kN44铜芯应力sC=810-4105103=84MPa 98

24、习题6-29图 (a) 习题6-28图629 由铝板和钢芯组成的组合柱上端承载、下端固定，如图所示。载荷FP = 38kN通过刚性板沿着柱的中心线方向施加于其上。试确定钢芯与铝板横截面上的正应力。解：设钢芯正应力为ss，铝板正应力sa3050ss+(20+20)50sa=FP=38103200（1） （2） 200 20010370103解（1）、（2）得 ss= 17.27MPa、sa= 6.05MPa =sssa630 组合柱由钢和铸铁制成，其横截面面积宽为2b、高为2b的正方形，钢和铸铁各占一半（b2b）。载荷FP通过刚性板加到组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为Es = 196GPa

25、，Ei = 98.0GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位置x =？b3 解：M0=0，(b2bss)(x-)=(b2b)si(b-x) 222x-bsi （1） =3b-2xssssEs=siEi （2） si981= ss1962（2）代入（1）得4x-2b=3b-2x习题6-30图 5 x=b 6631 铜片AB固定在A端，静置于B端，并有重W = 980N的重块压在B端上。铜的Ec = 105GPa，a=2010-6/。假定铜片与支承B表面之间的摩擦因数为0.6。试求温度降低多少度（）时，铜片开始滑动。解：0.6习题6-31图 (a) 9800.640010510320398

26、00.6 Dt=4.67 3105102032010-6632 图示结构中，杆AC为铝材Aa = 200mm2，Ea = 70GPa，a=2610-6/，杆DB为不锈钢，As = 80mm2，Es = 190GPa，a=1810-6/。两杆间在室温20下的间隙为0.5mm，然后升温达140。试求铝杆横截面上的正应力以及铝杆的最终长度。解：平衡方程FNa = FNs协调方程us+ua=0.5物理方程us=2010-6Dt400-FNs25019010803+1810-6120250=0.54-1.6510-5FNs 99 ua=-FNa3003-57010200代入0.54-1.6510FNa+

27、0.936-2.1410-5FNa=0.5 FNa = 25752 N25752sa=128.8MPa20010-6La=300(0.936-2.1410-525752)=300.385mm(a) 习题6-32图633 圆轴受扭如图所示，其扭矩图有四种答案。试判断哪一种是正确的。 正确答案是解：过轴中点处，垂直轴线平面为轴的对称面，则受扭轴在该面反对称的扭矩必为零。习题6-33图634 轴AB和CD在B处用法兰连接，在A、D二处为固定约束，受力及尺寸如图所示，材料的G = 80GPa。试求轴AB和CD中的最大切应力和最大拉应力。 解：MA+MD-T=0 MA+MD=4106NmmMA250MD

28、500-=044G60G503232+2610-6120300=0.936-2.1410-5FNa（1） （2）（2）代入（1）3.971610-3MA=12800 MA = 3222878.5Nmm3222878.5=75.99MPa AB：tmax=smax=36016（3）习题6-34图（3）代入（1）MD=4106-3222878.5=777121.5 Nmm 777121.5=31.66MPa35016635 试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。 解：（a）变形协调方程CD：tmax=smax=qA=(qA)1+(A)2=0XlM0l+=0 3EI6EI4M X=08 -M08

29、=9M0 支反力FRA=FRB=l8l剪力图、弯矩图见图a-1。Fql1（b）qB=0：MAl+RAl2-()3=0EI2!3!2M0+48MA+24lFRA=ql2 100 （1）1MA2FRA3ql4l+l-()=0 EI2!3!4!22192MA+64lFRA=ql wB = 0：（2）5MA=-ql2192联立（1）、（2）解得3F=qlRA32其剪力图、弯矩图见图（b-1）。MA(a-1)习题6-35图(a) FQM8l(a-3) (a-4)习题6-35图(b)M (b-1) (b-2)636 梁AB和BC在B处用铰链连接，A、C两端固定，两梁的弯曲刚度均为EI，受力及各部分尺寸均示于图中。FP = 40kN，q = 20kN/m。试画出梁的剪力图和弯矩图。 解：变形协调(wB)1=(wB)2O(a-2)8l(a-5)7M (a-6)2q44FX43(wB)1=- -8EI3EIFP(22)FX43(wB)2=- (3