平行四边形知识点及证明题

1、知新教育伴你成长第 18 章 平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一正确理解定义（1）定义： 两组对边 分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法： 用“”表示平行四边形， 例如：平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形 ABCD”2熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的 邻角互补 ，对角相等 ；（2）边：平行四边形两组 对边分别平行且相等 ；（3）对角线 ：平行四边形的对角线互相平分 ；（4）面积： S 底 高 = ah ；平

2、行四边形的对角线将四边形分成4 个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义：两组对边 分别平行的四边形是平行四边形方法 1：两组对角 分别相等的四边形是平行四边形方法 2：两组对边 分别相等的四边形是平行四边形方法 3：对角线互相平分 的四边形是平行四边形方法 4：一组平行且相等 的四边形是平行四边形二、几种特殊四边形的有关概念（1）矩形： 有一个角是 直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一个角是直角，两者缺一不可（2）菱形： 有一组邻边相等 的平行四边形 是菱形，它是研究菱形的基础，它

3、既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一组邻边相等，两者缺一不可（3）正方形： 有一组 邻边相等 且有一个 直角 的平行四边形 叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形2几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）（2）菱形： 边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； 对称性：轴对称图形（对角线所在直

4、线， 2 条）（3）正方形： 边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为 450； 对称性：轴对称图形（4 条）3几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2）菱形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3）正方形的判定： 满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等 且有一个 直角 的平行四边形 有一组邻边相等 的矩形； 对角线互相垂直的矩形 有一个角是 直角 的菱形 对角线相等

5、的菱形；4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等说明四边形 ABCD的三个角是直角（2）识别菱形的常用方法先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直说明四边形 ABCD的四条相等（3）识别正方形的常用方法先说明四边形 ABCD为平行四边形，再说明平行四边形 ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等 先说明四边形 ABCD为平行四边形

6、，再说明对角线互相垂直且相等 先说明四边形 ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等 先说明四边形 ABCD为菱形，再说明菱形 ABCD的一个角为直角5几种特殊四边形的面积问题 设矩形 ABCD的两邻边长分别为 a,b，则 S 矩形 =ab 设菱形 ABCD的一边长为 a，高为 h，则 S 菱形 =ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则 S菱形 = 1 ab 2 设正方形 ABCD的一边长为 a，则 S正方形 =2 ；若正方形的对角线的长为，则 正方形=12 aaSa2平行四边形矩形菱形正方形图形1对边1对边1 对边1对边且；且；且四条边且四条边2对角；2对角都；都；邻角；且四个角都是2对

7、角；2对角性质3对角线且 四个角 都3对角线；是；且每；3对角线3对角线条对角线；且每条对角线；面积证明题1.如图，在菱形ABCD中， A=60° , AB =4, O 为对角线BD 的中点，过O 点作 OE AB，垂足为 E(1) 求 ABD 的度数；(2) 求线段 BE 的长2. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 、 F 分别为边 AB 、 AD 的中点，连接 EF 、 OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形 .AEFBDOC3. 在正方形 ABCD中， AC为对角线， E 为 AC上一点，连接 EB、 ED（ 1）求证： BEC DE

8、C；（ 2）延长 BE交 AD 于 F，当 BED=120°时，求 EFD的度数AFDEABC4. 已知：如图，在正方形 ABCD中，点 E、 F 分别在 BC和 CD上， AE = AF（ 1）求证： BE = DF；（ 2）连接 AC 交 EF于点 O，延长 OC至点 M，使 OM = OA，连接 EM、FM判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论AD证明：（ 1）FOBEC5. 如图，四边形 ABCD是边长为 a 的正方形，点 G，E分别是边 AB，BC的中点，AEF=90o ，且 EF交正方形外角的平分线 CF于点 F（ 1）证明： BAE= FEC；（ 2）证明

9、： AGE ECF；（ 3）求 AEF的面积6.已知梯形 ABCD 中， AD / BC ， AB AD(如图所示 )BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E ，联结 DE (1)在图中，用尺规作BAD 的平分线 AE (保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形 ABED 是菱形；(2)若 ABC 60 ， EC 2BE ，求证： EDDC 7. (2010 湖北省黄石市 ) 如图，正方形 ABCD 中， E、 F 分别是 AB、BC 边上的点， 且 AEBF .求证 AF DE .DCFABE8. 如图，将矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠，使点A 与点 C 重合，点 D 落在点 G 处， E

10、F 为折痕（ 1）求证： FGC EBC ；（ 2）若 AB 8，AD 4 ，求四边形 ECGF （阴影部分 ）的面积9. 如图，在 ABC中， D 是 BC 边的中点， E、 F 分别在 AD 及其延长线上， CE BF，连接 BE、 CF（ 1）求证： BDF CDE；（ 2）若 AB AC，求证：四边形 BFCE是菱形10. 如图，在矩形 ABCD（AB AD）中，将AC 上，点 B 的对应点为 F，同时将 CEG沿点 C 的对应点为 HABE 沿 AE 对折，使 AB 边落在对角线 EG 对折，使 CE边落在 EF 所在直线上，（ 1）证明： AF HG（图（ 1）；（ 2）证明： AEF EGH（图（ 1）；（ 3）如果点 C 的对应点H 恰好落在边AD 上（图（ 2）求此时 BAC的大小11.如图，梯形ABCD中， AB CD， AC平分 BAD， CE AD 交 AB 于点 E求证：四边形AECD是菱形12. 求证：矩形的对角线相等13. 如图，在 ABCD中， EF BD，分别交 BC、 CD 于点 P、Q